Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет им. С.М. Кирова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции по вышмату за 1 курс

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

1.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Пример 188 Вычислить интеграл R 3 xx+11 dx:

Решение Сделаем замену переменной

x + 1

t3 + 1

6t2dt

= t3 ) x =

) dx =

Тогда

x 1

t3 1

(t3 1)2

dx = 6 Z

t (t3 1)2

= 6 Z

(t3 1)2 :

x 1

x + 1

t2dt

t3dt

Подынтегральная функция представляет из себя правильную дробь и, потому, может быть представлена в виде суммы простейших дробей. Но зна- чительно проще проинтегрировать последний интеграл по частям, положив

u = t; dv =

t2dt

) du = dt; v =

(t3 1)2

3 (t3 1)

Получим R

t3dt

(t3 1)2

3(t3 1)

t3 1

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие:

1 1 = t

A 1 + t2

+ t + 1 =

;

Bt + C

A t2 + t + 1 + (Bt + C) (t

откуда получим A = 31 ; B = 31 ; C = 32 :

Тогда

t + 2

z + 3

t3 1

= 3 ln jt 1j

Z t2 + t + 1dt =

3 ln jt 1j

t + 21 2 + 43 dt =

3 ln jt 1j

z2 + 43 dz

	1		1			3		1	2		2z			1			1			t2	+ t + 1	1			2t + 1
=		ln jt 1j		ln	z2 +				p		arctg p		=			ln jt 1j			ln			p		arctg	p
	3		6				4	2							3			6
										3		3											3			3

ãäå z = t + 12 : Окончательно,


Z	r3			dx = 6										+			ln jt 1j					ln		t2 + t + 1	p		arctg	p		+ C =
		x	1					3 (t3					1)		3	3					6
		x	1					3 (t3					1)		3	3					6					3			3
	2		2				1									2					2t + 1				1					;
		x + 1									t			1		1				1					1			2t + 1
=						ln jt 1j +				ln		t2 + t + 1 + p							arctg			p		+ C
	t3 1				3				3
	t3 1				3				3									3					3

ãäå t = 3 xx+11 :

70 Интегрирование тригонометрических функций

ция, можно	R	x
1. Интеграл вида		R (sin x; cos x) dx, где R (u; v) - рациональная функ-

привести к интегралу от рациональной дроби универсаль-

ной тригонометрической подстановкой t = tg 2 . Используя формулы тригонометрии, получим

sin x =	2 tg x2	=	2t	;	cos x =	1 tg2 x2	=	1 t2	:
sin x =	1 + tg2 x	=	1 + t2	;	cos x =	1 + tg2 x	=	1 + t2	:
	1 + tg2 x		1 + t2			1 + tg2 x		1 + t2
	2					2

211

R (sin x; cos x) dx

Кроме того x = 2 arctg t, откуда dx = 1+2dtt2 :

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции R (sin x; cos x), стоящей под интегралом, выража-

ется через элементарные функции.

2.Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется

где R (u; v) - рациональная функция двух	R
очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида	R (sin x; cos x) dx,

переменных, применяются

следующие подстановки:

Если функция R (u; v) нечетна относительно первой переменной, т.е. R ( u; v) = R (u; v), то применяется подстановка cos x = t:

Если функция R (u; v) нечетна относительно второй переменной, т.е. R (u; v) = R (u; v), то применяется подстановка sin x = t:

Если функция R (u; v) четна относительно обеих переменных, т.е. R ( u; v) = R (u; v), то применяется подстановка tg x = t:

приводятся к

sin ax sin bxdx,

sin ax cos bx dx

3. Интегралы вида

cos ax cos bx dx è

табличным с помощью формул преобразования произ-

ведения тригонометрических функций в сумму.

