Лекции по вышмату за 1 курс

80Бета-функция (интеграл Эйлера первого рода)

80.1 Определение бета-функции

Бета-функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл вида

Z 1

B(p; q) = xp 1(1 x)q 1dx(p; q > 0) (80)

0

Для p < 1 и q < 1 интеграл является несобственным как на верхнем, так

и на нижнем пределах интегрирования. Можно доказать однако, что эти интегралы сходятся.

80.2 Свойства бета-функции

1. B(p; q) = B(q; p) (симметрия)

Действительно, сделаем замену переменных в интеграле B(p; q) =

R01 xp 1(1 x)q 1dx, положив 1 x = t; dx = dt. Получим

Z 0 Z 0

B(p; q) = (1 t)p 1tq 1dt = tq 1(1 t)p 1dt = B(q; p);

1 1

ò.å. B(p; q) = B(q; p).

2. Докажем, что для бета-функции справедливы формулы приведения

казательства решим интеграл (80) по частям:

B(p; q) = R01 xp 1(1 x)q 1dx ==

= (1 x)q 1 p1 xpj10 + q p1 R01 xp(1 x)q 2dx

Преобразуем подынтегральное выражение во втором интеграле так:

xp(1 x)q 2 = xp 1(1 x)q 2[1 (1 x)] =

= xp 1(1 x)q 2 xp 1(1 x)q 1

таким образом выражение для B(p; q):

251

Откуда следует:

pB(p; q) = (q 1)B(p; q 1) (q 1)B(p; q) => (p + q 1)B(p; q) = (q 1)B(p; q 1) =>

B(p; q) = (q 1)B(p;q 1) : p+q 1

В силу симметрии бета-функции имеем аналогичную формулу приведения:

B(p; q) = (p 1)B(p 1; q): p + q 1

Формулы приведения позволяют свести вычисление бета-функции от аргументов больших единицы, к вычислению е¼ от аргументов, меньших единицы.

3. Между гамма-функцией и бета-функцией имеет место соотшение

B(p; q) = (p) (q):

(p + q)

В формуле приведения (81) положим q = n, n 2 N, тогда будет

Если p = m, то тогда

B(m; n) = (n 1)!(m 1)!: (m + n 1)!

Напомним, что для рассмотренной выше гамма-функции мы получили такие соотношения

(n) = (n 1)!; (m) = (m 1)!; (m + n) = (m + n 1)!

Следовательно имеем:

252

B(m; n) = (m) (n):

(m + n)

Обобщим эту формулу на произвольные значения аргументов (p; q >

0):

B(p; q) = (p) (q):

(p + q)

80.3 Интеграл Пуассона

откуда следует

12 = p :

Рекомендуем сравнить с результатами примера, рассмотренного на стр 48.

253

Часть XI

ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛЫ

81 Двойной интеграл

81.1 Определение двойного интеграла

Прежде чем дать определение двойного интеграла, сделаем несколько предварительных замечаний и определений.

Определение 137 Кривая K называется простой кривой, если она рас-

падается на конечное число частей, каждая из которых имеет уравнение вида y = f(x) или x = '(y), при ч¼м функции f(x) и '(y) непрерывны на

некотором промежутке [a; b] или соответственно [p; q].

В том случае, если кривая K - простая, замкнутая, самонепересекающаяся кривая, лежащая в плоскости xOy, то множество всех точек плоскости

разбивается единственным образом на два связных множества. Мы будем в дальнейшем рассматривать области, ограниченные кривой K. Точки, лежа-

щие на контуре K, мы будем считать принадлежащими области D, которую

ограничивает этот контур, т.е. будем рассматривать замкнутую область D, ограниченную простым самонепересекающимся контуром K.

Мы будем рассматривать в дальнейшем простые области, понимая под этим области, ограниченные простыми кривыми и такие, что любая прямая, параллельная координатным осям, пересекает границу области не более, чем в двух точках (рис. 1).

Естественно, что к числу таких областей мы будем относить и области, которые можно разбить на конечное число областей указанного выше типа (рис. 2). Рассмотрим простую область D (рис. 3), ограниченную кривой K,

и обозначим через r(M; N) - множество расстояний между точками M и N, лежащими на кривой K. Наибольшее из расстояний между точками M и N будем называть в дальнейшем диаметром области D. Дадим теперь строгое определение понятия площади области D, ограниченной контуром K (рис.

4).

Пусть R есть некоторый прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий контур K целиком внутри себя, не задевая точек контура K. Разобь¼м прямоугольник R сетью прямых, параллельных

координатным осям, на прямоугольники (ячейки). Наибольший из диаметров ячеек обозначим через и будем называть рангом дробления .

