Лекции по вышмату за 1 курс

10.2Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов

Напомним, что два ненулевых вектора a и b называются ортогональными, если они образуют прямой угол, т.е. (ad; b) = 2 .

Теорема 5 Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.

Доказательство Необходимость . Пусть векторы a и b ортогональны, тогда cos(ad; b) = 0 => a b = 0.

Достаточность. Пусть a b = 0. Так как векторы ненулевые, то отсюда следует, что cos(ad; b) = 0, а это и означает, что векторы a и b ортогональны.

10.3Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть a = (ax; ay; az), b = (bx; by; bz). Очевидно, что i2 = j2 = k2 = 1; i j = j i = 0; i k = k i = 0; j k = k j = 0.

В силу свойства 4 получим a b = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk) = axbx + ayby + azbz.

В частности, p q

jaj = a2 = a2x + a2y + a2z:

10.4 Угол между двумя векторами

Если a и b - ненулевые векторы, то, принимая во внимание определение вектора и п.4, получим такое выражение для угла (ad; b) между векторами a и b:

Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме: axbx + ayby + azbz = 0.

10.5 Механический смысл скалярного произведения

Если F - сила, действующая на перемещении S, то работа A этой силы на указанном перемещении, как известно, равна jFj jSj cos(Fd; S), ò.å. A = F S (ðèñ. 3.5.1).

Пример 15 Даны три точки A(2; 3; 5); B(1; 2; 2); B(3; 5; 4).

! !

Найти прBC!AB и направляющие косинусы вектора AB.

31

Решение Найд¼м скалярный квадрат вектора a : a2 = (m+n) (m+n). Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:

(m + n) (m + n) = m2 + n m + m n + n n = m2 + 2m n + n2 =

= jmj2 + 2 jmj jnj cos(md; n) + jnj2 = 4 + 2 2 2 cos 3 + 4 = 8 + 8 12 = 12:

pp

jaj = a2 = 12

Пример 17 При каком значении вектора a = i+2j+k и b = 2i+ j+2k ортогональны.

Решение Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов axbx + ayby + azbz = 0, получим 1 2 + 2 + 1 2 = 0. Следовательно

= 2.

11 Векторное произведение и его свойства

11.1 Определение векторного произведения

Определение 21 Векторным произведением a b ненулевых векторов a и b называется такой вектор c, который удовлетворяет тр¼м условиям:

1. jcj = jaj jbj sin(ad; b), т.е. длина вектора c = a b численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

!

2. Вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a

è b.

3.Тройка a, b, c - правая (рис. 2.6.1)

Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то по определению a b = 0. Заметим, что иногда векторное произведение двух векторов a и b обозначается символом [a; b].

Свойства векторного произведения

1.a b = b a.

Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.

32

2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:

(a b) = ( a) b = a ( b):

(без доказательства)

3. Распределительное свойство относительно сложения векторов:

a (b + c) = a b + a c

(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d:

Следствие 2

(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d:

То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).

11.2Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема 6 Для того, чтобы два ненулевых вектора a и b были коллине-

арны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство Необходимость . Пусть векторы a и b коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно, sin(ad; b) = 0 => ja bj = 0. Значит, a b = 0.

Достаточность. Пусть векторное произведение a b = 0. Так как jaj 6= 0, jbj 6= 0, то значит sin(ad; b) = 0, ò.å. (ad; b) = 0 èëè (ad; b) = , а это означает, что векторы a и b коллинеарны.

Замечание 7 Заметим, что если два вектора a(ax; ay; az) è b(bx; by; bz) коллинеарны, то существует такое число , при котором a = b, т.е. axi + ayj + azk = (bxi + byj + bzk) =>

9

ax = bx>

=

ay = by =>

>

az = bz ;

ax = ay = az : bx by bz

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

33

11.3Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что i i = j j = k k = 0. Далее очевидно, что

i j = k; j k = i; k i = j; j i = k; k j = i; i j = j:

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы a = axi+ ayj+ azk

è b = bxi + byj + bzk.

a b = (axi + ayj + azk) (bxi + byj + bzk) =

= axbxi i + azbxj i + azbxk i + axbyi j + aybyj j + azbyk j =

11.4 Механический смысл векторного произведения

Если сила F поворачивает тело вокруг оси l, то момент M силы F, как известно, равен M = r F (рис. 2.6.2).

Пример 18 1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A( 1; 1; 2), B(2; 3; 3) è C(1; 2; 1);

2.Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

удовлетворяют поставленной задаче (рис. 2.6.3).

34

12 Смешанное произведение тр¼х векторов

12.1 Определение смешанного произведения

Определение 22 Смешанным произведением ненулевых векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора a и векторного произведения вектора b на вектор c, т.е. выражение a (b c).

