Лекции по вышмату за 1 курс

Откуда следует, что (x) = (x + x) (x) = Rxx+ x f(t)dt. Последний интеграл в силу теоремы о среднем: Rxx+ x f(t)dt = f0( ) x,

прич¼м точка лежит между точками x и x + x; тогда x = f( ). Устремим x к нулю, тогда в силу непрерывности функции f(x) будет

lim f( ) = f(x), следовательно:

т.е. окончательно получим:

0

Z x

f(t)dt = f(x)

ax

72.2Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 74 Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], то определ¼нный интеграл от этой функции по промежутку [a; b] равен разности

значений какой-либо первообразной этой функции на верхнем и на нижнем

пределах интегрирования, т.е.

Rab f(x)dx = F (b) F (a) (Формула Ньютона-Лейбница)

Доказательство Обозначим через F (x) первообразную функции f(x), тогда, принимая во внимание доказанную выше теорему Барроу,

Итак, для того, чтобы вычислить определ¼нный интеграл, достаточно вычислить разность значений первообразной на верхнем и на нижнем зна- чениях пределов интеграла. Заметим, что разность f(b) F (a) обозначают

òàê:

Z b

f(x)dx = F (x)jba = F (a) F (b)

a

Пример 200 Вычислить площадь, ограниченную кривыми y = x3y = x2y = x2 è y = x3 (ðèñ 2)

Решение Параболы y = x2 è y = x3 пересекаются в точках O(0; 0) и M(1; 1),

ограничивая область, изображенную на рис 2. В силу геометрического смысла

определ¼нного интеграла очевидно, что искомая площадь S = R01(x2 x3)dx.

221

Для вычисления определ¼нного интеграла применим формулу НьютонаЛейбница. Получим

Рассмотрим теперь основные способы вычисления определ¼нного интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

72.3 Подстановка в определ¼нном интеграле

Теорема 75 Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b], и в опре-

дел¼нном интеграле произвести замену переменной интегрирования при помощи подстановки x = '(t), прич¼м функция '(t) и е¼ производная '0(t)

непрерывны на промежутке [ ; ], прич¼м '( ) = a; '( ) = b и, кроме того, функция '(t) имеет обратную функцию t = (t), то

Z b Z

f(x)dx = f['(t)]'0(t)dt

Доказательство Пусть F (x) - первообразная для функции f(x), т.е.

0

F 0(x) = f(x), тогда (F ['(t)])t = f['(t)] '0(t). Следовательно

Z

f['(t)]'0(t)dt = F ['(t)]j = F ['( )] F ['( )] = F (b) F (a);

à ò.ê. Rab f(x)dx = F (b) F (a), òî ÿñíî ÷òî Rab f(x)dx = R f['(t)]'0(t)dt

Замечание 34 Для вычисления определ¼нных интегралов замена переменной может определяться соотношением t = '(x) или '(t) = (x), или

(x; t) = 0 при выполнении необходимых ограничений на функции, задающие замену переменных.

Замечание 35 При вычислении определ¼нных интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу (это с очевидностью следует из доказательства теоремы).

Решение Делаем подстановку x = t2, тогда dx = 2tdt. Новые пределы интегрирования: т.к. t = px, òî t1 = pxjx=0 = 0; t2 = pxjx=9 = 3; тогда

получим

222

72.4 Интегрирование по частям

Теорема 76 Если в промежутке [a; b] функции u(x) и v(x) непрерывны и имеют непрерывные производные, то

Доказательство Из тождества d(u(x) v(x)) = u(x)dv(x) + v(x)du(x). Проинтегрируем это равенство на промежутку [a; b], получим

Заметим, что в этом выражении интегрирование вед¼тся по переменной

x.

Пример 202 Вычислить I = Rab x ln xdx

Решение Вычислим данный интеграл по частям, положив u(x) = ln x; dv(x) =

73 Приложения определ¼нного интеграла

73.1 Вычисление площадей плоских фигур

Принимая во внимание геометрический смысл определ¼нного интеграла, заметим, что если область D ограничена сверху кривой y = (x), снизу

кривой y = '(x), прич¼м '(x) (x)('(x) > 0; (x) > 0)x 2 [a; b] (рис 1),

то площадь области D можно вычислить по формуле

S = Rab (x)dx Rab '(x)dx, ò.å. S = Rab [ (x) '(x)] dx

Если область ограничена прямыми y = 0 (сверху), x = a; x = b а также кривой y = '(x) (снизу), прич¼м '(x) < 0 (рис 2), то площадь области D

вычисляется по формуле S = Rab '(x)dx.

В том случае, когда область D ограничена прямыми x = a; x = b, а также кривой y = (x) сверху, прич¼м (x) > 0, а также кривой y = '(x)('(x) < 0); то площадь этой области (рис 3) вычисляется по формуле

S = Rab [ (x) '(x)] dx

Прич¼м эта формула справедлива при любом расположении кривых на плоскости, лишь бы не нарушалось условие '(x) (x).

Пример 203 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x2 1 è y = x + 1 (ðèñ 4)

223

Решение Найд¼м точки пересечения данных кривых. Для этого необходимо решить систему уравнений

Очевидно, что когда параметр t пробегает промежуток от 0 до 2 , текущая точка M(x; y) обегает контур эллипса один раз от точки A1 ! B1 ! A2 ! B2 ! A1. Переход к параметрическим уравнениям эллипса суще-

ственно упрощает вычисление определ¼нного интеграла, дающего нам выражение для площади эллипса. В виду симметричности эллипса вычислим

площадь его четверти, которая лежит в первом квадрате.

Действительно 14 Sell = R0a y(x)dx, где y(x) - уравнение верхней половины эллипса. В силу параметрических уравнений эллипса найд¼м пределы ин-

тегрирования: x = a cos t, положим здесь x1 = 0, получим t1 = 2 , а положив x2 = a, будем иметь верхний предел интегрирования t2 = 0. Учитывая, что

в силу тех же параметрических уравнений y = b sin t; dx = a sin tdt, окон-

чательно сформируем определ¼нный интеграл для вычисления площади, ограниченной эллипсом:

Итак, площадь эллипса Sell= ab кв.ед.. Заметим, что, положив здесь a = b = r, получим известное нам выражение для площади круга S = r2.

Допустим теперь, что нам необходимо вычислить площадь, ограниченную кривой, заданной уравнением в полярных координатах. Точнее, вычислим площадь фигуры, ограниченной лучами ' = ; ' = , а также кривой

r = r(') (предполагаем, естественно, что функция r = r(') на промежутке [ ; ] интегрируема) (рис 6).

224

Провед¼м рассуждения в полярной системе координат (O - полюс, OP - полярная ось).

Из полюса O провед¼м лучи

'= (луч OA) и ' = (луч OB), а также построим кривую r = r(');

'2 [ ; ].

Найд¼м площадь криволинейного сектора OAB. В соответствии с опре-

делением определ¼нного интеграла выполним следующие пять операций. 1. Разобь¼м сектор OAB лучами '0 = ; '1; :::; 'k; 'k+1; :::; 'n = ('k <

'k+1) произвольным образом на n частей (секторов); обозначим 'k = 'k+1 'k. