Лекции по вышмату за 1 курс

Исключая по очереди переменные x1, x2 è x3, переходим к формулам

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, ãäå

(14) Система (14) эквивалентна системе (33), т.е. каждое решение системы (33) является решением системы (14) и наоборот. Запись в виде (14) позволяет легко исследовать систему. Рассмотрим два случая: определитель

равен нулю и определитель отличен от нуля.

1. Пусть 6= 0. В этом случае система (14) имеет единственное решение

x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 3 :

Эти формулы называют формулами Крамера. В знаменателе стоит определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, а в числителях - определители i, получающиеся из заменой i-го столб-

ца столбцом свободных членов ( i = 1; 2; 3).

2.Пусть = 0. Здесь возможны два случая.

a) Хотя бы один из определителей 1, 2, 3 в системе (14) отличен от нуля. Пусть для определ¼нности 1 6= 0. Тогда уравнение x1 = 1

не может быть удовлетворено никаким значением неизвестного. Следовательно система (14), а значит и исходная система (33) несовместная.

б) Все определители 1, 2, 3 равны нулю. В этом случае (примем

это пока без доказательства) система (33) либо имеет бесчисленное множество решений, либо она несовместная.

Привед¼нные выше формулы Крамера и рассуждения справедливы для линейных систем любого порядка. Более подробное исследование систем будет рассмотрено в главе IV.

Пример 6 Исследовать и решить систему

>

x1 + 3x2 x3 = 2;

Решение Вычисляем определитель системы . Находим = 17. Сле-

довательно система совместна и имеет единственное решение. Вычисляя, находим

1 = 17; 2 = 17; 3 = 34;

откуда

x1 = 1 = 1717 = 1; x2 = 2 = 1717 = 1; x3 = 3417 = 2:

21

Пример 7 Исследовать систему

Решение Находим определитель системы. Он равен нулю. Обраща-

емся к определителям 1, 2 è 3. Находим: 1 = 50. Определители 2 è3 можно не вычислять, так как из того, что 1 6= 0, следует, что система несовместная.

Часть II

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Векторная алгебра имеет широкое применение в различных разделах физики, математики, механики и т.п.. В курсе средней школы вектор определяется как некоторое преобразование пространства. Однако для прикладных целей удобнее использовать другое, традиционное определение вектора и действий над векторами, на которых мы и остановимся дальше. Это не означает, однако, что сведения, полученные в средней школе, не верны. Просто мы будем изучать векторную алгебру, исходя из несколько иных, более удобных для практических целей позиций.

6Векторы и основные линейные операции над ними

6.1 Векторные величины

В отличие от скалярной величины, которую можно задать одним числом и отложить на некоторой шкале (отсюда и название - "скалярная") - площадь, объ¼м, температура - векторную величину, или просто вектор, можно задать

с помощью числа и некоторого направления (скорость, сила).

!

Итак, мы можем сказать, что вектор AB - это величина, которая харак- теризуется числом, совпадающим с длиной отрезка AB, и направлением,

совпадающим с направлением луча [A; B) (рис. 2.1.1).

! !

При этом длину вектора обозначают AB , j a j или ещ¼ jaj. Длину вектора также называют модулем этого вектора. Векторы a и b называют

равными, если совпадают их длины и направления.

Векторы a и b называют противоположными, если их длины равны,

а направления противоположны. Заметим, что при этом начало вектора можно поместить в любой точке пространстве. Такие векторы называют

свободными.

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (0). Направление нулевого вектора не определено.

22

6.2 Умножение вектора на скаляр

Определение 4 Произведением вектора a на число называется такой вектор c, что jcj = j j jaj , а направление его совпадает с направлением вектора a, если > 0, и ему противоположно, если < 0; если a = 0 или = 0, то a = 0.

Ясно, что векторы a и a (если 6= 0) можно поместить на одной прямой (рис. 2.1.2). Вектор ( 1) a = a, очевидно, является противоположным вектору a.

Определение 5 Два ненулевых вектора a и b, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

6.3 Единичный вектор

Определение 6 Вектор a0, длина которого равна единице, называется

единичным вектором, или ортом.

