Лекции по вышмату за 1 курс

Решение Обозначим искомую плоскость P3. Нам известна точка M0(1; 1; 2), ей принадлежащая, значит мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через точку M0 - уравнение (18):

A(x 1) + B(y 1) + C(z 2) = 0

В качестве нормали n3 мы можем взять вектор n3 = n1 n2, ò.ê. â ñèëó определения векторного произведения вектор n3 перпендикулярен как к вектору n1(1; 2; 1), так и к вектору n2(2; 1; 2). Вычисляем

i j k

n3 = n1 n2 = 1 2 1 :

2 1 2

Разложим данный определитель по элементам первой строки, тогда будет:

ò.å. n3( 5; 0; 5). Изменим на нормали n3 направление (так проще), т.е. возьм¼м n3(5; 0; 5). Возьм¼м в качестве n3 коллинеарный вектор n3(1; 0; 1). Тогда уравнение искомой плоскости

1(x 1) + 0(y 1) + 1(z 2) = 0:

Окончательно x + z 3 = 0.

Пример 23 Найти уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(2; 1; 2) è M3(3; 1; 1). (ðèñ 3.1.4)

Решение В качестве нормали к искомой плоскости можно взять вектор n = M1M2 M1M3.

Очевидно, что M1M3(2; 0; 0), M1M2(1; 0; 3).

Искомая плоскость A(x 1) + B(y 1) + C(z + 1) = 0.

Положим здесь A = 0, B = 6, C = 0. Окончательно получим уравнение искомой плоскости y = 1.

Пример 24 Найти точку пересечения тр¼х плоскостей: P1 : x+y+z 3 = 0, P2 : 2x y z = 0 è P3 : x + 2y z 2 = 0. (ðèñ. 3.1.5)

Решение Координаты точки пересечения плоскостей удовлетворяют каждому из уравнений плоскости, следовательно решение задачи сводится к нахождению решения системы тр¼х алгебраических уравнений:

41

Найд¼м решение этой системы по формулам Крамера:

Итак, точка пересечения плоскостей M(1; 1; 1).

Пример 25 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1; 1; 1) и линию пересечения плоскостей (рис. 3.1.6)

Решение Возьм¼м на линии пересечения плоскостей две какие-нибудь (любые) различные точки M1(x1; y1; z1) è M2(x2; y2; z2) так, чтобы коорди-

наты этих точек удовлетворяли системе двух уравнений (22).

Эта система содержит два уравнения с тремя неизвестными, значит она имеет бесчисленное множество решений (это есть множество точек, лежащих на линии пересечения плоскостей l). Зафиксируем в этой системе пе-

ременную z, положив, например, z1 = 0, тогда получим

Итак, мы нашли точку M1( 1; 4; 0). Положим теперь z2 = 1, тогда име-

!

Получим вторую точку M2(1; 1; 1). Введ¼м в рассмотрение векторы M0M1 =

!

2i+ 5j+ k, M0M2 = 2j+ 2k. Теперь можно найти нормаль к искомой плос-

! !

кости P : n = M0M1 M0M2,

i j k

n = 2 5 1 = 8i + 4j 4k:

0 2 2

42

Сокращая на 4, возьм¼м более простое выражение для нормали n = 2i + j 2k. Теперь оста¼тся написать уравнение искомой плоскости P :

P : 4(x 1) + 1(y + 1) 2(z + 1) = 0:

Окончательно общее уравнение искомой плоскости: 2x + y z 2 = 0

15 Прямая линия в пространстве

15.1 Векторное уравнение прямой

Положение прямой линии в пространстве можно задать различными способами. В частности, через данную точку M0(x0; y0; z0) параллельно данному ненулевому вектору S(m; n; p) можно провести единственную прямую (рис.

3.2.1).

Вектор S называется направляющим вектором прямой. Обозначим через r0 радиус-вектор точки M0, а через r - радиус-вектор произвольной точки

Уравнение (23) называется векторным уравнением прямой линии в пространстве.