4. Рассмотрим интегралы вида

sinn x cosm x dx, где n и m - целые неот-

рицательные числа. Если n -R

становку cos x =

нечетное число, то можно сделать под-

. Тогда

sin x

t , sin xdx =

dt и данный

= 1 n 1

m 1

m, òî

1 t2

интеграл приводится к виду

tmdt. Если n - число чет-

ное, но нечетным будет

аналогично можно сделать подстановку

Если оба показателя n и m четные, то

sin x = t и привести интеграл к виду

1 t2

dt:

применяют формулы понижения

степени:

sin x

cos x =

sin 2x

; sin2x =

1 cos 2x

; cos2 x =

1 + cos 2x

5.Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности

	интеграл вида				dx

	новки x = a tg t;R			(x2+a2)n					можно вычислить с помощью подста-
интеграл вида				R x; p						dx можно вычислить с помощью
							a2		x2
		x R
	подстановки		= a sin t;
				Ra x; p
интеграл вида								x2 a2		dx можно вычислить с помощью
	подстановки	x R		sin t		;
			=	R x; p
интеграл вида										dx можно вычислить с помощью
								x2	+ a2
		x R
	подстановки		= a tg t:

212

Пример 189 Вычислить интеграл R

2 cos x

Решение Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

2dt

t = tg

) cos x =

; dx =

+ t2

Тогда

2dt

= 2

arctg

t + C = 2

arctg

+C:

2 cos x

(1 + t2)

1 + 3t

1+t2

Пример 190 Вычислить интеграл R

sin3 xdx

2 cos2 x+5

Решение Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно си-

íóñà:

( sin x)3

(sin x)3

поэтому сделаем подстановку

cos x = t:

Тогда

2 cos2 x+5 = 2 cos2 x+5 ;

sin3 xdx

dt =

t2 1

dt =

7/2

dt =

2 cos2 x + 5

2t2 + 5

cos x

arctg

+ C =

arctg

+ C

Пример 191 Вычислить интеграл R

sin2 x 2 sin x cos x+5 cos2 x

Решение Подынтегральная функция четна относительно обеих пере-

менных, поэтому применим подстановку

= tg x. Для удобства сначала

преобразуем подынтегральную функцию

= Z

sin2 x

2 sin x cos x + 5 cos2 x

cos2 x

tg2 x 2 tg x + 5

t2 2t + 5

tg x

arctg

+ C =

arctg

+ C

(t 1)2 + 4

Пример 192 Вычислить интеграл R sin 3x cos 2xdx:

Решение Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в

сумму:

sin 3x cos 2xdx =

(sin 5x + sin x) dx =

cos 5x

cos x+C =

cos 5x

cos x+C:

2 5

Пример 193 Вычислить интеграл

sin2 x cos3 xdx:

нечетной степени, то сделаем замену

Решение Так как cos x стоит в R

t = sin x: Тогда

sin2 x cos3 xdx = Z

t2 1 t2 dt = Z

t2 t4 dt =

+C =

sin x

+C:

213

Пример 194 Вычислить интеграл

sin4 xdx:

Решение Здесь sin x стоит в

четной степени, поэтому воспользуемся

формулами понижения степени:

x sin 2x +

sin4 xdx =

(1 cos 2x)2 dx =

1 2 cos 2x + cos2

dx =

(1 + cos 4x) dx

2 Z

sin 2x

sin 4x

sin 2x

sin 4x

+ C =

+ C

Пример 195 Вычислить интеграл

sin2 x cos4 xdx:

воспользуемся формулами понижения

Решение В этом интеграле снова R

степени:

sin2 x cos4 xdx = Z

sin2

cos2 xdx =

sin2 2x (1 + cos 2x) dx =

sin2

2x + sin2 2x cos 2x dx =

sin 4x

sin3 2x

(1 cos 4x) dx +

sin2 2xd sin 2x =

+ C

Пример 196 Вычислить интеграл

sin2 x cos4 x

подынтегральную функцию, представив числи-

Решение Преобразуем

тель дроби, как тригонометрическую единицу

sin2 x + cos2 x

sin2 x cos4 x

= Z

+ Z

1 + tg2 x

sin2 x cos4 x

cos4 x

sin2 x cos2 x

cos2 x

sin2 x + cos2 x

sin2 x cos2 x

1 + tg2 x

d tg x +

cos2 x

sin2 x

tg3 x

tg3 x Z

= tg x +

+ tg x ctg x + C = 2 tg x +

ctg x + C

Пример 197 Вычислить интеграл

cos x

числитель дроби тоже представим в виде

Решение В этом интеграле

тригонометрической единицы:

