Лекции по вышмату за 1 курс

Часть I

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Теория определителей возникла в XVIII веке в связи с задачей решения систем линейных алгебраических уравнений. Однако, впоследствии определители нашли применение в самых различных разделах математики, в частности, в векторной алгебре, аналитической геометрии и математическом анализе.

1Определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными x1 è x2

ãäå aij (i = 1; 2; j = 1; 2) - числовые коэффициенты системы (1). Таблица, составленная из коэффициентов этой системы

называется матрицей коэффициентов системы (1).

Матрице (2) ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы A , которое обозначается det A и вычисляется по правилу det A =

a11a22 a12a21 , т.е. определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали и на побочной диагонали матрицы A. Определитель матрицы A обозначают так

Найд¼м решение системы (1). Нетрудно убедиться, что оно выражается через коэффициенты системы так (предполагаем, что det A 6= 0):

Мы видим, что в знаменателе выражений для x1 è x2 стоит определитель det A, в числителе также стоят определители, которые мы обозначим через

x1 è x1 соответственно, т.е.

Нетрудно заметить, что определитель x1 получается из определителя, если в н¼м заменить столбец коэффициентов при x1 (первый столбец) столбцом из свободных членов, а определитель x2 - если второй столбец

11

определителя заменить столбцом из свободных членов. Тогда решение системы (4) можно записать так:

Эти формулы называются формулами Крамера. Итак, для того, чтобы найти решение линейной алгебраической системы второго порядка до- статочно подсчитать три определителя , x1 , x2 и составить их отношение.

Пример 1 Найти по формулам Крамера решение линейной алгебраиче- ской системы )

2x y = 1

:

x + y = 2

Решение Вычислим определители , x1 , x2 :

2 1

1 1

2 1

По формулам Крамера

x1 = x1 = 33 = 1; x2 = x2 = 1:

Èòàê, x1 = 1, x2 = 1.

Основные свойства определителей второго порядка

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный, т.е.

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е., например,

12

4. Определитель с одинаковыми строчками (столбцами) равен нулю, т.е.

5. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю, т.е. например,

6.Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно

и то же число, то определитель не изменится, т.е. например

Все эти свойства доказываются непосредственным вычислением левой и правой части выражений, входящих в рассматриваемые равенства. Докажем, например, свойство 6.

Для этого вычислим определитель, стоящий в левой части равенства:

2Определители третьего порядка

Рассмотрим квадратную матрицу (таблицу) третьего порядка

01

Если в этой матрице вычеркнуть любую строку и любой столбец, то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу второго порядка. Из квадратной матрицы третьего порядка можно получить девять квадратных матриц второго порядка. Введ¼м несколько новых понятий.

Определение 1 Минором элемента aij матрицы третьего порядка на- зывают определитель матрицы второго порядка, которая получается из данной матрицы выч¼ркиванием i-ой строки и j-го столбца, т.е. строки

и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента aij обозначается символом Mij. Например, минором элемента a12 матрицы (6) является определитель

13

Определение 2 Алгебраическим дополнением элемента aij матри-

цы третьего порядка называют число, равное произведению минора этого элемента на ( 1)i+j.

Иначе: алгебраическое дополнение элемента aij - это минор, если сумма индексов i + j ч¼тная, и минор, взятый с противоположным знаком, если

сумма индексов i + j неч¼тная. Алгебраическое дополнение элемента aij обозначается Aij, т.е. по определению Aij = ( 1)i+jMij.

Пример 2 Вычислить алгебраические дополнения A12 è A31 матрицы

Замечание 1 Можно говорить также о минорах и алгебраических дополнениях элементов матрицы второго порядка, если под определителем матрицы, состоящей из одного элемента (матрицы первого порядка), понимать число, равное этому элементу.

Определение 3 Определителем (детерминантом) квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называем число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Т.е. по определению имеем

Пример 3 Вычислить определитель матрицы

Замечание 2 Если в формулу (25) подставить выражения алгебраиче- ских дополнений через элементы матрицы, то получим

14

a11 a12 a13

det(A) = a21 a22 a23 = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a13 a31a22a13 a11a32a23 a21a12a33:

a31 a32 a33

(9) В этой формуле шесть слагаемых, прич¼м каждое из них является произведением тр¼х элементов матрицы: по одному из каждой строки и из каждого столбца; три слагаемых входит со знаком +, а три со знаком . В

курсах высшей алгебры формула (26) принимается в качестве определения определителя третьего порядка.

3Основные свойства определителей 3-го порядка

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1. Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Докажем, например, равенство

= a31 (a12a23 a22a13) a32 (a11a23 a21a13) + a33 (a11a22 a21a12):

Íî a11a23 a22a13 = A31, (a11a23 a21a13) = A32, a11a22 a21a12 = A33.

Следовательно, = a31A31 + a32A32 + a33A33.

Это свойство называют свойством разложения по элементам строки или столбца.

15

3.При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство Пусть в матрице третьего порядка перестановлены

первая и третья строки. Покажем, что

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (12), по элементам первой строки, получим a11A11 + a12A12 + a13A13.