15.2Параметрические и канонические уравнения прямой

Запишем уравнение (23) в виде:

xi+yj+zk = x0i+y0j+z0k+ mi+ nj+ pk = (x0+ m)i+(y0+ n)j+(z0+ p)k

Уравнения (24) называются параметрическими уравнениями прямой. Здесь в качестве параметра выступает . Придавая различные чис-

ловые значения из (1; +1), будем получать на прямой различные точки. Исключая из уравнения (24) параметр , получим так называемые ка-

нонические уравнения прямой:

x x0 = y y0 = z z0 : m n p

43

15.3Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две различные точки M1(x1; y1; z1) è M2(x2; y2; z2). Очевидно,

что через эти две точки можно провести единственную прямую (рис.3.2.2).

!

В качестве направляющего вектора этой прямой возьм¼м вектор S = M1M2,

àв качестве фиксированной точки можно взять любую из точек M1 èëè M2. Пусть это будет точка M1. Тогда канонические уравнения прямой, про-

ходящей через две данные точки, имеют вид

15.4Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Определение 24 Углом между двумя прямыми называется наименьший угол между их направляющими векторами.

Очевидно, что если

то угол ' между прямыми l1 è l2 можно вычислить из соотношения

1.Если прямые l1 è l2 параллельны, то их направляющие векторы S1 è S2 коллинеарны, следовательно, условие параллельности двух прямых

2.Если прямые l1 è l2 перпендикулярны, то S1 S2 = 0, следовательно, условие перпендикулярности двух прямых имеет вид:

Заметим, что в силу рассмотренных ранее теорий условия (25) и (26) являются необходимыми и достаточными условиями соответственно параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

15.5Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Определение 25 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и е¼ проекцией на эту плоскость. (рис. 3.2.3)

Пусть плоскость P задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, следовательно, нормаль к ней n = (A; B; C).

44

му направляющий вектор прямой S = (m; n; p). В силу определения, если ' - угол между прямой и плоскостью, то

15.6 Условие параллельности прямой и плоскости

Если прямая параллельна плоскости, то е¼ направляющий вектор S перпендикулярен нормали n, следовательно, S n = 0, значит, условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

15.7 Условие перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то е¼ направляющий вектор коллинеарен нормали к плоскости, следовательно, условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

Заметим, что условия (27) и (28) не только необходимы, но и достаточ- ны соответственно для параллельности прямой и плоскости, а также для перпендикулярности прямой и плоскости.

Пример 26 Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точ- ку M0(1; 1; 2) и параллельной данной прямой l : x+12 = y 11 = z1 (ðèñ.3.2.4).

Решение Направляющий вектор данной прямой l есть S = 2i j k.

Искомая прямая l1 параллельна данной прямой l, значит е¼ направляющий вектор S1 = S. Фиксированная точка M0(1; 1; 2) лежит на искомой.

Е¼ канонические уравнения: x 1 = y+1 = z 2

2 1 1 .

Решение В качестве направляющего вектора искомой прямой l возьм¼м вектор

i j k

S = S1 S2 = 1 2 1 = 3i + 3k:

1 1 1

Возьм¼м коллинеарный вектор B(1; 0; 1). Канонические уравнения пря-

ìîé l:

x 1 = y = z + 1: 1 0 1

Пример 28 Найти уравнение прямой, проходящей через точку M0(1; 1; 2) и перпендикулярной к данной плоскости P : x 2y z + 5 = 0 (рис. 3.2.6).

45

Решение В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять нормаль к данной плоскости n(1; 2; 1). Искомая прямая l имеет

канонические уравнения:

9

x = t + 1

=

y = 2t + 1

z = t + 2 ;

Выясним, при каком значении параметра t данная прямая l и плоскость P пересекаются. Для этого нужно найденные значения x, y и z подставить в уравнение плоскости P : (t + 1) + 2( 2t + 1) + 3( t + 2) 3 = 0.

Отсюда следует, что t = 1, т.е. при значении параметра t = 1 прямая и плоскость пересекаются. Верн¼м t = 1 в параметрическое уравнение пря-

Пример 30 Найти канонические уравнения линии пересечения плоскостей P1 : x + y = 0 è P2 : 2x + y z 3 = 0. (ðèñ. 3.2.8)

Решение Для того, чтобы написать канонические уравнения прямой, мы должны знать точку M0 на этой прямой и е¼ направляющий вектор S.

