Лекции по вышмату за 1 курс

èëè ZZ

P (x; y; z) dydz + Q (x; y; z) dzdx + R (x; y; z) dxdy:

Равенство

ZZ

P (x; y; z) dydz + Q (x; y; z) dzdx + R (x; y; z) dxdy =

ZZ

=(P (x; y; z) cos + Q (x; y; z) cos + R (x; y; z) cos ) dS

называют правилом преобразования интеграла второго рода к интегралу первого рода.

94Свойства и правило вычисления поверхностного интеграла второго рода

1.Как обычно, если подынтегральная функция непрерывна, то интеграл существует.

2.Как уже было сказано, интеграл меняет знак, если изменить сторону поверхности.

3.Данный интеграл линеен относительно функции, т.е.

4.Интеграл аддитивен относительно области интегрирования, т.е., если поверхность представить в виде объединения двух частей 1 è 2,

RRRR RR

5.Поверхностный интеграл второго рода можно вычислить, сведя его к интегралу первого рода, который в свою очередь, сводиться к двойному. Т.е., если, например, поверхность может быть задана уравнением

z = ' (x; y), òî

ZZ

P (x; y; z) dydz + Q (x; y; z) dzdx + R (x; y; z) dxdy =

Однако, можно поступить и иначе. Разобьем интеграл

ZZ

(P (x; y; z) cos + Q (x; y; z) cos + R (x; y; z) cos ) dS

291

на три слагаемых и рассмотрим каждое из них. Предположим, что наша поверхность взаимнооднозначно проектируется на каждую из координатных плоскостей и поверхность можно записать с помощью

каждого из следующих уравнений z = ' (x; y), или y = (x; z), или

где выбирается знак +, если соответствующий косинус положитель-

ный, т.е., если угол между нормалью к поверхности и соответствующей координатной осью острый, и берется знак , если косинус отри-

цателен, т.е. угол между нормалью и координатной осью тупой.

Пример 264 Вычислить RR y2 z2 dxdy, где - верхняя сторона ци-

292

Решение Проекцией поверхности на плоскость OYZ будет круг. Чтобы найти его радиус, рассмотрим систему уравнений наших поверхностей

(

x2 + y2 + z2 = R2

:

y2 + z2 = x2

Исключая из этой системы , получим уравнение окружности y2 + z2 =

R2

2 , которая является проекцией линии пересечения поверхностей на плоскость OYZ, т.е. границей области D. Нормаль к внутренней стороне состав-

ляет тупой угол с осью ОХ, поэтому выбираем знак .

DD

RR

Первый из полученных интегралов равен площади области D : dydz =

D

R2

2 . Для вычисления второго интеграла перейдем к полярным координатам: x = r cos '; y = r sin '. Тогда

Решение Разобьем интеграл на сумму трех слагаемых

и вычислим каждое из них.

Рассмотрим сначала последнее слагаемое. Разобьем поверхность на две

части 1 è 2 плоскостью z = c. Тогда каждая из этих частей проектируется на плоскость ОХУ взаимно однозначно и дает в проекции круг (x a)2 +

(y b)2 = R2.

q

Кроме того, поверхность 1 задается уравнением z = c+ R2 (x a)2 (y b)2

и нормаль к ее внешней стороне образует острый угол с осью OZ, à ïî- q

верхность 2 задается уравнением z = c R2 (x a)2 (y b)2 è íîð- маль к ее внешней стороне образует тупой угол с той же осью. Отсюда

293

z2dxdy = 4c R2 (x a)2 (y b)2dxdy:

D

Последний интеграл вычислим с помощью перехода к смещенным полярным координатам: x a = r cos '; y b = r sin ' :

294

Для вычисления последнего интеграла спроектируем поверхность на плоскость ОХУ. Получим

RR

Первый из полученных интегралов равен площади области D: dxdy =

D

a2. Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной

по переменной , с другой стороны область интегрирования симметрична относительно оси , поэтому второй интеграл равен нулю.

Окончательно,

ZZ

(y z) dydz + (z x) dzdx + (x y) dxdy = Ra2

95Скалярные и векторные поля

1.Пусть в пространстве R3 задана некоторая область (которая, в частности может совпадать с пространством R3). И пусть также каждой точке области сопоставляется некоторое число, т.е. на области за-

дана некоторая функция u = f (x; y; z). Тогда говорят, что в области

задано скалярное поле.

Обычно эту терминологию применяют в физике, где рассматриваются скалярные поля температур, давлений, плотностей и т. д.

Уравнение f (x; y; z) = C, где - произвольная постоянная, задает по-

верхность, которая называется поверхностью уровня данного скалярного поля. (При некоторых поверхность может вырождаться в пустое множество, поэтому иногда мы будем накладывать на некоторое дополнительное условие.) Очевидно, что эти поверхности заполняют всю область и не пересекаются.