12.2Необходимое и достаточное условие компланарности тр¼х векторов

Теорема 7 Для того чтобы ненулевые векторы a, b и c были компланар-

ны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство Необходимость . Пусть векторы a, b и c компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и вектор b c окажется перпендикулярным вектору a, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е. a (b c) = 0.

Достаточность. Пусть a (b c) = 0. Так как векторы ненулевые, то может быть:

1.b c = 0, тогда b = c, следовательно, векторы a, b и c можно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2.b c 6= 0, но a (b c) = 0 => a?(b c). Это значит, что вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c.

12.3 Геометрический смысл смешанного произведения

Предположим, что векторы a, b и c некомпланарны. Построим параллеле-

пипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторах b и c (рис. 2.7.1).

1.Пусть a, b, c - правая тройка. Тогда угол между векторами a и b c острый, т.е. векторы a и (b c) лежат в одном полупространстве.

Очевидно, что jaj cos(a; (db c)) = ïðb ca = h да¼т нам высоту параллелепипеда, следовательно, a (b c) есть не что иное, как объ¼м параллелепипеда, построенного на векторах a,b, c..

2.Если a, b, c - левая тройка, то векторы a и b c будут лежать в разных полупространствах, а тогда jajcos(a; (db c)) = h, следовательно, a (b c) будет равно объ¼му параллелепипеда, взятому со знаком минус. Итак, объ¼м параллелепипеда v = a (b c) или v = ja (b c)j.

Вывод. Абсолютная величина смешанного произведения тр¼х ненулевых векторов да¼т нам объ¼м параллелепипеда, построенного на этих векторах.

35

12.4 Свойства смешанного произведения

1.a (b c) = b (c a) = c (a b).

Т.е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов.

Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу геометрического смысла смешанного произведения. Знаки их также совпадают, так как ориентация тройки не меняется при цикличе- ской перестановке векторов.

2.a (b c) = a (c b).

Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, так как тройка меняет свою ориентацию.

3.a (b c) = c (a b) = (a b) c.

Действительно, в силу первого свойства: a (b c) = c (a b). С другой стороны, c (a b) = (a b) c, откуда и следует окончательно: a (b c) = (a b) c. Поэтому иногда смешанное произведение обозначают

(a; b; c).

4.Åñëè a = (ax; ay; az), b = (bx; by; bz), c = (cx; cy; cz), òî

13 Двойное векторное произведение

Определение 23 Двойным векторным произведением тр¼х ненулевых векторов a 6= 0, b 6= 0 и c 6= 0 называется a (b c); если хотя бы один из

векторов a, b или c равен нулю, то a (b c) =def 0.

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа a (b c) часто

встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е. a = axi + ayj + azk, b = bxi + byj + bzk, c = cxi + cyj + czk.

Вычислим a (b c).

Обозначим v = b c, u = a (b c) = a v.

36

Очевидно, что нас интересует вектор v. Известно, что вектор v = b c выражается через координаты векторов b и c так:

В свою очередь, аналогично

u = a v = (ayvz azvy)i + (azvx axvz)j + (axvy ayvx)k:

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для vx, vy è vz и, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения axbxcxi, aybycyj, azbzczk. Получим:

u = a (b c) = [aybxcy aybycx azbzcx + azbxcz]i + [azbycz azbzcy axbxcy +axbycx]j + [axbzcx axbxcz aybycz + aybzcy]k + axbxcxi axbxcxi + aybycyj

aybycyj + azbzczk azbzczk = bx(aycy + azcz)i + axbxcxi + by(azcz + axcx)j+

:

+aybycyj + bz(axcx + aycy)k + azbzczk [cx(ayby + azbz)i + axbxcxi + cy(azbz+ +axbx)j + aybycyj + cz(axbx + ayby)k + azbzczk] = (bxi + byj + bzk)(axcx + aycy+ +azcz) (cxi + cyj + czk) (axbx + ayby + azbz) = b(a c) c(a b)

Итак, получили:

a (b c) = b(a c) c(a b):

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям a c и a b; они являются коэффициентами линейной комбинации

векторов b и c, через которые выражается двойное векторное произведение a (b c). Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение пред-

ставляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора b и c, т.е. векторы a (b c), b и c компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения (a b) c, которое,

вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

(a b) c = c (a b) = [a(c b) b(c a)] = b(a c) a(b c);

т.е. (a b) c представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами a и b. Очевидно также, что a (b c) 6= (a b) c.

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 19 Показать, что точки (1; 2; 1), (3; 3; 3), (4; 1; 2) и D(5; 4; 5) лежат в одной плоскости.

37

! ! ! ! !!Решение Найдем координаты векторов AB, AC è AD. AB(2; 1; 2), AC(3; 1; 1),

AD(4; 2; 4).