1. Точку M0 мы найд¼м, решив систему уравнений

x + y = 0

:

2x + y z = 3

Эта система имеет бесчисленное множество решений (множество то- чек на прямой l). Нам достаточно найти одну какую-нибудь точку из

этого множества. Для этого положим в системе z = z0 = 0, тогда для нахождения x0 è y0 имеем систему

46

2.В качестве направляющего вектора S искомой прямой можно взять вектор S = n1 n2. Здесь n1(1; 1; 0) è n2(2; 1; 1). Вычислим вектор

S:

i j k

S = 1 1 0 = i + j k:

2 1 1

Итак, уравнения линии пересечения плоскостей P1 è P2:

(ðèñ.3.2.9).

Решение Нетрудно видеть, что прямые проходят через точку M0(1; 0; 1),

а через две прямые, проходящие через одну точку, можно провести единственную плоскость.

В качестве нормали n к искомой плоскости P можно взять n = S1 S2.

i j k

S1 S2 = 2 1 1 = 3i 3j + 3k

1 1 2

Âкачестве нормали n возьм¼м коллинеарный вектор, т.е. положим n = i j + k. Тогда искомая плоскость имеет также уравнение:

1(x 1) 1 y + 1(z 1) = 0:

Итак, окончательно P : x y + z 2 = 0.

15.8 Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой l, лежащей в плоскости, записанное в виде (31), на-

зывается общим уравнением прямой на плоскости. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных x и y. Можно доказать и об-

ратное, т.е. что всякому уравнению вида (25) на плоскости соответствует некоторая прямая.

47

Разрешим теперь уравнение (31) относительно y: y = BA x BC è îáî- значим BA = k, BC = b, тогда получим

Уравнение прямой, записанное в виде (32), называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Нетрудно выяснить значение параметров k и b. Пусть k > 0 и b > 0. Тогда при x = 0 из (32) получаем y = b, т.е. b

- есть ордината точки пересечения с осью Oy (рис. 11). С другой стороны, из ABC ясно, что tg' = = k, т.е. k - есть тангенс угла, образуемо-

го прямой с осью Ox, который называется угловым коэффициентом этой прямой. Поэтому уравнение прямой в виде (32) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В частности, если две прямые заданы своими уравнениями с угловым коэффициентом l1 : y = k1x + b1, l2 : y = k2x + b2, то нетрудно найти угол

между этими прямыми (рис. 3.2.11).

ßñíî, ÷òî = '1 '2, ò.å. tg = 1+k1k1kk22 . В частности, если прямые параллельны, то k1 = k2, а если они перпендикулярны, то k1 k2 = 1.

Пример 32 Через точку M0(1; 3) провести прямую под углом 45 ê äàí- ной прямой x 2y = 0.

Решение Обозначим угловой коэффициент искомой прямой через k2, тогда данная прямая имеет угловой коэффициент k1 = 12 (ðèñ. 3.2.13). Èç условия задачи тангенс угла между этими прямыми tg = 1, с другой сто-

ðîíû, tg = 1+k1k1kk22 , ò.å.

Откуда следует: а) k2 = 3; á) k2 = 13 .

Теперь нетрудно написать уравнения этих прямых: а) 3x y = 0; б) x + 3y 10 = 0.

15.9Прямая линия и гиперплоскость в n-мерном пространстве

Обобщим понятие тр¼хмерного пространства на случай n измерений. Пусть

e01; e02; ; e0n - ортонормированный базис n-мерного пространства, т.е. совокупность попарно ортогональных, а следовательно, линейно независимых единичных векторов. Проведя оси Ox1; Ox2; ; Oxn, через эти орты, по-

лучим n-мерную ортогональную систему координат. Тогда очевидно, что

положение любой точки этого пространства будет определяться параметрами (x1; x2; ; xn) - координатами вектора.

Проводя формально рассуждения, аналогичные изложенным выше, мы можем определить гиперплоскость в n-мерном пространстве, как множество

точек, удовлетворяющее уравнению

A1x1 + A2x2 + ::: + Anxn + B = 0;

прич¼м вектор (A1; A2; :::; An) интерпретируется как "нормаль"к этой гиперплоскости.

