Лекции по вышмату за 1 курс

несовместна. Следовательно ответ на поставленный вопрос отрицательный. В силу второй альтернативы система однородных уравнений

9 y1 + 2y2 = 0 =

2y1 + 4y2 = 0 3y1 + 6y2 = 0 ;

должна иметь нетривиальное решение. Действительно, таким решением является например y1 = 2; y2 = 1.

Пример 60 Является ли система совместной при любых b1 è b2?

x + 2y + 3z = b1 3x + 4y + 6z = b2

Решение Ранг матрицы этой системы равен 2. Значит и ранг расширенной матрицы не может быть меньше двух (и не может быть больше, чем 2). Значит при любых b1 è b2 ранг матрицы системы равен рангу расши-

ренной матрицы и система совместна. Т.е. ответ на поставленный вопрос положителен.

Пример 61 Установить, какая из альтернатив имеет место для систе-

ранг расширенной матрицы равен 2. Т.е. система совместна при любых b1 è b2 и имеет место первая альтернатива.

Пример 62 Какая из альтернатив имеет место для системы

Решение Так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны, то rgA = 1. При b1 = 1 è b2 = 0 ранг расширенной матрицы будет равен 2, т.е. система несовместна. Имеет место вторая альтернатива.

27Неравенства первой степени с двумя и тремя переменными. Системы неравенств

27.1Линейное неравенство первой степени с двумя переменными

Рассмотрим на плоскости xOy прямую линию l, проходящую через точ-

êó M0(x0; y0) и параллельную направляющему вектору S(m; n) (рис.4.7.1).

!

Очевидно, что векторы M0M и S коллинеарны, следовательно, их коорди- наты пропорциональны, т.е.

x x0 = y y0 : m n

91

Очевидно, что это есть ни что иное, как каноническое уравнение прямой l, из которого следует: nx my nx0 + my0 = 0, обозначим n = A,

m = B, nx0+my0 = c, тогда уравнение прямой l имеет вид: Ax+By+C = 0:

Напомним, что уравнение прямой, записанное в таком виде, называется общим уравнением прямой l. Введ¼м в рассмотрение вектор N(A; B).

Очевидно, что N S = 0, т.е. вектор N является нормалью к прямой l. Рассмотрим теперь строгое неравенство

Напомним, что решением любого неравенства с двумя переменными f(x; y) > 0 называется упорядоченная пара чисел (x; y), удовлетворяю-

щая этому неравенству; решить неравенство - значит найти множество всех его решений. Установим геометрический смысл неравенства (48). Для этого рассмотрим уравнение Ax + By + C = 0. На плоскости xOy прямая l, имею-

щая уравнение Ax + By + C = 0, разбивает плоскость на две полуплоскости I и II (рис.4.7.2).

Покажем, что в каждой из этих плоскостей тр¼хчлен Ax+By +C имеем постоянный знак, т.е. в одной из них выполняется неравенство Ax+By+C > 0, а в другой Ax + By + C < 0 (на самой прямой l тр¼хчлен равен нулю).

Принимая во внимание, что Ax0 + By0 + C = 0, можем написать:

Ax + By + C = Ax + By + C (Ax0 + By0 + C) =

!

= A(x x0) + B(y y0) = N MoM;

где M(x; y) - точка, лежащая в полуплоскости I или II. Очевидно, что

Если предположить, что вектор нормали равен N(A; B), то очевидно,

!

÷òî ïðNM0M имеет противоположные знаки, если точка M(x; y) лежит в полуплоскости I или II.

Пример 63 Решить неравенство x y + 2 > 0.

Решение Прежде всего нарисуем прямую l, имеющую уравнение x y + 2 = 0. Она разбивает плоскость на две полуплоскости I и II (рис.4.7.3).

Замечание 10 Нестрогое неравенство x y+2 0 имеет решение, состоящее из множества точек, лежащих правее и ниже прямой l, к которому следует добавить точки, лежащие на прямой l (рис.4.7.4).

92

27.2Система линейных неравенств первой степени с двумя неизвестными

;

Решением такой системы неравенств называется множество упорядоченных пар чисел (x; y), удовлетворяющих каждому из неравенств системы

(49). Очевидно, что геометрически множество решений системы (49) состоит из всех точек плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют

каждому неравенству системы.

Пример 64 Построить множество решений системы:

9

x y + 2 0

>

>

x + y 6 0 = x + 2y 7 0

Решение Строим прямые x y+2 = 0, x+y 6 = 0, x+2y 7 = 0, y = 2.