Если задан некоторый вектор a (a 6= 0), то всегда можно подобрать множитель , такой, чтобы после умножения на него длина вектора a бы-

ла бы равна единице. Очевидно, что в качестве такого числа нужно взять= ja1j. Тогда a0 = jaaj, è ïðè ýòîì a0 называется единичным вектором,

соответствующим вектору a, или ортом вектора a. Очевидно, что направление единичного вектора всегда совпадает с направлением вектора a. Ясно также, что a = jaj a0.

Точно так же единичный вектор l0, направление которого совпадает с направлением оси l, называется ортом оси l, или е¼ единичным вектором.

6.4 Сложение векторов

Определение 7 Суммой векторов a и b, расположенных так, что на- чало вектора b совпадает с концом вектора a, называется вектор c, на- чало которого совпадает с началом вектора a, а конец - с концом вектора b. (правило треугольника - рис. 2.1.3, а).

При этом пишут: c = a + b. Аналогично определяется сумма n векторов

a1 + a2 + ::: + an = c:

!

А именно: суммой называют вектор c , провед¼нный из начала первого

!

в конец последнего вектора, при условии, что начало вектора a2 совпадает с концом вектора a1, начало вектора a3 совпадает с концом вектора a2 è т.д. (правило многоугольника - рис. 2.1.3, б).

Замечание 4 Если на векторах a и b построить параллелограмм, поместив их начало в общую точку, то сумма a+b будет лежать на диагонали параллелограмма, выходящего из общего начала векторов a и b (правило параллелограмма - рис. 2.1.3, в).

1.a + 0 = a - поглощение нулевого вектора

2.a + b = b + a - перестановочное, или коммутативное

23

3. (a + b) + c = a + (b + c) - сочетательное, или ассоциативное.

6.5 Вычитание векторов

Определение 8 Вектор c называется разностью векторов a и b, т.е. c = a b, если c + b = a.

Отсюда следует, что c = a + ( b) т.е. вычитание векторов сведено к

сложению (рис. 2.1.4). Нетрудно заметить, что разность векторов лежит на второй диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b,

провед¼нной из конца вектора b в конец вектора a.

7Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат

7.1 Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется n векторов a1, a2, , an и n постоянных коэффициентов c1, c2, , cn. Выражение c1a1 + c2a2 + ::: + cnan называется линейной комбинацией векторов a1, a2, , an.

Определение 9 Векторы a1, a2, , an называются линейно зависи- мыми, если существуют числа c1, c2, , cn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация равна нулю:

c1a1 + c2a2 + ::: + cnan = 0

Определение 10 Векторы a1, a2, , an называются линейно зависи-

мыми, если хотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 23 и 10 эквивалентны, т.е. из 23 следует 10 и наоборот.

Определение 11 Векторы a1, a2, , an называются линейно незави- симыми, если линейная комбинация c1a1 + c2a2 + ::: + cnan = 0 лишь при условии c1 = c2 = ::: = cn.

Определение 12 Векторы a1, a2, , an называются линейно неза-

висимыми, если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Можно доказать, что определения 24 и 12 эквивалентны.

24

Пример 8 Доказать, что коллинеарные векторы линейно зависимы. Действительно, поместим векторы a и b на одной прямой (рис. 2.2.1), тогда

можно найти такое , при котором a = b => 1 a + ( ) b = 0, а это и означает, что a и b линейно зависимы.

Пример 9 Доказать, что любые три вектора a, b и c, лежащие в плос-

кости, линейно зависимы.

Действительно, поместим начало всех тр¼х векторов в общую точку

Определение 13 Три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Итак, мы показали, что компланарные векторы линейно зависимы.

Пример 10 Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Действительно, можно подобрать, прич¼м единственным образом, та-

кие числа 1, 2, 3, что будет d = 1a + 2b + 3c (ðèñ. 2.2.3).

7.2 Базисы на плоскости и в пространстве

Определение 14 Совокупность любых двух линейно независимых векторов, принадлежащих данной плоскости, называется базисом на этой плоскости. Если e1, e2 - базис на плоскости, то для любого вектора a, лежащего в этой плоскости, можно найти единственным образом такие числа x1 è x2, что будет a = x1e1 + x2e2. Числа x1 è x2 называются координатами вектора a в данном базисе.