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

a31 a32 a33

a21 a22 a23 = a11(a32a23 a22a33) a12(a31a23 a21a33)+

a11 a12 a13

+a31(a31a22 a21a32) = a11( A11) a12A12 + a13( A13) =

= (a11A11 + a12A12 + a13A13);

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю. Доказательство Пусть - определитель матрицы с двумя оди-

наковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеем = , откуда 2 = 0 или

= 0.

5.Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на число , то весь определитель умножится на это число.

Доказательство Покажем, например, что

где - определитель матрицы A.

Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

6.Определитель, у которого соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен нулю.

16

Доказательство Пусть, например, элементы третьей строки пропорциональны элементам первой, т.е. a31 = ka11, a32 = ka12, a33 = ka13.

Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь

7.Определитель, у которого все элементы какой-либо строки представляют собой сумму двух слагаемых, равен сумме двух определителей, получаемых из данного заменой элементов рассматриваемой строки соот-ветственно на первые и вторые слагаемые.

Доказательство Пусть, например,

8.Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на общий множитель k 6= 0.

Доказательство Прибавим, например, к элементам первой строки

соответствующие элементы третьей строки, умноженные на одно и то же число k. Тогда, по свойству 7, а затем по свойству 6, будем иметь

a11 a12 a13

= a21 a22 a23

a31 a32 a33

9.Теорема замещения. Сумма произведений алгебраических дополнений какой-либо строки на числа q1, q2 è q3 равна определителю мат- рицы, получающиеся из данной, заменой рассматриваемых элементов соответственно на числа q1, q2 è q3.

Доказательство Рассмотрим, например, сумму произведений элементов первой строки на алгебраические дополнения элементов тре-

тьей строки:

a11A31 + a12A32 + a13A33

17

и определитель

q1 q2 q3

= a21 a22 a23 :

a31 a32 a33

Разложив его по элементам первой строки, получим = q1A11 + q2A12 + q3A13 , т.е. исходное выражение.

10.Сумма произведений элементов какой-либо строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю.

Доказательство Рассмотрим, например, сумму произведений элементов третьей строки:

a11A31 + a12A32 + a13A33:

По теореме замещения (свойство 9) это выражение равно определителю, в третьей строке которой стоят числа a11, a12 è a13:

01

a11 a12 a13

@a21 a22 a23 A: a11 a12 a13

Этот определитель равен нулю по свойству 4, так как первая и третья строки совпадают.

Перечисленные свойства, особенно свойство 8, позволяют значительно упростить вычисление определителя, в частности свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению одного определителя второго порядка, вместо тр¼х.

Пример 4 Вычислить определитель

3 2 1

= 5 2 3

6 6 3

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий множитель 2, а элементы третьей строки - общий множитель 3. Поэтому, вынося эти множители за знак определителя, получим

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь

2 1 1

Разлагая этот определитель по элементам первой строки, в которой только один элемент отличен от нуля, получим

18

4Определители высших порядков

Определители высших порядков, т.е. четв¼ртого, пятого и т.д., определяются с помощью определителей меньшего порядка точно так, как был определ¼н определитель третьего порядка.

Так, определитель четв¼ртого порядка равен по определению

a11 a12 a13 a14

a41 a42 a43 a44

ãäå a11,a12,a13 è a14 - элементы первой строки, а A11, A12, A13 è A14 - ñî-

ответствующие им алгебраические дополнения. Миноры и алгебраические дополнения определяются точно так же, как и для определителей третьего порядка. Таким образом, вычисление определителя четв¼ртого порядка сводится к вычислению четыр¼х определителей третьего порядка.

Определитель порядка n по определению

Как видно, определитель n-го порядка определяется через n определителей n 1 порядка, каждый из них определяется через n 1 определитель порядка n 2 и т.д.. Доводя разложение до определителей 2-го порядка и вычисляя их, получаем, что определитель n-го порядка представляет собой алгебраическую сумму n! слагаемых.

Все свойства, сформулированные и доказанные для определителей третьего порядка, справедливы и для определителей n-го порядка. И доказы-

ваются они аналогично.

Для вычисления определителей порядка n используем свойство 8. С по-

мощью этого свойства добиваемся того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов, все элементы, кроме одного, были равными нулю. Так что вы- числение определителя n-го порядка можно свести к вычислению одного

определителя порядка n 1.

Пример 5 Вычислить определитель пятого порядка

Замечаем, что в третьем столбце два элемента равны нулю. Можно в этом столбце получить ещ¼ два нулевых элемента, если ко второй и четв¼ртой строкам прибавить пятую строку, умноженную соответственно

19

на 3 и на 4". Тогда получим

Таким образом

2 7 6 2

Для вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к первой, третьей и четв¼ртой строкам вторую строку, умноженную соответственно на 2, 3, 2. Получим

0 23 16 20

0 23 16 36

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя множитель 10 у элемен-

тов третьей строки), что

23 16 20

= 10 2 1 3

23 16 36

Прибавляя к первой строке третью строку, будем иметь

Замечание 3 Существует и другое определение определителя матрицы порядка n: это сумма всевозможных произведений элементов, взятых по

одному из каждой строчки, по одному из каждого столбца и снабженных знаком по определ¼нному правилу. Более подробно с теорией определителей можно ознакомиться, например, по книге А.Г. Куроша "Курс высшей алгебры".

5Исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений третьего порядка

20