sin2 x + cos2 x dx

sin2 x

= Z

cos3 x

dx + Z

cos3 x

cos x

Первый из получившихся интегралов возьмем по частям, положив

sin x

u = sin x; dv =

dx ) du = cos xdx; v = Z

dx =

cos3 x

2 cos2 x

Тогда

sin2 x

sin x

dx =

cos3 x

2 cos2 x

cos x

Отсюда

sin x

+ C:

cos3 x

= 2 cos2 x +

2 Z cos x

= 2 cos2 x

2 ln tg

214

R p

Пример 198 Вычислить интеграл

1 x2dx:

Решение Воспользуемся тригонометрической подстановкой x = sin t. Тогда

Z p1 x2dx = Z cos2 tdt = 2

Z (1 + cos 2t) dt = 2

4 +C =

+4 sin (2 arcsin x)+C:

sin 2t

arcsin x

Пример 199 Вычислить интеграл R

(x2+9)2

Решение Воспользуемся подстановкой x = 3 tg t. Тогда

(x2 + 9)2 = 3 Z 81 1 + tg2 t cos2 t

= 27

cos2 tdt =

2 arctg

+ C

sin 2t

(1 + cos 2t) dt =

+ C =

arctg

sin

108

215

Часть IX

ОПРЕДЕЛ ННЫЙ ИНТЕГРАЛ

71 Определ¼нный интеграл. Его свойства

71.1 Определение определ¼нного интеграла

Рассмотрим некоторую функцию y = f(x), определ¼нную на промежутке [a; b](a < b), рис 1.

Выполним 5 операций.

1. Разобь¼м промежуток [a; b] точками x0 = a; x1; x2; :::; xk; xk+1; :::; xn = b

произвольным образом на n частей. Обозначим xk = xk+1 xk, à наибольшую из длин этих частичных участков обозначим через , т.е.

= supf xkg; будем называть рангом дробления.

2.На каждом частичном участке [xk; xk+1] возьм¼м произвольную точкуk и вычислим в ней значение функции f( k).

3.Составим произведение f( k) xk

4.Составим сумму

n 1

n = f( k) xk

k=0

Эта сумма называется интегральной суммой или суммой Римана.

5.Измельчая дробление (за сч¼т увеличения числа точек дробления n) и устремляя при этом ранг дробления к нулю ( ! 0) т.е. (увеличивая

число точек дробления, мы следим за тем, чтобы уменьшалась и стремилась к нулю длина всех частичных участков xk), будем находить предел последовательности интегральных сумм

J = lim n n ! 1

! 0

Если этот предел существует, не зависит от способа дробления и выбо- ра точек k, то он называется определ¼нным интегралом от функции f(x) по промежутку [a; b] и обозначается так:

Z b

J = f(x)dx

Итак, мы привели ни что иное, как разв¼рнутое определение определ¼нного интеграла от функции f(x) по промежутку [a; b]. Принимая во вни-

мание сказанное выше, можем дать определение определ¼нного интеграла более компактно так:

216

Z	b	def	lim	n 1
Z		f(x)dx =	lim	X f( k) xk(a < b);

an ! 1 k=0

! 0

где a-нижний предел интегрирования, b- верхний предел. В этом слу-

чае, когда для функции f(x) существует определ¼нный интеграл Rab f(x)dx, функция f(x) называется интегрируемой на промежутке [a; b]. Заметим,

что в привед¼нном определении предполагается, что a < b. Понятие определ¼нного интеграла можно обобщить и на случай, когда b < a или b = a.

Действительно, будем считать по определению, что

åñëè b < a, òî Rab f(x)dx = Rba f(x)dx, à åñëè a = b, òî Rab f(x)dx = 0

71.2 Теорема существования определ¼нного интеграла

Возникает вопрос: всякая ли функция f(x) интегрируема на данном промежутке [a; b]. Предварительно дадим определение кусочно-непрерывной функции.