Если область ограничена цилиндрической поверхностью и в лю-

бой точке прямой, проходящей через область параллельно образующей этой поверхности значения функции f (x; y; z) равны между со-

бой, то поле называют плоским. Тогда обычно считают, что образующая цилиндра параллельна оси OZ, и задают поле функцией вида u = f (x; y) :

Если поле плоское, то уравнение f (x; y) = C задает множество линий, которые называются линиями уровня.

2.Если в пространстве R3 задана область и каждой точке этой области сопоставляется вектор, т.е. задана векторная функция

~a = ~a (x; y; z) = (P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z)) ;

то говорят, что в области задано векторное поле.

Физики изучают силовые векторные поля, поля скоростей и т.д.

295

Линия в пространстве, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением поля, называется векторной линией этого поля. Если вспомнить, что координаты вектора касательной к кривой может быть заданы с помощью дифференциалов (dx; dy; dz), то ясно, что

векторная линия задается системой дифференциальных уравнений

Можно доказать, что, если вектор ~a - ненулевой, то через каждую точку области проходит одна и только одна векторная линия.

Если в области задать простой замкнутый контур, то через каж-

дую точку этого контура будет проходить векторная линия. Множество этих линий образует поверхность, которая называется векторной трубкой.

Как и для скалярного поля определяется плоское векторное поле.

Пример 269 Найти линии уровня плоского поля f (x; y) = x2 + y2 2x:

Решение Это поле определено в любой точке плоскости. Линии уровня заданы уравнениями x2 + y2 2x = C. Очевидно, что при фиксированном

- это окружность. Для того, чтобы найти центр окружности и ее радиус, выделим полный квадрат: (x 1)2 + y2 = C + 1.

~ ~ ~

Пример 271 Найти векторные линии поля ~a = xi yj 2zk :

296

Решение Векторные линии определяются системой дифференциаль-

ных уравнений

dxx = dydy = dz2z :

Решить эту систему можно, решив по отдельности два уравнения

dxx = dyy è 2dyy = dzz :

Интегрируя первое из уравнений, получим xy = C1, а из второго - z = C2y2. Таким образом, искомыми векторными линиями будут линии пересечения поверхностей xy = C1 è z = C2y2:

96Дифференциальные характеристики скалярного поля

Пусть функция, определяющая скалярное поле дифференцируема. Тогда у этого поля существуют две дифференциальные характеристики.

1.Градиент.

Градиентом скалярного поля u = f (x; y; z) называют вектор

Обозначают этот вектор grad U:

2.Производная по направлению.

Пусть ~

l ненулевой вектор, задающий некоторое направление в про-

странстве, и ~

l0 = (cos ; cos ; cos ) - орт этого вектора. Возьмем в области , где задано скалярное поле, точку M0 (x0; y0; z0). Тогда про-

изводной скалярного поля в данной точке по данному направлению будем называть следующий предел:

ãäå x = x0 + t cos ; y = y0 + t cos ; z = z0 + t cos , т.е. точка M (x; y; z)

берется на прямой, проходящей через точку M0 (x0; y0; z0) параллель-

но заданному вектору ~ l:

Очевидно, что производную по направлению можно назвать скоростью изменения функции в данном направлении.

97Свойства градиента и производной по направлению

1.Рассмотрим поверхность уровня скалярного поля f (x; y; z) = C. Как известно, вектор

@f@x ; @f@y ; @f@z

297

является вектором нормали к поверхности. Следовательно, градиент ортогонален поверхности уровня скалярного поля, проходящей через точку, в которой этот градиент вычисляется. Кроме того, градиент направлен в сторону возрастания поля.

2.Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Для

этого рассмотрим вспомогательную функцию ' (t) = f (x0 + t cos ; y0 + t cos ; z0 + t cos ). Тогда по определению производной по направлению можно написать

где ' - угол между градиентом скалярного поля и вектором, задаю-

щим направление ~ l:

Отсюда получается очевидное неравенство

@U

jgrad Uj ;

@l

причем равенство достигается, когда jcos 'j = 1, т.е. когда направле-

íèå ~

l совпадает с градиентом скалярного поля или противоположно

åìó.

Следовательно, производная по направлению достигает своего наибольшего значения, когда направление совпадает с направлением градиента и это наибольшее значение равно модулю градиента.

4.Производная по направлению не зависит от выбора системы координат. Это следует из ее определения, если переписать его следующим образом:

Аналогично, градиент не зависит от выбора системы координат. Это следует из того, что градиент - это вектор, который характеризует наибольшую скорость возрастания поля.

Пример 272 Найти градиент скалярного поля u = x2+y2 в точке M0 (1; 3) :

298

Решение Градиент данного скалярного поля в произвольной точке равен (2x; 2y). Значит, в точке M0 градиент будет равен grad U (1; 3) = (2; 6). Следует отметить, что этот вектор ортогонален окружности x2 + y2 = 10,

являющейся линией уровня скалярного поля, проходящей через точку M0.

Пример 274 Дано скалярное поле U = x3 3x2y + 3xy2 + 1 и две точки

~

ке A (1; 1; 2), если вектор l образует с координатными осями углы равные соответственно 60o; 45o; 60o:

299