Множеством решений каждого неравенства системы является одна из полуплоскостей, на которые разбивает плоскость соответствующая прямая. Множеством решений системы является их общая часть, представляющая собою четыр¼хугольник ABCD, изображенный на рис.4.7.5. При этом точ-

ки, лежащие на сторонах четырехугольника, в это множество включаются.

93

Часть V

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

28 Элементы теории множеств

28.1 Логические символы и логические операции

В математических рассуждениях, при доказательствах теорем часто встре- чаются стандартные выражения "существует элемент "любой элемент"и т. п. Для компактной записи математических текстов, содержащих подобные выражения, используются особые логические символы (кванторы). Остановимся на некоторых из них.

1.") символ следования. Запись " ) "читается так: "Из утвержденияследует утверждение "или так: "Условие достаточно для выполнения условия ".

2.", символ эквивалентности. Запись " , "читается так: "Утверждение имеет место тогда и только тогда, когда имеет место утверждение "или так: "Условие необходимо и достаточно для выполнения условия ".

Рассмотрим подробнее понятия "необходимо"и "достаточно".

Определение 49 Говорят, что условие P достаточно для условия Q, если из выполнения условия P вытекает выполнение условия Q.

Пример 65 Если "число оканчивается нулем"(P), то "оно четное"(Q).

Определение 50 Говорят, что условие P необходимо для условия Q, если невыполнение условия P влечет за собой невыполнение условия Q.

Пример 66 Если "сумма цифр числа делится на 3"(P), то и "само число делится на 3"(Q).

Заметим, что если условие P достаточно для условия Q, то условие Q необходимо для условия P; если условие P необходимо для условия Q, то условие Q достаточно для условия P.

3."9 квантор существования. (Символ " 9 перевернутое "E произошел от англ. Existence - существование). Запись " 9x: "читается так: "Суще-

ствует по крайней мере один x, для которого имеет место утверждение".

4."8 квантор общности. (Символ "8"произошел от англ. any - любой). Запись "8x : "читается так: "Для всех x имеет место утверждение ".

Для удобства чтения текста, записанного с помощью нескольких логи- ческих символов, все, что относится к каждому из них в отдельности, обычно заключается в круглые скобки, а двоеточие между ними озна- чает: "имеет место".

94

5.Обозначение "def"(от английского слова de nition - определение) употребляется для того, чтобы отметить, что данное утверждение спра-

def

ведливо по определению. Запись " = "читается так: " равно по определению".

Кроме того, остановимся на некоторых логических операциях.

1."_ дизъюнкция (логическое сложение). Высказывание " _ "читается: " или "и по определению истинно в том и только том случае, когда по крайней мере одно из высказываний или является истинным.

2."^ конъюнкция (логическое умножение). Высказывание " ^ "читается: " и "и по определению истинно в том и только том случае, когда оба высказывания и истинны.

3."j отрицание. "j "читается "не ". Высказывание "j "по определению истинно, если ложно, и ложно, если истинно.

28.2 Понятие множества

Понятие множества в математике - изначальное, неопределяемое. Интуитивно множество - это совокупность объектов любой природы, объединенных некоторым характерным свойством. Объекты, из которых составлено множество, называют его элементами. Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: a2A, если элемент a не принадлежит множеству A, то

пишут: a2A или a2=A. Итак, отметим, что 2 - знак включения для элемен-

тов множества. Мы чаще всего будем рассматривать числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются числа. Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными; множества, не являющиеся конечными, называются бесконечными. Конечное множество обычно задают, объединяя входящие в него элементы фигурной скобкой, например A=f1,3,5g. Если некоторая величина x принимает числовые зна-

чения из некоторого множества X, т. е. x2X так, что каждый элемент мно-

жества X является некоторым значением этой величины, то x называют переменной, изменяющейся на множестве X. Если множество X состоит из одного единственного элемента, то x называется постоянной величиной или константой. При этом пишут: x=const.

Определение 51 Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

При этом пишут B A (рис. 1.1.1, г). Итак, - знак включения для мно-

жеств. Тот факт, что множество B является подмножеством множества A, с помощью логических символов можно записать так: ( B A),(8x2B))(x2A).

Из определения подмножества следует, что A A, каково бы ни было множество A. Кроме того, по определению считаем, что пустое множество ; является подмножеством любого множества A, т. е. ; A.

Определение 52 Два множества A и B называются равными, если они содержат одни и те же элементы, иначе: (A=B) ,(A B)^(B A) или

òàê: (A=B),((8x2B)) x2A)^((8x2A))x2B).

95

Определение 53 Объединением или суммой A[B двух множеств A

и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B (рис. 1.1.1, а).

