Лекции по вышмату за 1 курс

301

99 Символический вектор ~ r

Для упрощения записей в векторном анализе применяется символический вектор ~

r, координаты которого равны

@x@ ; @y@ ; @z@ :

При использовании этого вектора нужно помнить, что "умножение"координаты этого вектора на функцию означает дифференцирование этой функции по соответствующей переменной и такие "сомножители"нельзя переставлять.

Тогда характеристики полей можно записать с помощью этого вектора следующим образом:

~

grad U = rU - произведение вектора на число;

~

div~a = r ~a - скалярное произведение векторов;

~

rot~a = r ~a - векторное произведение векторов.

100Интегральные характеристики векторного поля

1.Пусть в области задано непрерывное векторное поле. Возьмем некоторую кусочно гладкую, двустороннюю поверхность , расположенную в области , выберем сторону этой поверхности. Интеграл

ZZ

(~a ~n0) dS;

ãäå ~n0 - орт нормали к выбранной стороне поверхности будем называть

потоком векторного поля через поверхность в направлении

~n0.

Для выяснения физического смысла потока предположим, что мы имеем дело с полем скоростей течения несжимаемой жидкости, заполняющей некоторую область пространства . Будем считать также,

что векторное поле стационарно, т.е., что скорость жидкости в каждой точке зависит только от положения точки, но не зависит от времени. Определим количество жидкости, протекающей за единицу времени через кусок поверхности . Рассмотрим на поверхности некоторый

элемент S с нормалью ~n. Можно считать, что скорость жидкости,

проходящей через этот элемент постоянна. Тогда количество жидкости, протекающей за единицу времени через этот элемент, с точностью до малых равно объему цилиндра, построенного на этом элементе с образующей, равной вектору скорости. Высота такого цилиндра равна модулю проекции скорости на этом элементе на нормаль к нему, поэтому объем его равен j S vnj, ãäå vn = ~v ~n0 проекция вектора

скорости на нормаль. Если отбросить модуль, то знак этой величины будет +, если жидкость течет в направлении выбранной нормали, и

, если жидкость течет в противоположном направлении. В общем

302

случае говорят, что количество жидкости, проходящей через элемент поверхности за единицу времени равно S vn: (Эта величина указы-

вает и направление течения.)

Если разбить поверхность на конечное число таких элементов, то ко-

личество жидкости, протекающей через поверхность, с точностью до

m

2.Второй интегральной характеристикой непрерывного векторного поля является циркуляция. Пусть в области задана простая замкнутая кривая l, на которой указано направление. Тогда циркуляцией векторного поля ~a = ~a (x; y; z) вдоль этой кривой называется криволинейный

интеграл

Z

~a d~r:

l

Если интерпретировать поле, как силовое, то циркуляция будет равна работе, которую совершает это поле по перемещению материальной точки вдоль замкнутой кривой.

Пример 277 Вычислить поток векторного поля

Пример 278 Вычислить циркуляцию векторного поля

101 Теорема Остроградского-Гаусса

Теоремы векторного анализа аналогичны теореме Грина, рассмотренной ранее. Теорема Грина устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой области, лежащей в плоскости, и криволинейным интегралом по границе этой области. Сейчас будут сформулированы две теоремы, одна из которых устанавливает связь между тройным интегралом по области в пространстве R3 и поверхностным интегралом по границе этой области, а

вторая между поверхностным интегралом по части некоторой поверхности и криволинейным интегралом по границе этой части. Обе эти теоремы имеют простые и компактные формулировки в терминах векторного анализа.

Теорема 89 (Остроградского-Гаусса) Пусть в области задано непре-

рывно дифференцируемое векторное поле ~a = ~a (x; y; z) = (P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z)).

Кроме того, пусть в этой области задана замкнутая кусочно-гладкая поверхность , ограничивающая область G. Тогда поток векторного поля

через эту поверхность в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от div~a по области G, т.е.

G

303

Замечание 50 Формула (95) называется формулой Остроградского-Гаусса. В скалярной форме эта формула будет иметь следующий вид

Доказательство Для доказательства сначала предположим, что область G элементарна относительно всех координатных осей.

Тогда рассмотрим RRR @R@z dxdydz:

G

Так как область G элементарна относительно оси ОZ, то она ограничена поверхностями 1 : z = '1 (x; y), 2 : z = '2 (x; y), '1 (x; y) < '2 (x; y) ; (x; y) 2

DXY , ãäå DXY - проекция области G на плоскость ОХУ, и цилиндрической поверхностью 3, образующие которой параллельны оси OZ.

Тогда интеграл можно представить в виде повторного

GDXY

Вычисляя внутренний интеграл, получим

и тогда рассматриваемый тройной интеграл можно превратить в поверхностный:

(Так как нормаль к поверхности 1, задаваемой уравнением z = '1 (x; y), образует с осью OZ тупой угол, то знак перед вторым интегралом сменил-

Таким образом, теорема в этом случае доказана.

В общем случае область надо разбить на конечное число элементарных частей.

304

Следствие 14 С помощью теоремы Остроградского-Гаусса можно полу- чить физический смысл дивергенции поля скоростей движущейся жидкости в точке M0. Окружим точку сферой S радиуса R и применим теорему

к шару G, ограниченному этой сферой:

ZZ ZZZ

(~v ~n) dS = div ~vdxdydz:

В полученном равенстве перейдем к пределу при условии, что R ! 0. Тогда

в левой части равенства получим div ~v (M0) : Предел

стоящий в правой части этого равенства назовем плотностью источников. Таким образом, дивергенция векторного поля скоростей равна плотности источников в данной точке.

Из этих же рассуждений следует, что дивергенция векторного поля не зависит от выбора системы координат.

где G - коническая область, ограниченная данной поверхностью. Так как

RRR

dxdydz равен объему области интегрирования, т.е. объему конуса, то

G

искомый поток будет

6 13 4 4 = 32 :

305

x2 + y2 + z2 = R2; z 0:

Решение Данная поверхность не является замкнутой, поэтому, чтобы применить формулу Остроградского-Гаусса, дополним данную полусферу куском плоскости z = 0:

Дивергенция векторного поля равна div~a = 2x + 2y + 2z: Тогда поток через замкнутую поверхность будет равен

ZZZ

2(x + y + z) dxdydz;

G

где G - область, ограниченная замкнутой поверхностью. Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам x = r cos '; y = r sin '; z = z:

Отсюда

2(x + y + z) dxdydz = 2 (r (cos ' + sin ') + z) rdzdrd' =

то поток через замкнутую поверхность будет равен R2 4 :

Чтобы вычислить поток через данную поверхность, надо из полученного результата вычесть поток через добавленный кусок плоскости z = 0, т.е. через круг x2 + y2 R2. Этот поток вычислим по определению, как

поверхностный интеграл

ZZ

x2 cos + y2 cos + z2 cos dS

S

по поверхности z = 0; x2 +y2 R2. Так как орт нормали к этой поверхности

306

102 Теорема Стокса

Прежде чем сформулировать теорему введем следующее определение: Рассмотрим простую гладкую двустороннюю поверхность и выберем на

ней определенную сторону. Возьмем на этой поверхности простой контур и выберем на нем некоторое направление. Будем говорить, что направление на контуре согласовано с выбранной стороной поверхности, если при движении по поверхности вдоль этого контура в выбранном направлении та часть поверхности, которая ограничена этим контуром, остается слева.

Очевидно, что, если поменять сторону поверхности, то направление на кривой, согласованное со стороной поверхности, также поменяется.

Теорема 90 (Стокса) Пусть в пространстве задана простая кусочногладкая, двусторонняя поверхность , ограниченная простым, кусочно-

гладким контуром L. На поверхности выберем какую-нибудь сторону.

Пусть также в области, где рассматривается эта поверхность, задана непрерывная и непрерывно дифференцируемая векторная функция (векторное поле) ~a = (P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z)).

Тогда циркуляция векторного поля вдоль кривой L в направлении, со-

гласованной с выбранной стороной равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность в сторону нормали к выбранной стороне.

где ; ; - углы между нормалью к выбранной стороне поверхности и

координатными осями. Все эти формулы являются различными вариантами записи формулы, которая называется формулой Стокса.

Замечание 52 Если кривая L является границей поверхности , то говорят, что поверхность "натянута"на контур L.

Замечание 53 Очевидно, что теорема Стокса является обобщением теоремы Грина.

Доказательство Предположим сначала, что поверхность гладкая и

взаимно однозначно проектируется на все координатные плоскости. Тогда эту поверхность можно задать любым из трех уравнений z = ' (x; y), y =

(x; z) èëè x = (y; z) :

Кроме того, предположим, что нормаль к выбранной стороне поверхности составляет острый угол с осью OZ.

307

- проекции L на плоскость ОХУ причем при сформулированных условиях направление движения по кривой l будет положительным. Поэтому

ZZ

P (x; y; z) dx = P (x; y; ' (x; y)) dx;

Ll

где последний интеграл берется по кривой, лежащей в плоскости ОХУ. Поэтому к нему можно применить формулу Грина, взяв в ней Q (x; y; z) = 0.

DXY

Найдем орт нормали к поверхности. Если уравнение поверхности записать в виде z ' (x; y) = 0, то нормаль к выбранной стороне будет иметь

DXY

308

Складывая полученные формулы, придем к формуле Стокса.

Для доказательства этой формулы в общем случае, поверхность надо разбить на конечное число частей, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Следствие 15 Пусть дано векторное поле ~a = (P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z)) в некоторой области и на любой простой кусочно-гладкий контур L, ле-

жащий в этой области можно "натянуть"кусочно-гладкую поверхность, в каждой точке которой функции P ,Q и R будут непрерывны и непрерыв-

но дифференцируемые. Тогда, для того чтобы на любом простом кусочно-

@R@y = @Q@z ; @P@z = @R@x ; @Q@x = @P@y :

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству аналогичного следствия из теоремы Грина.

Пример 281 С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный ин- теграл RL ydx + zdy + xdz, где L окружность x2+y2+z2 = a2; x+y+z = 0, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной

стороны оси ОХ.

Решение Будем считать, что поверхность, натянутая на контур, - это плоскость x+y+z = 0. Положим P (x; y; z) = y; Q (x; y; z) = z; R (x; y; z) = x.

Тогда

@R@y @Q@z = 1; @P@z @R@x = 1; @Q@x @P@y = 1

и по формуле Стокса

ZZZ

ydx + zdy + xdz = ( cos cos cos ) dS;

L

где - круг, ограниченный данной окружностью. Чтобы вычислить cos ; cos ; cos , найдем орт нормали к поверхности. Нормаль к плоскости x + y + z = 0 это

вектор ~n = (1; 1; 1), тогда орт нормали, согласованной с направлением на

так как поверхностный интеграл первого рода от функции равной единице равен площади поверхности, по которой проводится интегрирование.

смотреть с положительной стороны оси ОХ.

309

Решение Будем считать, что поверхность, "натянутая"на наш контур это плоскость xa + zc = 1. Положим

P (x; y; z) = y z; Q (x; y; z) = z x; R (x; y; z) = x y;

тогда

@R@y @Q@z = 2; @P@z @R@x = 2; @Q@x @P@y = 2

и циркуляция векторного поля будет равна

Орт нужной нормали будет равен

циркуляция равна 2 a (a + c) :

310