Если точки , , и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной

плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Действительно,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 20 Доказать, что векторы a = i + j + 2k, b = 3i + 4j + k и c = i + 2j 3k линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

cледовательно, векторы a, b и c компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы , и такие, что a + b + c = 0, т.е. (i + j + 2k) + (3i + 4j + k) + (i + 2j 3k) = 0, откуда следует:

( + 3 + )i + ( + 4 + 2 )j + (2 + 3 )k = 0, т.к. i, j, k - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения , и :

)

+ 3 + = 0

) 3 + = 0 )

=

)

= 2

=

Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим = 2 , = в указанную выше линейную комбинацию: 2 a b + c = 0. Сократим на 6= 0. Получим искомую линейную зависимость 2a b + c = 0.

Часть III

ЭЛЕМЕНТЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ

ГЕОМЕТРИИ

Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объектов

и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным образом рассматривает уравнения этих объектов в координатном пространстве <3 (èëè

38

<2), т.е. в некоторой трехмерной декартовой системе координат Oxyz (или

Oxy). Причем, под уравнениями геометрических объектов (прямой линии, плоскости, конуса, гиперболы, окружности и т.п.) мы будем понимать всякое уравнение, устанавливающее связь между координатами (x; y; z) всех

точек, принадлежащих данному геометрическому объекту.

Итак, аналитическая геометрия изучает геометрические объекты и их свойства аналитически, т.е. путем анализа их уравнений.

14 Плоскость в трехмерном пространстве

Положение плоскости в пространстве можно задать различными способами. Действительно, через три данные точки M1, M2 è M3 проходит един- ственная плоскость, через данную точку M0(x0; y0; z0) перпендикулярно данному вектору n(A; B; C) можно провести единственную плоскость и т.п.

14.1Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим некоторую плоскость P и точку М(x, y, z) на этой плоскости,

так называемую текущую точку плоскости. Пусть кроме этого определен вектор n(A; B; C) - нормаль к плоскости и некоторая точка M0(x0; y0; z0) - фиксированная точка на этой плоскости. Обозначим через r0 и r - радиус

векторы точек M0 è M1 (ðèñ. 3.1.1).

!

Очевидно, что вектор M0M = r r0 лежит в плоскости. Ясно также,

!

что векторы M0M и n перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Уравнение (17) называется уравнением плоскости в векторной форме. Выражая скалярное произведение через координаты перемножаемых векторов, получим

Уравнение (18) называется уравнением плоскости, проходящей че- рез данную точку. Обозначая через D выражение Ax0 By0 Cz0,

запишем уравнение (18) в виде:

Уравнение (19) называется общим уравнением плоскости. Заметим, что общее уравнение плоскости линейно относительно переменных x, y, z.

Можно доказать и обратное, что всякому линейному уравнению вида (19) в пространстве соответствует плоскость. Подчеркнем, что коэффициенты A, B, C при переменных x, y, и z дают нам ни что иное, как координаты

вектора, перпендикулярного данной плоскости P , т.е. нормали к плоскости

P .

39

14.2Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

Угол между двумя плоскостями измеряется наименьшим углом между нормалями к ним.

Следовательно, если даны две плоскости P1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 è P2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол ' между ними можно вычислить из соотношения:

n1 n2 = jn1j jn2j cos '

Отсюда следует: cos ' = p :

A21+B12+C12 A22+B22+C22

Интересны частные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве.

14.3 Условие параллельности двух плоскостей

Если две плоскости параллельны, то нормали к ним коллинеарны. Следовательно, условие параллельности двух плоскостей имеет вид:

14.4 Условие перпендикулярности двух плоскостей

Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и нормали к ним, т.е. n1 n2 = 0, откуда следует

Заметим, что условия (20) и (21) не только необходимы, но и достаточ- ны соответственно для параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Пример 21 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1; 1; 2) и параллельной данной плоскости : w + 2y z + 3 = 0(рис.3.1.2).

Решение Искомая плоскость параллельна данной, следовательно нормаль к плоскости n(1; 2; 1) является нормалью также и к искомой плос-

кости (рис. 1), а тогда, принимая во внимание уравнение (18) - уравнение плоскости, проходящей через данную точку, получим уравнение искомой плоскости:

1(w 1) + 2(y 1) 1(z 2) = 0

Или, раскрывая скобки и приводя подобные члены, окончательно полу- чаем общее уравнение искомой плоскости: x + 2y z 1 = 0.

Пример 22 Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0(1; 1; 2) и перпендикулярную к двум данным плоскостям: P1 : x + 2y

z + 3 = 0 è P2 : 2x y 2z 1 = 0 (ðèñ. 3.1.3)

40