48

Аналогично множество точек n-мерного пространства, удовлетворяющее уравнениям

называется 'прямой в n-мерном пространстве', а сами уравнения называются каноническими уравнениями этой 'прямой', прич¼м вектор S = (m1; m2; :::; mn) n-мерного пространства называется направляющим вектором этой прямой, а точка M0(x10; x20; :::; xn0) - фиксированной точкой на этой прямой.

16 Кривые второго порядка

16.1 Эллипс и его свойства

Определение 26 Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a, a > 0).

Принимая во внимание определение эллипса, выведем его уравнение. Если определ¼нным образом выбрать систему координат, то можно получить простейшую форму уравнения эллипса, которая называется каноническим уравнением (рис.3.3.1). Итак, провед¼м ось Ox через фокусы от фокуса F1

к фокусу F2.

Начало координат возьм¼м в середине отрезка F1F2. Если расстояние между фокусами обозначить через 2c (c > 0), то очевидно, что фокусы имеют координаты F1( c; 0), F2(c; 0).

Ось Oy направим так, чтобы система xOy была бы правой. Пусть точка M(x; y) принадлежит эллипсу, векторы r1 è r2 называются е¼ фокальны-

ми радиус-векторами.

В силу определения эллипса jr1j + jr2j = 2a (a > 0, a > c). Отсюда следует:

pp

(x + c)2 + y2 + (x c)2 + y2 = 2a )

pp

(x + c)2 + y2 = 2a (x c)2 + y2 )

49

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс пересекает координатные оси в точках A1( a; 0), A2(a; 0), B2(0; b) è B2(0; b),

которые называются вершинами эллипса. Отрезки A1A2 è B1B2, равные 2a

и 2b соответственно, называются большой и малой осями эллипса, a и b - большой и малой полуосями. Эллипс симметричен относительно ко-

ординатных осей и относительно начала координат. Форму эллипса можно охарактеризовать с помощью эксцентриситета " = ac (0 < " < 1).

Чем больше эксцентриситет, тем более вытянутую форму вдоль оси Ox имеет кривая.

16.2 Гипербола и е¼ свойства

Определение 27 Гиперболой называется множество точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a (a > 0).

Провед¼м ось Ox через фокусы, выбрав начало координат в середине отрезка, соединяющего фокусы, длина которого равна 2c (рис.3.3.2). Фокусы

имеют координаты F1( c; 0), F2(c; 0). Ось Oy направим так, чтобы система xOy была бы правой. Проведя фокальные радиус-векторы r1 è r2 в некото- рую точку M(x; y), в силу определения можем написать: jjr1j jr2jj = 2a.

После преобразований, аналогичных выполняемым в п. 1, обозначив c2 a2 = b2, получим каноническое уравнение гиперболы

Гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат, состоит из двух веток, которые пересекаются с осью Ox в точках A1( a; 0) è A2(a; 0), которые называются вершинами гиперболы. Отре-

çîê A1A2, длина которого равна 2a, называется его вещественной осью, в то же время параметр a называется вещественной полуосью гиперболы.

Точки B1(0; b) è B2(0; b) называются мнимыми вершинами гиперболы, отрезок B1B2, длина которого равна 2b, называется мнимой осью гиперболы, а параметр b - его мнимой полуосью. Форму гиперболы

характеризует эксцентриситет " = ac . ßñíî, ÷òî

центриситет близок к единице, то ветви гиперболы сильно прижаты к оси Ox.

Гипербола имеет асимптоты, к которым е¼ ветви приближаются при

удалении от начала координат. Асимптоты гиперболы имеют уравнения y = ab x. Нетрудно показать, что lim jyas yhipj = 0.

16.3 Парабола и е¼ свойства

Определение 28 Параболой называется множество точек на плоскости, равноудал¼нных от данной прямой, называемой директрисой параболы и от данной точки, называемой фокусом.

Каноническое уравнение параболы мы получим, выбрав систему координат xOy таким образом: провед¼м ось Ox перпендикулярно директрисе

50