Лекции по вышмату за 1 курс

и докажем, что можно найти вещественные числа и таким образом, что последняя дробь будет сокращаться на x2 + px + q:

Возьмем один из корней этого трехчлена, например x1 = + i и подставим его в числитель данной дроби. Будем искать числа и так, что бы этот числитель в точке x1 = + i равнялся нулю:

Pn (x1) (Ax1 + B) M (x1) = 0:

В этом равенстве M (x1) 6= 0 è Pn (x1) 6= 0, поэтому можно написать Ax1 +

A ( + i ) + D = c + id, что равносильно двум вещественным равенствам

(

A + D = c

:

A = d

Так как 6= 0, то эта система имеет единственное вещественное решение,

K(x)

где дробь M(x) правильная несократимая. Таким образом теорема доказана.

68 Интегрирование рациональных дробей

R P (x)

Рассмотрим интеграл Qn (x) dx:

m

Чтобы его вычислить, достаточно руководствоваться несколькими правилами:

P(x)

1.Если дробь Qmn (x) неправильная, то из нее надо выделить целую часть. Последняя является многочленом, следовательно, легко интегрируется, поэтому проблема сводится к интегрированию правильной дроби.

201

2.Правильную дробь надо разложить на сумму простейших дробей. Тогда интеграл от этой дроби сведется к сумме интегралов от простейших дробей.

Как нам известно, простейшие дроби бывают четырех типов:

Первые две из них интегрируются подведением под знак дифференциала:

того, введем замену переменной t = x + 2 . Тогда

202

t2l 3

=2 (l 1) b2 (t2 + b2)l 1 + 2b2 (l 1)Il 1

формулой и ею можно пользоваться при вычислении подобных интегралов, но так как эту формулу трудно выучить наизусть, предпочтительнее при вычислении таких интегралов пользоваться тем приемом, с помощью которого эта формула была получена.

В дальнейшем мы узнаем еще один способ вычисления подобного интеграла.

Решение Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде

суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: x+12 =

(x 3)(x+2)

Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е. x + 12 =

A (x + 2)+B (x 3). Теперь для нахождения неопределенных коэффициен-

тов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1.Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2.Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной .

Âэтом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим

x + 12 = A (x + 2) + B (x 3) = (A + B) x + (2A 3B) :

Âмногочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены. Получится система

(

A + B = 1

;

2A 3B = 12

решая которую, находим = 3 и = 2:

203

Тогда

и сравним числители первой и последней дроби:

2x2 + x 4 = A (x 2) (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx (x 2) :

Найдем неопределенные коэффициенты, пользуясь вторым критерием равенства многочленов. Для этого последовательно подставим в последнее равенство x = 0; x = 2; x = 1. Получим 4 = 2A, 6 = 6B, 3 = 3C,

откуда = 2; = 1; = 1:

Замечание 31 Такой способ нахождения коэффициентов удобно применять, когда корни знаменателя вещественные и простые.

Пример 181 Вычислить

Z2x2 + 3x + 3

(x2 1) (x2 + 2x + 1)dx

Решение Дробь, стоящую под знаком интеграла, разложим на простейшие

Для нахождения коэффициентов применим "смешанный"метод. Снача- ла в равенство

2x2 + 3x + 3 = A (x + 1)3 + B (x 1) (x + 1)2 + C (x 1) (x + 1) + D (x 1)

подставим последовательно = 1 и = 1. Получим 8 = 8 и 2 = 2D, откуда = 1 и D = 1. Для нахождения двух других неизвестных коэффициентов

204

составим систему двух уравнений, сравнивая два каких-либо коэффициента указанных многочленов, например коэффициенты при x3 и свободные

члены. Тогда получим

(

A + B = 0

;

A B C D = 3

откуда с учетом уже найденных коэффициентов, окончательно получим

= 1; = 0:

Тогда

Решение

Дробь, стоящая под интегралом, неправильная, поэтому из нее надо выделить целую часть. Это можно сделать делением числителя на знамена-

тель уголком

x5 + 2x3 x2 + x + 3 x3 + x 2 x5 + x3 2x2x2 + 1

x3 + x2 + x + 3 x3 + x 2

x2 + 5

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие:

= x2 (A + B) + x (A + C B) + (2A C) (x 1) (x2 + x + 2)

откуда

A x2 + x + 2 + (Bx + C) (x 1) = x2 + 5

è

x2 (A + B) + x (A + C B) + (2A C) = x2 + 5:

Подставляя в первое равенство x = 1, получим 4A = 6 или A = 32 . Из второго равенства получаем систему, из которой окончательно находим

205

все коэффициенты: A = 32 ; B = 12 ; C = 2: . Вернемся к интегралу от правильной дроби:

206

Решение Разложение на простейшие будет иметь вид