Иначе: (x2(A[B)),(x2A)_(x2B).

Определение 54 Пересечением или произведением A\B двух мно-

жеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B (рис. 1.1.1, б).

Иначе: (x2(A\B)),(x2A)^(x2B).

Определение 55 Разностью A\B двух множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B (рис. 1.1.1, в).

В том случае, если B A, то разность A\B называется дополнением множества B до множества A или дополнением B в A (рис. 1.1.1, г).

Определение 56 Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

При этом пишут AB. Понятие эквивалентности применимо к любым множествам, как конечным, так и бесконечным. Ясно, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов.

Определение 57 Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Если два конечных множества A и B эквивалентны между собой, то они состоят из одинакового числа элементов. Если же A и B два произвольных эквивалентных между собой множества, то говорят, что они имеют одинаковую мощность, т. е. можно сказать, что мощность - это то общее, что есть у всех эквивалентных между собою множеств. Для конечных множеств понятие мощности совпадает просто с понятием числа элементов. Мощность множества натуральных чисел N(т. е. мощность любого счетного множе-

ства) обозначается символом @0 (читается "алеф нуль").

Множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел между 0 и 1, называются множествами мощности континуума. Эта мощность обозначается символом c.

Как правило, все бесконечные множества, с которыми приходится встре- чаться в математическом анализе, или счетные, или имеют мощность c.

Остановимся теперь на принятых обозначениях для числовых множеств и рассмотрим подробно некоторые из них.

Множество целых положительных чисел, которое возникло в результате счета: 1, 2, 3, . . . , n, . . . , называется множеством натуральных чисел и обозначается N.

Множество всех целых чисел обычно обозначают Z.

Множество чисел, которые можно представить в виде дроби mn , ãäå m, n 2N, а также число 0 образуют множество рациональных чисел Q. Если к

96

множеству Q добавить множество всех иррациональных чисел, т. е. чисел, p p

не представимых в виде mn , ãäå m, n 2 N (например, это числа 2, 5, и т. д.), то получим множество всех вещественных или действительных

чисел, которое обозначают буквой R (от лат. realis - действительный).

И, наконец, множество комплексных чисел, которое обозначается обыч- но буквой C. Об этом множестве мы поговорим немного подробнее дальше.

28.3 Вещественные числа (множество R)

Рассмотрим множество вещественных (действительных) чисел R. Очевидно, что множества N, Z и Q являются его подмножествами. Веществен-

ные числа изображаются точками на числовой оси. В свою очередь каждой точке на числовой оси соответствует некоторое вещественное число. Такое взаимно-однозначное соответствие между вещественными числами и точ- ками на числовой оси позволяет в дальнейшем любое вещественное число называть точкой. Множество вещественных чисел R дополняется эле-

ментами, обозначенными " 1"и "+1 которые называются соответственно

"минус бесконечностью"и "плюс бесконечностью причем, по определению считаем, что 1<+1, а также для любого числа a2R справедливы

неравенства 1<a<+1. Бесконечности 1 и +1 иногда называют бесконечными числами. Множество вещественных чисел R, дополненное элементами 1 и +1, называется расширенным множеством вещественных

чисел или расширенной числовой прямой и обозначается R. Элементы 1 и +1 называются бесконечно удаленными точками расширенной

числовой прямой.

Напомним теперь важное для нас определение абсолютной величины вещественного числа или его модуля и рассмотрим его свойства.

Определение 58 Абсолютной величиной числа a, или его модулем, называется неотрицательное число, которое обозначается jaj и определя-

åòñÿ òàê:

jaj =

a; 5A; 8 a 0;

a; 5A; 8 a < 0:

С точки зрения геометрии jaj дает нам расстояние от точки, изобража-

ющей число a на числовой оси, до начала координат.

Свойства абсолютных величин

1.j a j a j a j :

Действительно, в силу определения, если a 0, то jaj<a=jaj; если a<0, то jaj=a <jaj. Объединив эти неравенства, получим jaj a jaj.

Если jaj< , то a , а точнее, jaj< , <a< .

Действительно, в силу первого свойства jaj a jaj, но jaj< ) < jaj. Итак, < jaj a jaj< ) <a< .

97

2.ja+bj jaj+jbj.

Для доказательства снова воспользуемся первым свойством, из которого следует, что jaj a jaj, jbj b jbj. Неравенства одного знака можно почленно складывать, следовательно, (jaj+jbj) a+b (jaj+jbj). В силу второго свойства это можно записать так: ja+bj jaj+jbj.

3.ja bj jaj jbj.

Для доказательства обозначим a b=c)a=b+c, но jb+cj jbj+jcj)jaj jbj+ja bj)ja bj jaj jbj.

