Лекции по вышмату за 1 курс

Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру . Привед¼м без

доказательства теорему.

Теорема 79 Если функция f(x; ) непрерывна в замкнутом прямоугольнике a x b; c d и имеет в н¼м непрерывную частную производную по параметру , то на промежутке [c; d] имеем:

сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной f0 (x; ). Äî-

полнительно требуется так называемая равномерная сходимость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.

Определение 135 Несобственный интеграл по неограниченному промежутку I( ) = Ra+1 f(x; )dx;(c d) называется равномерно сходя-

щимся по параметру на [c; d], если для любого " > 0 найд¼тся такое, не зависящее от число A0 a, что для любого A > A0 неравенство

будет выполняться для всех значений из промежутка [c; d].

Определение 136 Несобственный интеграл I( ) = Rab f(x; )dx от неограниченной функции называется равномерно сходящимся по парамет-

ру на промежутке [c; d], если для любого " найд¼тся такое, не зависящее от число > 0, что для любого неравенство

выполняется для всех значений из промежутка [c; d].

Существует простой признак равномерной сходимости по параметру несобственных интегралов, который мы привед¼м без доказательства.

Теорема 80 (Достаточный признак равномерной сходимости) Если функция f(x; ) непрерывна по переменной x для 8x a и существу-

ет такая функция (x), что для 8 2 [c; d] jf(x; )j (x) и интеграл

241

Аналогично этот признак формулируется для несобственных интегралов от неограниченных функций.

Решение Очевидно, что для любого параметра справедлива такая оценка

бого параметра , для которого определена функция cos x.

Теорема 81 (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Привед¼нные выше формулы (80) и (81) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру и интегрирования по пере-

менной x (для определ¼нных или несобственных интегралов, то говорят,

что функции I( ) = Rab f(x; )dx è I( ) = Ra+1 f(x; )dx можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие

от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.

ременной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функ-

непрерывны при всех x 2 [0; 1] и любом значении 0. Следовательно, функцию I( ) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим

242

Откуда

I(m) = arctg m arctg m + c:

Учитывая, что I(??) = 0 и полагая m = 0, находим c = 0, следовательно

243

Положим здесь = 0; m = 1, тогда получим часто встречающийся ин-

78 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)

78.1 Определение гамма-функции

Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством

Z +1

(x) = e ttx 1dt (77)

0

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций , с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. (x) имеет две особые точки t = 0 и t = +1. Представим

интеграл (80) в виде суммы двух интегралов

Z 1 Z +1

(x) = tx 1e tdt + tx 1e tdt

01

Применяя метод математической индукции можно доказать, что (x) имеет производную nго проядка при x > 0, прич¼м

Z +1

(n)(x) = tx 1e t(ln t)ndt;

0

в частности

244

Z +1

00(x) = tx 1e t(ln t)2dt:

0

Замечание. Сделаем подстановку t = u2 в интеграле (80), тогда полу- ÷èì

Заменяя здесь переменную интегрирования u на t, получим выражение для гамма-функции в виде

Z +1

(x) = 2 e t2 t2x 1dt:

0

78.2 Свойства гамма-функции

1.(x + 1) = x (x)

Попробуем взять по частям интеграл, представляющий (x + 1)

ò.å. (x + 1) = x (x).

Получили формулу приведения для гамма-функции.

2.(n + 1) = n!

Вычислим значения (80); (81); (64); :::

Имеем

(80) = R0+1 e tdt = e tj+0 1 = 1, ò.å. (80) = 1.

(2) = (1 + 1) = 1 (1); (3) = (2 + 1) = 2 (2);

(65) = 3 (64) = 3 2 (81) = 3 2 1 (80) = 3!, ò.å.

(n + 1) = n!

В частности (80) = (0+1) = 0! => (80) = 0!, следовательно 0! = 1.

Т.к. функция (x) определена для любого положительного x, то с помощью гамма-функции (x) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r 1)! = (r).

245

3. Если x = n + p, где 0 < p < 1, то будет

(n + p) = (n + p 1) (n + p 2) p (p);

т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению е¼ от аргумента можно свести к вычислению е¼ от аргумента, заключ¼нного между 0 и 1.

78.3 Исследование гамма-функции

Ранее мы установили, что гамма-функция (x) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0, кроме того (80) = (81), следователь-

но в силу теоремы Ролля

9c 2]1; 2[ такая, что 0(c) = 0.

можно показать, что c = 1:4616 и в этой точке гамма-функция имеет

Принимая во внимание провед¼нное исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1).

Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x. Окончательно график (x) имеет вид (рис 1).

Теорема 82 (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Привед¼нные выше формулы (80) и (81) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру и интегрирования по пере-

менной x (для определ¼нных или несобственных интегралов, то говорят,

что функции I( ) = Rab f(x; )dx è I( ) = Ra+1 f(x; )dx можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие

от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.

ременной , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная функ-

246