Определение 129 Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на данном промежутке [a; b], если на этом промежутке она ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва.

Геометрически кусочно-непрерывную функцию можно изобразить линией, состоящей из конечного числа непрерывных участков. Очевидно, что функция, непрерывная на промежутке [a; b], является частным случаем

кусочно-непрерывной функции.

Привед¼м теперь без доказательства теорему существования определ¼нного интеграла.

Теорема 70 (достаточное условие интегрируемости) Если функция f(x)

кусочно-непрерывна на промежутке [a; b], то на этом промежутке она интегрируема, т.е. существует Rab f(x)dx.

Заметим, что класс функций, указанных в теореме, практически исчерпывает все функции, встречающиеся в приложениях. В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваются только такие функции.

71.3 Геометрический смысл определ¼нного интеграла

Допустим, что функция f(x) непрерывна и положительна на промежутке [a; b]. Рассмотрим криволинейную трапецию ABCD (рис 1). Интегральная

сумма		P	n 1		да¼т нам сумму площадей прямоугольников
ñ		P	xk и высотами f( k). Е¼ можно принять за приближ¼нное
		n =	k=0 f( k) xk
	основаниями
значение площади криволинейной трапеции ABCD, т.е.
						n 1
				SABCD		X
				SABCD		f( k) xk;

k=0

прич¼м, это равенство будет тем точнее, чем мельче дробление, и в пределе при n ! +1 и ! 0 мы получим

217

Z b

SABCD = f(x)dx

В этом и заключается геометрический смысл определ¼нного интеграла.

71.4 Свойства определ¼нного интеграла

Свойство 1 Raa f(x)dx = 0 (по определению)

Свойство 2 Rab f(x)dx = Rba f(x)dx (по определению), т.е. при перемене местами пределов интегрирования определ¼нный интеграл меняет знак

на противоположный.

Свойство 3 (линейность интеграла)

Z b Z b Z b

[c1f1(x) + c2f2(x)] dx = c1 f1(x)dx + c2 f2(x)dx

a a a

Доказательство Для доказательства достаточно составить интегральную сумму для функции y = c1f1(x)+c2f2(x) и воспользоваться свойствами пределов функции. Действительно,

	! 1	n 1		! 1	n 1		! 1
	! 1	X		! 1	X		! 1
	lim		[c1f1( k) + c2f2( 2)] xk = c1 lim			f1( k) xk+c2 lim
n		k=0	n		k=0	n
! 0		k=0	! 0		k=0	! 0
! 0			! 0			! 0

Следствие 9 Отметим, что из доказанного свойства следуют такие

очевидные факты

à) Rab cf(x)dx = c Rab f(x)dx,

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определ¼нного

интеграла

á) Rab [f1(x) + f2(x)] = Rab f1(x)dx + Rab f2(x)dx;

т.е. интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций по данному промежутку [a; b].

Свойство 4 Каковы бы ни были числа

Z b Z c Z b

a; b; c; f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx;

a a c

лишь бы только функция f(x) была бы интегрируема на каждом из промежутков [a; b]; [a; c] и [c; b] (рис 2).

Доказательство Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральные суммы для каждого из тр¼х интегралов, включив точку c в число точек деления, а затем рассмотреть пределы получившихся инте-

гральных сумм при условии, что n ! 1; ! 0.

n 1	b
k=0 f2( k) xk == c1 Za
X

218

Свойство 5 (Теорема. Оценка определ¼нного интеграла) Теорема 71

Если f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то имеет место такая оценка определ¼нного интеграла:

Z b

m(b a) f(x)dx M(b a);

где m-наименьшее, а M- наибольшее значения функции f(x) на промежутке [a; b].

Доказательство Очевидно, что функция f(x) имеет на промежутке [a; b] наименьшее (m) и наибольшее (M) значения, т.к. f(x) непрерывна на промежутке [a; b], т.е.

