Лекции по вышмату за 1 курс

I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

2

1

Определители второго порядка

2

2

Определители третьего порядка

4

3

Основные свойства определителей 3-го по-рядка

6

4

Определители высших порядков

10

5

Исследование и решение систем линейных алгебраических

уравнений

11

II ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

13

6 Векторы и основные линейные операции над ними

13

6.1

Векторные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

6.2

Умножение вектора на скаляр . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.3

Единичный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.4

Сложение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6.5

Вычитание векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

система координат

15

7.1

Линейная зависимость и независимость векторов . . . . . . .

15

7.2

Базисы на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . .

16

7.3

Прямоугольная декартова система координат . . . . . . . . . .

16

8 Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компонен-

ты вектора.

17

8.1

Проекция вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

9 Теоремы о проекциях вектора

18

10 Скалярное произведение и его свойства

21

10.1

Определение скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . .

21

10.2

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух век-

торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

10.3

Скалярное произведение векторов, заданных своими коорди-

натами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

10.4

Угол между двумя векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

10.5

Механический смысл скалярного произведения . . . . . . . . .

22

11

Векторное произведение и его свойства

23

11.1

Определение векторного произведения . . . . . . . . . . . . . .

23

11.2

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух нену-

левых векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

11.3

Векторное произведение векторов, заданных своими коорди-

натами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

11.4

Механический смысл векторного произведения . . . . . . . . .

25

12

Смешанное произведение тр¼х векторов

26

12.1

Определение смешанного произведения . . . . . . . . . . . . .

26

12.2

Необходимое и достаточное условие компланарности тр¼х век-

торов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

12.3

Геометрический смысл смешанного произведения . . . . . . .

26

12.4

Свойства смешанного произведения . . . . . . . . . . . . . . .

27

13

Двойное векторное произведение

27

III ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

29

14 Плоскость в трехмерном пространстве

30

14.1

Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости

30

14.2

Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плос-

костей в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

14.3

Условие параллельности двух плоскостей . . . . . . . . . . . .

31

14.4

Условие перпендикулярности двух плоскостей . . . . . . . . .

31

15 Прямая линия в пространстве

34

15.1

Векторное уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

15.2

Параметрические и канонические уравнения прямой . . . . .

34

16

Кривые второго порядка

40

16.1

Эллипс и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

16.2

Гипербола и е¼ свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

16.3

Парабола и е¼ свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

17

Общее уравнение кривой второго порядка

43

17.1

Формулы преобразования координат при параллельном пере-

носе координатных осей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

17.2

Формулы преобразования координат при повороте координат-

íûõ îñåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

17.3

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к ка-

ноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

18 Уравнение линии на плоскости и в пространстве

46

18.1

Кривые, заданные пересечением поверхностей . . . . . . . . .

46

18.2

Параметрические уравнения кривых . . . . . . . . . . . . . . .

47

18.3

Уравнения кривых в полярных координатах . . . . . . . . . .

48

19 Поверхности второго порядка

49

19.1

Эллипсоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

19.2

Однополостный гиперболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

19.3

Двуполостный гиперболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

19.4

Эллиптический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

19.5

Гиперболический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

19.6

Цилиндр второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

19.7

Конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

20 Поверхности вращения

53

РАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

54

21

Матрицы. Основные понятия

54

21.1

Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

21.2

Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

21.3

Транспонированная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

21.4

Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

21.5

Ортогональная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

22

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы. Тео-

рема о базисном миноре

62

22.1

Элементарные преобразования матриц . . . . . . . . . . . . . .

62

22.2

Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

22.3

Линейная независимость строк и теорема о базисном миноре

64

23

Исследование линейных алгебраических систем

65

23.1

Решение системы линейных алгебраических уравнений в мат-

ричном виде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

23.2

Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

23.3

Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

24

Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

Фундаментальная система решений

73

25

Неоднородные системы линейных алгебраических уравне-

íèé

76

25.1

Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь

с решением соответствующей однородной системы . . . . . . .

76

26

Альтернатива Фредгольма для линейных систем

80

27 Неравенства первой степени с двумя и тремя переменными.

Системы неравенств

82

вестными . . . . . . . .

. . . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

84

V

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

85

28

Элементы теории множеств

85

28.1

Логические символы и логические операции . . . . . . . . . .

85

28.2

Понятие множества . .

. . . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

86

28.3

Вещественные числа (множество R) . .

. . . . . . . . . . . . .

88

28.4

Промежутки вещественных чисел. Окрестности . . . . . . . .

89

28.5

Комплексные числа (множество C)

. . .

. . . . . . . . . . . . .

91

28.6

Действия над комплексными числами .