Определение 15 Совокупность любых тр¼х линейно независимых век- торов e1, e2, e3 в пространстве называется базисом в пространстве. Если a - произвольный вектор, то всегда можно найти единственным

образом числа x1, x2, x3 такие, что будет иметь место представление:

a = x1e1 + x2e2 + x3e3. Коэффициенты x1, x2, x3 в разложении данного

!

вектора по базису называются координатами вектора a в базисе e1, e2,

e3.

7.3 Прямоугольная декартова система координат

Из всех возможных базисов ( e1, e2, e3) в пространстве выберем такой, чтобы все векторы, входящие в этот базис, были попарно ортогональны (т.е.

ванным.

Определение 16 Тройка векторов a, b, c называется правой, если при

!

наблюдении с конца вектора c кротчайший поворот от вектора a к вектору b происходит против движения часовой стрелки.

25

Ограничимся выбором правой тройки базисных векторов e01, e02, e03. Ïî- местим далее начало векторов, входящих в выбранной базис, в общую точку

0 и из этой точки провед¼м оси Ox, Oy, Oz, направления которых совпадают с направлениями векторов e01, e02, e03.

Получим так называемую пространственную прямоугольную правую

декартову систему координат Oxyz. Прич¼м принято орты обозначать так: e01 = i, e02 = j, e03 = k (рис. 2.2.4). Ось Ox называется осью абсцисс,

ось Oy - осью ординат, ось Oz - осью аппликат.

Åñëè e03 = 0, получим прямоугольную правую систему декартовых координат на плоскости - систему Oxy.

8Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора.

8.1 Проекция вектора на ось

!

Пусть вектор AB лежит на некоторой оси l. Направление орта l0 соответ- ствует направлению оси (Рис. 2.3.1).

Определение 17 Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.

!

Пусть вектор AB не лежит на оси l. Из точек A и B опустим перпенди-

куляры на ось l. Получим соответственно две точки A0 è B0. (Ðèñ. 2.3.2). Вектор A0B!0 называется компонентой вектора AB! ïî îñè l.

Определение 18 Проекцией вектора, не лежащего на оси l, на эту

ось называется проекция его компоненты по оси l на эту же ось. Проекция

!

вектора на ось обычно обозначается так: Пр lAB. Очевидно, если вектор

! ! !

AB лежит на оси l, то можно написать: AB = (ПрlAB) l0

Замечание 5 Отметим, что проекция вектора a на ось l является также координатой вектора a по этой оси l.

8.2Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки

Поместим начало вектора a в начало декартовой системы координат Oxyz (его конец - точка A).

Спроектируем точку A на координатные оси. Получим соответственно

три точки A1, A2, A3 (ðèñ. 2.3.3).

! ! !

Как было отмечено, векторы OA1, OA2, OA3, лежащие на координатных

!

осях Ox, Oy и Oz, являются компонентами вектора a по координатным

! ! !0 0! ! ! !

OA = OA1 + A1A2 + A2A = OA1 + OA2 + OA3;

26

òî a = axi + ayj + azk.

Такое представление вектора a называется разложением его на компо-

ненты, или составляющие по координатным осям. Нетрудно заметить,

!

что вектор a лежит на диагонали параллелепипеда, следовательно, можно

a = fax; ay; azg.

Рассмотрим теперь некоторую точку M в пространстве. Вектор r =

!

OM называется радиус-вектором точки M (рис 2.3.4). Проекции rx, ry, rz радиус-вектора точки M на координатные оси называются координатами точки M в данной системе координат, и при этом их обозначают просто x, y и z, т.е. точка M имеет координаты x, y и z записывают так: M(x; y; z).

9Теоремы о проекциях вектора

Определение 19 Углом между вектором a и осью l называется наименьший угол между направлением вектора a и положительным направ-

лением оси l, обозначается ac; l .

Теорема 1 Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

! !

Доказательство Пусть угол острый, тогда ПрlAB = AB cos . Åñëè

Замечание 6 (о направляющих косинусах вектора).