8x 2 [a; b] : m f(x) M:

Составим интегральную сумму для						n 1	. ßñíî,
÷òî					f(x) : n =	Pk=0 f( k) xk
n 1		n 1			n 1
X		X			X	M xk:
	m xk		f( k) xk			M xk:
k=0		k=0			k=0
знак суммы,	P	n 1		и, вынося постоянный множитель за
знак суммы,	P	k=0 xk = b a
Учитывая, что		k=0 xk = b a

получим:

n 1

m(b a) f( k) xk M(b a)

k=0

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе получим

Z b

m(b a) f(x)dx M(b a):

Свойство 6 (Теорема о среднем) Теорема 72 Если f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то между точками a и b найд¼тся хотя бы одна точкатакая, что будет иметь место равенство

Z b

f(x)dx = f( ) (b a)

Доказательство Допустим, что a < b. В силу свойства 4 имеет место оценка

Z b

m(b a) f(x)dx M(b a):

Функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], следовательно, принимая значения, равные m и M, она принимает и всякое промежуточное зна- чение, т.е. найд¼тся точка (a < < b) такая, что функция f(x) примет в

этой точке значение равное 1 R b f(x)dx, т.е. будет

b a a

219

yx0abmM yx0abmM f( ) = b a Za	b	f(x)dx => Za	b
yx0abmM yx0abmM f( ) = b a Za		f(x)dx => Za	f(x)dx = f( ) (b a):
1

Заметим, что значения функции f(x) в точке : f( ) называется "средним откуда и название этого свойства.

Замечание 33 Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если f(x) > 0 на [a; b], то, принимая во внимание геометрический

смысл определ¼нного интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f( ).

Привед¼м без доказательства ещ¼ несколько интересных свойств опре-

дел¼нного интеграла.

Свойство 7 а) Если a < b и 8x 2 [a; b] : f(x) 0, то

ab f(x)dx 0;

á) Åñëè a < b è

[a; b] : f(x)

0, òî

ab f(x)dx

R 0;

f(x)dx

Свойство 8 Если a

< b è 8x 2 [a; b] :

f(x) '(x), òî

ab '(x)dx;

Свойство 9 Если a < b, то Rab f(x)dx Rab jf(x)j dx;

Свойство 10 Изменение значения f(x) в одной или в любом конечном

числе точек из промежутка интегрирования не влияет на интегрируемость функции и не меняет значения определ¼нного интеграла.

72 Вычисление определ¼нного интеграла

72.1Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу)

Теорема 73 Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то ин-

теграл с переменным верхним пределом Rax f(t)dt имеет производную, равную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

Z x

f(t)dt = f(x)

Доказательство Допустим, что f(x) > 0, тогда, в силу геометрическо-

го смысла определ¼нного интеграла, очевидно, что функция

(x) = Rax f(t)dt да¼т площадь криволинейной трапеции ABCD. В свою очередь

Z x+x Z x Z x+x Z x+x

(x+ x) = f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = (x)+ f(t)dt

a a x x

220

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.03.2015428.16 Кб36ЛЕКЦИИ ИТ_ЛА.docx
#
15.03.2015839.92 Кб20ЛЕКЦИИ ИТ_ЛА.pdf
#
18.09.2019767.23 Кб17Лекции ИТМ семестр 2.docx
#
02.09.2019329.22 Кб18Лекции по Бухгалтерскому (финансовому) учёту.doc
#
15.03.2015329.22 Кб159Лекции по Бухгалтерскому (финансовому) учёту.doc
#
15.03.20151.53 Mб110Лекции по вышмату за 1 курс.pdf
#
15.03.20153.88 Mб69Лекции по ИТМ семестр 1.docx
#
07.05.20193.88 Mб15Лекции по ИТМ семестр 1.docx
#
15.03.2015722.94 Кб70Лекции по экономике недвижимости.doc
#
15.03.20153.9 Mб92ЛЕКЦИИ часть 2.doc
#
15.03.20154.46 Mб63Лекции,часть1.pdf