. . . . . . . . . . . . .

92

29

Функция

94

29.1

Определение функции

. . . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

94

29.2

Способы задания функции . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

95

29.3

Классификация функций . . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

96

29.4

Свойства рациональных функций .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

97

30

Предел функции. Единственность предела

99

30.1

Определение предела функции

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

99

30.2

Односторонние пределы функции .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

100

30.3

Единственность конечного предела

. . .

. . . . . . . . . . . . .

100

31

Существование предела.Первый замечательный предел lim

sin x

=

1

x!0

x

101

31.1

Достаточный признак существования конечного предела . . .

101

31.2

Первый замечательный предел

lim

sin x

= 1 . . . . . . . . . . .

101

x!0

x

31.3

Существование предела у монотонных функций . . . . . . . .

102

32

Предел последовательности. Второй замечательный предел

lim

1 + 1

n = e. Натуральные логарифмы

103

32.1

. .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

103

n!1

n

Предел последовательности

n

32.2

Замечательный предел

lim

1

. Натуральные лога-

рифмы

. . . . . . . . .

n.!1. . .1 .+.n.

. =. .e . . . . . . . . . . . . .

104

33

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

105

34

Теоремы о конечных пределах

107

35

Сравнение бесконечно малых функций

110

36

Непрерывность функции в точке

111

36.1

Различные формулировки определения непрерывности функ-

ции в точке . . . . . . .

. . . . .

. .

. . .

. . . . . . . . . . . . .

111

36.2

Односторонняя непрерывность функции в точке . . . . . . . .

112

37 Разрыв функции в точке. Классификация разрывов

115

ЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

117

ференцируемой функции

117

38.1

Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

38.2

2. Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . .

117

38.3

Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . .

118

38.4

Односторонние производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

38.5

Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

38.6

Непрерывность дифференцируемой функции . . . . . . . . . .

120

39 Правила дифференцирования. Таблица производных

120

39.1

Производная постоянной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

39.2

Дифференцирование степенной функции . . . . . . . . . . . .

120

39.3

Дифференцирование показательной функции . . . . . . . . . .

121

39.4

Дифференцирование логарифмической функции . . . . . . . .

121

39.5

Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

39.6

Дифференцирование тригонометрических функций . . . . . .

122

39.7

Правило дифференцирования сложной функции . . . . . . . .

123

39.8

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

125

39.9

Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

39.10Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

39.11Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . . . . .

127

39.12Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

40 Дифференциал функции

128

40.1

Дифференциал функции, его геометрический смысл . . . . . .

128

40.2

Инвариантность формы первого дифференциала . . . . . . . .

129

40.3

Приложение теории дифференциала к приближенным вычис-

лениям. Линеаризация функций . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

40.4

Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность их фор-

ìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

Векторная функция скалярного аргумента

131

42

Теоремы о дифференцируемых функциях

133

42.1

Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

42.2

Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

43

Теорема Коши

135

43.1

Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

44

Формулы Тейлора и Маклорена

137

44.1

Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

44.2

Представление функций ex , cosx, sinx, ln(1+x), (1+x) фор-

мулой Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

44.3

Применение формулы Тейлора к приближенным вычислениям 142

45

Исследование функций с помощью первой производной

144

45.1

Признак постоянства функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

45.2

Признаки возрастания и убывания функции . . . . . . . . . .

144

45.3

Экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

45.4

Необходимые условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . .

145

46

Исследование функций с помощью второй производной

147

46.1

Выпуклость и вогнутость кривых . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

46.2

Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

46.3

Наибольшее и наименьшее значение функции . . . . . . . . . .

148

46.4

Четность и нечетность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

46.5

Асимптоты кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

47

Общая схема исследования функции

149

48

Дифференциал дуги плоской кривой

151

VII

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНК-

ЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

154

49

Функции нескольких переменных. Основные понятия

154

49.1

Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 156

49.2

Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

50

Дифференцируемость функции нескольких переменных

158

50.1

Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

50.2

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Пол-

ный дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

51

Применение полного дифференциала к приближенным вы-

числениям и оценке погрешностей

161

52

Дифференцирование сложных функций нескольких пере-

менных

162

53

Частные производные высших порядков

166

54

Дифференциалы функции нескольких переменных. Иссле-

дование инвариантности их формы

167

55

Формула Тейлора

170

56

Приложения дифференциального исчисления функций несколь-

ких переменных

171

56.1

Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . . . . . . .

171

56.2

Экстремумы функции нескольких переменных . . . . . . . . .

173

56.3

Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

56.4

Наибольшее и наименьшее значение функции . . . . . . . . . .

176

57

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

177

VIII НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

179

58

Первообразная

179

59

Неопределенный интеграл

179

60

Таблица неопределенных интегралов

180

61

Линейность

182

62

Замена переменной

183

63

Подведение функции под знак дифференциала

183

64

Введение новой переменной интегрирования

185

65

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

186

66

Интегрирование функций вида kx+d

p

kx+d

ax2+bx+c

è

ax2+bx+c

188

67

Рациональные дроби

189

68

Интегрирование рациональных дробей

192

69

Интегрирование иррациональностей

199

70

Интегрирование тригонометрических функций

202

IX ОПРЕДЕЛ ННЫЙ ИНТЕГРАЛ

207

71 Определ¼нный интеграл. Его свойства

207

71.1

Определение определ¼нного интеграла . . . . . .

. . . . . . . . 207

71.2

Теорема существования определ¼нного интеграла

. . . . . . .

208

71.3

Геометрический смысл определ¼нного интеграла

. . . . . . . .

208

72 Вычисление определ¼нного интеграла

211

72.1

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Тео-

рема Барроу) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211

72.2

Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

212

72.3

Подстановка в определ¼нном интеграле . . . . . . . . . . . . .

213

72.4

Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

73 Приложения определ¼нного интеграла

214

73.1

Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . .

214

73.2

Вычисление длины дуги плоской кривой . . . . . . . . . . . .

216

73.3

Вычисление площади поверхности тела вращения . . . . . . .

218

73.4

Вычисление объ¼мов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

74 Общая схема применения определ¼нного интеграла

220

74.1

Методика применения определ¼нного интеграла к решению

практических задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

74.2

Работа переменной силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221

74.3

Давление на пластинку, погруженную вертикально в жидкость222

74.4

Моменты. Центры масс плоских фигур . . . . . . . . . . . . .

223

74.5

Приложение определ¼нного интеграла к экономическим зада-

÷àì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

X

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

225

75

Несобственные интегралы по неограниченному промежут-

êó

225

75.1

Определение несобственного интеграла по неограниченному

промежутку . . . . .

. . . .

R.

+.1. f.(x. ).dx. . . . . . . . . . . . .

. 225

75.2

Главное значение интеграла

. 226

75.3

Достаточные признаки

1

сходимости несобственных интегралов

по неограниченному промежутку . . . . . . . . . . . . . . . . .

228

75.4

Абсолютная сходимость . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

76

Несобственные интегралы от неограниченных функций

229

77

Интегралы, зависящие от параметра

231

78

Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)

235

78.1

Определение гамма-функции

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

78.2

Свойства гамма-функции . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236

78.3

Исследование гамма-функции

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

79

Гамма функция (Интеграл Эйлера 2го рода)

239

79.1

Определение гамма-функции

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239

79.2

Свойства гамма-функции . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

240

79.3

Исследование гамма-функции

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

80 Бета-функция (интеграл Эйлера первого рода)

242

80.1

Определение бета-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

80.2

Свойства бета-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242

80.3

Интеграл Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

XI ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛЫ

244

81 Двойной интеграл

245

81.1

Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .

245

81.2

Геометрической смысл двойного интеграла . . . . . . . . . . .

246

81.3

Вычисление двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .

248

81.4

Вычисление площади кривой поверхности с помощью двой-

ного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

82 Тройной интеграл

252

82.1

Определение тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .

252

82.2

Теорема существования тройного интеграла . . . . . . . . . . .

253

82.3

Вычисление тройного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . .

253

82.4

Геометрический смысл тройного интеграла . . . . . . . . . . .

254

XII ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

255

83

Кривые в пространстве

255

84

Криволинейные интегралы первого рода

256

85

Правило вычисления криволинейных интегралов первого ро-

да и их свойства

257

86

Криволинейные интегралы второго рода

261

87

Правило вычисления криволинейных интегралов второго ро-

да и их свойства

262

88

Связь между криволинейными интегралами первого и вто-

ðîãî ðîäà

266

89

Теорема Грина и ее следствия

268

90

Независимость криволинейного интеграла от пути интегри-

рования

271

91

Поверхностные интегралы первого рода

275

92

Правило вычисления поверхностных интегралов первого ро-

да и их свойства

275

93

Поверхностные интегралы второго рода

281

94

Свойства и правило вычисления поверхностного интеграла

второго рода

282

95

Скалярные и векторные поля

286

96

Дифференциальные характеристики скалярного поля

288

97

Свойства градиента и производной по направлению

288

98

Дифференциальные характеристики векторного поля

291

99

Символический вектор ~

293

r

100Интегральные характеристики векторного поля

293

101Теорема Остроградского-Гаусса

294

102Теорема Стокса

298