Косинусы углов , и , которые вектор a образует с координатными осями Ox, Oy и Oz, называются направляющими косинусами вектора a (Рис.2.4.2). Если ax, ay, az проекции вектора a на координатные оси, то

>

a >

>

z >

cos = >

;

jaj

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Теорема 2 Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т.е. Пр l(a + b) = Ïðla + Ïðlb.

27

Сравнивая правые части равенств (15) и (16), получаем Пр l(a + b) = Ïðla.

Пример 11 Найти координаты вектора

координаты его начала A(xA; yA; zA) и конца B(xB; yB; zB) - (ðèñ. 2.4.4).

Решение Провед¼м радиус-векторы точек A и B: r1 è r2. ßñíî, ÷òî rA = xAi + yAj + zAk; rB = xBi + yBj + zBk

что по этой формуле удобно вычислять расстояние между двумя точками, если известны их координаты.

Теорема 3 При умножении вектора a на число его проекция на ось

также умножается на это число, т.е. Пр l( a) = Ïðla.

Доказательство (Без доказательства).

Теорема 4 Для того, чтобы два вектора были равны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции на любую ось были равны.

Доказательство (Доказать самостоятельно).

Пример 12 Даны точки A(1,-1,2) и B(3,2,3) (рис 2.4.5) Найти:

!

1. Координаты вектора AB;

!

2. Длину вектора AB;

!

3. Разложение вектора AB на составляющие;

!

4. Направляющие косинусы вектора AB;

!

5. Единичный вектор (орт), соответствующий вектору AB.

Решение

1. Принимая во внимание предыдущий пример, получим: xB xA = 2,

!

yB yA = 3, zB zA = 1. Èòàê AB(2; 3; 1).

28

4. Напомним, что ax = jaj cos , ay = jaj cos , az = jaj cos , ãäå , , -

!

углы, которые вектор AB составляет с координатными осями Ox, Oy,

Oz.

Как известно, cos , cos , cos называются направляющими косинусами вектора a. В нашем случае cos = p214 , cos = p314 , cos = p114 .

Нетрудно отметить, что координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами.

!

Пример 13 Дан вектор AB = i + j + 2k и координаты точек B(1; 2; 1),

!

C(2; 2; 5). Найти координаты вектора AC. (рис. 2.4.6)

! !

Решение Найд¼м координаты вектора BC : BC(1; 0; 6).

! ! !

AC = AB + BC = (i + j + 2k) + (i + 6k) = 2i + j + 8k

!

Èòàê AC(2; 1; 8).

Пример 14 Выяснить, при каких значениях параметров и вектора a = i + 2j + 3k и b = i + j + k коллинеарны.

Решение Напомним, что два вектора a и b коллинеарны, если они ле-

жат на параллельных прямых или на одной прямой, а тогда, как было отмечено выше, они линейно зависимы. Следовательно, существует некая константа c такая, что имеет место соотношение a = cb.

Откуда следует, что i + 2j + 3k = c(i + j + k). Значит

( c)i + (2 c)j + (3 c )k = 0:

Так как векторы i, j, k линейно независимы, ибо они представляют со-

бою базис, то должны обращаться в ноль коэффициенты этой линейной комбинации, т.е.

>

3 c = 0;

Из второго уравнения имеем c = 2; подставляя его в первое и третье уравнения, получим значения интересующих нас констант: = 2, = 32 .

29

10 Скалярное произведение и его свойства

10.1 Определение скалярного произведения

что иногда скалярное произведение обозначают (a; b).

Свойства скалярного произведения

1.a b = jaj ïðab = jbj ïðba

Действительно, прab = jbj cos(ad; b), íî a b = jaj jbj cos(ad; b) = jaj ïðab, отсюда следует, что прab = ajabj .

2.Переместительное или коммутативное свойство:

a b = b a:

Это свойство очевидно, так как cos(ad; b) = cos(bd; a).

3.Сочетательное или ассоциативное свойство относительно числового множителя :

( a) b = a ( b) = (a b)

4.Распределительное или дистрибутивное свойство относительного сложения векторов:

a (b + c) = a b + a c:

Следствие 1

(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d

30