Отметим в заключение, что при любом расположении точек x1 и x2 на числовой прямой jx1 x2j или jx2 x1j дает нам расстояние между

точками x1 и x2. В этом нетрудно убедиться, если принять во внимание определение модуля вещественного числа (рис. 1.1.2).

28.4 Промежутки вещественных чисел. Окрестности

Рассмотрим некоторые основные подмножества множества вещественных чисел, которые нам будут часто встречаться в дальнейшем.

Пусть a,b2R, тогда множество fx: a x bg называется отрезком числовой прямой или замкнутым промежутком (сегментом) и обозначается

def

[a;b], ò. å. [a; b] = fx : a x bg.

зываются полуинтервалами.

def

Числовое множество ]a; b[ = fx : a < x < bg называется интервалом, или

открытым промежутком.

Тот факт, что переменная x принадлежит рассмотренным множествам, записывается так: x2[a;b],a x b, в частности,

x2[ a;a], a x a,jxj a; x2[a;b[,a x<b; x2]a;b[,a<x<b, в частности, x2] a;+a[, a<x<a,jxj<a.

Совершенно аналогично вводятся бесконечные и полубесконечные интервалы [a;+1[, ]a;+1[, ] 1;a], ] 1;+1[.

Определим теперь важное для нас подмножество множества вещественных чисел, которым мы часто будем пользоваться: -окрестность точки

x0, причем точка x0 может иметь как конечное, так и бесконечное значе- ние. (Через мы будем обозначать здесь и в дальнейшем сколь угодно малое

положительное число, т. е. >0, мало).

U(x0; ")U(x0; ")U(x0; +")U(x0; +")U(x0; ")U(x0; ")

x0x0x0 + "x0 + "x0 "x0 "x0x0x0 "x0 "xx00x0 + "x0 + "x0x0xx00xx00

Определение 59 Если x02R, то ее -окрестностью называется интервал ]x0 ;x0+ [ (рис. 3.1.1,а).

Для удобства вводятся иногда такие обозначения -окрестности точки

98

Определение 60 Если x0 - конечное вещественное число, т. е. x0 2R, то его правосторонней -окрестностью называется интервал ]x0,x0+ [, т.

Рассмотрим теперь некоторое подмножество множества вещественных чисел X R.

Определение 61 Точка x2X называется внутренней точкой множе-

ства X, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Определение 62 Точка x называется граничной точкой множества

X, если любая окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие множеству X, так и точки, ему не принадлежащие.

Определение 63 . Если для подмножества X R существует такое число b R, что оно не меньше любого числа x 2X, т. е. (8x2X):(x b), то

множество X называется ограниченным сверху, а число b - числом, ограничивающим множество X сверху.

Аналогично определяется подмножество чисел, ограниченное снизу. Например, рассмотрим множество X = U (x0; ") = ]x0 "; x0 + "[.

Это множество имеет две граничные точки x1=x0 и x2=x0+ . Любая-окрестность этих точек ( >0, мало) содержит как точки, принадлежащие интервалу ]x0 ,x0+ [, так и точки, ему не принадлежащие. Заметим,

что каждая из граничных точек x1 и x2 множеству X не принадлежит. Очевидно также, что множество X ограничено как сверху, так и снизу (рис. 4.1.1).

Среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество, наибольшее и наименьшее из них имеет специальное название.

Определение 64 Наименьшее из всех чисел, ограничивающих сверху множество X R, называется его верхней гранью и обозначается supX или

supfxg (sup - от лат. supremum - наибольший).

99

Определение 65 Наибольшее из всех чисел, ограничивающих снизу множество X R, называется его нижней гранью и обозначается infX или

inffxg (inf - от лат. in mum - наименьший).

28.5 Комплексные числа (множество C)

Определение 66 Комплексным числом z называется выражение вида

2 def

z=x+iy, где x,y2R, i - так называемая мнимая единица, причем ( i) = 1.

Число x называется вещественной частью комплексного числа z и обозначается Rez, т. е. Rez =x; число y называется мнимой частью ком-

плексного числа z и обозначается Imz, т. е. Imz =y (Imz - вещественное чис-

ло - коэффициент при i в выражении комплексного числа z ). Комплексное число z =x+iy на координатной плоскости xOy изображается точкой с ко-

ординатами x,y - M (x,y).

В этом случае координатная плоскость xOy называется комплексной плоскостью z , ось Ox - вещественной осью, ось O y - мнимой осью. Модуль радиус-вектора r, проведенного из начала координат в точку M (x,y), назы-

100