0yxf(xk; yk)z(xk; yk)0yxf(xk; yk)z(xk; yk)Обозначим через S1 сумму пло- щадей ячеек, целиком лежащих в области D и не задевающих контура K, а

через S2 - сумму площадей ячеек, имеющих с областью D или е¼ контуром хотя бы одну общую точку. Очевидно, что S1 S2. Если существует общий

предел lim S1 = lim S2 = S при условии, что число ячеек увеличивается,

n!1 n!1

а ранг дробления стремится к нулю (т.е. ! 0), то число S называется площадью области D, а сама область D называется квадрируемой .

254

Рассмотрим теперь некоторую функцию f(x; y), определ¼нную в простой области D, ограниченной контуром K (рис 5). Дадим определение двойного интеграла.

Определение 138 Разобь¼м область D сетью простых кривых произвольным образом на ячейки D1; D2; :::; Dn с площадями S1; S2; :::; Sn

èдиаметрами 1; 2; :::; n. Наибольший из диаметров обозначим через - ранг дробления.

Âкаждой частичной ячейке Dk возьм¼м произвольную точку Mk(xk; yk)

èвычислим в ней значение функции f(xk; yk). Умножим затем f(xk; yk)

на площадь соответствующей ячейки Sk и просуммируем все такие про- изведения, т.е. составим сумму n = f(xk; yk) Sk, которая называ- ется интегральной суммой или суммой Римана. Измельчая дальше

n ! 1

! 0

существует и не зависит от способа дробления и выбора точек Mk, òî он называется двойным интегралом функции f(x; y) по области D

и обозначается так:

ZZ

I = f(x; y)dxdy:

D

Сама подынтегральная функция f(x; y) при этом называется интегрируемой по области D.

Итак, принимая во внимание привед¼нное выше рассуждение, мы можем коротко определить двойной интеграл от функции f(x; y) по области D как

предел последовательности интегральных сумм Римана, т.е.

Теорема 83 (Теорема существования двойного интеграла) Если подынтегральная функция f(x; y) непрерывна в каждой точке простой замкну-

той области D, то она в этой области интегрируема.

Доказательство (Без доказательства).

Замечание 37 Можно доказать, что всякая интегрируемая в области D функция ограничена в ней.

81.2 Геометрической смысл двойного интеграла

Если f(x; y) > 0 в каждой точке простой области D, по которой ведется интегрирование, то непосредственно из определения двойного интеграла

RR

следует (см. рис. 5), что двойной интеграл D f(x; y)dxdy äà¼ò íàì îáú¼ì тела, ограниченного снизу областью D, сверху - поверхностью, уравнение

которой z = f(x; y), а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие

255

которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница области D (контур K), т.е.

ãäå SD - площадь область D.

Привед¼м без доказательства свойства 3-7, очевидно которых следует непосредственно из определения двойного интеграла:

3.Если область D разбита простой кривой на две части D1 è D2, òî тогда

4. Если в каждой точке области D: f(x; y) 0, то

ZZ

f(x; y)dxdy 0:

D

5. Если в каждой точке области D: f1(x; y) f2(x; y), òî

ZZ ZZ

f1(x; y)dxdy f2(x; y)dxdy

DD

6.Если в каждой точке области D справедливо неравенство

7.Теорема 84 (Теорема о среднем) Если в каждой точке замкнутой области D f(x; y) непрерывна, то тогда в области D найд¼тся точка P ( ; ) такая, что

ZZ

f(x; y)dxdy = f( ; ) SD;

D

256

ãäå SD - площадь области D.

Доказательство Так как функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, то в ней достигает своего наименьшего m и наибольшего M значения, т.е. справедливо неравенство m f(x; y) M, откуда в силу свойства 7 вытекает

ZZ

m SD f(x; y)dxdy M SD:

D

Разделив почленно полученное соотношение на положительную вели- ÷èíó SD получим

ZZ

m 1 f(x; y)dxdy M:

SD D

Ввиду того, что функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, а m и M е¼ наименьшее и наибольшее значение соответственно, то в области D найд¼тся некоторая точка P ( ; ) такая, что

области

кривой y = y1(x), сверху кривой y = y2(x) (рис. 6), прич¼м x 2 [a; b]; мы предполагаем, что функции y1(x) è y2(x) непрерывны в промежутке [a; b] и в каждой его точке y1(x) y2(x). Из геометрического смысла двойного

Найд¼м объ¼м этого тела с помощью определ¼нного интеграла. Для этого провед¼м сечение тела плоскостью x = const. Обозначим площадь этого

сечения F (x). Известно, что объ¼м тела по площадям сечений вычисляется так:

Z b

v = F (x)dx:

a

Оста¼тся найти площадь сечения F (x). Очевидно, что это сечение представляет собою криволинейную трапецию, ограниченную снизу прямой x = const, сверху - кривой, уравнение которой z = f(x; y) (прич¼м здесь x фиксировано), а с боков - прямыми, параллельными оси Oz.

Следовательно

Z y2(x)

y1(x)

257

Подставляя найденное значение F (x) в исходный интеграл, окончательно получим

Da y1(x)

Интеграл стоящий в правой части этого равенства, называется повторным или двукратным и записывается так:

"#

Итак, окончательно получаем такое выражение двойного интеграла че- рез повторный:

R y2(x)

Заметим, что интеграл y1(x) f(x; y)dy называется внутренним, при этом говорят, что внутреннее интегрирование ведется по переменной y, а внешнее

- по переменной x.

Проводя совершенно аналогичные рассуждения, мы можем получить точно такую же форму для вычисления двойного интеграла, где внутреннее интегрирование выполнено по переменной x, а внешнее - по переменной y

(ðèñ. 6):

Dc x1(y)

Очевидно, не играет роли, по какой переменной нужно выполнять внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее.

Пример 235 Вычислить

ZZ

I = (x + y2)dxdy;

D

где область D ограничена прямыми y = 0; y = x; x + y = 4 (рис. 7).

Решение Решим пример двумя способами.

Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по x, а внешнее по y, тогда получим

Z 2 Z 4 y

I = dy (x + y2)dx:

0y

Вычислим внутренний интеграл:

258

81.4Вычисление площади кривой поверхности с помощью двойного интеграла

Рассмотрим поверхность S, заданную уравнением F (x; y; z) = 0. Допустим,

что функция F (x; y; z) непрерывна и имеет непрерывные частные производ- íûå Fx0 ; Fy0 è Fz0. Допустим, что все три частные производные не обращаются в ноль ни в одной точке поверхности S, т.е. поверхность S в каждой точке

имеет касательную плоскость. При таких предположениях в каждой точке поверхности S существует нормаль N, прич¼м вектор

Допустим, в частности, что поверхность S задана уравнением z = f(x; y). Очевидно, что мы можем считать, что

F (x; y; z) = z f(x; y);

прич¼м частные производные

@F@x = @f@x(x;y) ; @F@y = @f@y(x;y) ;

@F@z = 1

259

непрерывны в силу сделанных выше предположений. Обозначим

тогда ясно, что нормаль к поверхности будет иметь координаты

N = N ( p(x; y); q(x; y); 1) :

Единичный вектор нормали, следовательно, имеет вид

p2(x; y) + q2(x; y) + 1

где i; j; k - орты системы координат (рис. 8).

Как известно, координаты единичного вектора совпадают с направляющими косинусами данного вектора. Обозначим через ; и углы нормали

N соответственно с координатными осями Ox, Oy и Oz. Знак в знамена-

теле последней формулы означает, что мы можем выбрать на нормали два взаимно противоположных направления, т.е. для направляющих косинусов нормали получим такие формулы:

Зафиксируем на нормали то направление, которое образует острый угол с осью Oz, т.е. выберем в формулах для направляющих косинусов такой

знак перед корнем, чтобы было cos > 0.

Очевидно, что следует взять плюс, прич¼м этот знак следует зафиксировать во всех тр¼х формулах. Для получения направляющих косинусов нормали, имеющей противоположное направление, мы должны изменить знаки на противоположные. Рассмотрим теперь поверхность S, располо-

женную над простой областью D, лежащей в плоскости xOy (рис. 9). Разобь¼м область D сетью простых линий на ячейки D1, D2,. . . ,Dn с площадямиF1, F2,. . . , Fn, - ранг дробления области D.

Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служит дробящая сеть линий области D.

Эти цилиндрические поверхности переносят дробление из области D на поверхность S, которая разбивается таким образом на ячейки S1, S2, . . . , Sn. Выберем в каждой ячейке Sk произвольную точку Mk(xk; yk; zk) и провед¼м через не¼ касательную площадку Tk до пересечения с вышеназванными цилиндрическими поверхностями. Обозначим площадь касательной площадки Tk через Sk.

Если существует конечный предел

не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точек Mk íà ïî- верхности S, то она называется площадью поверхности S, расположенной

260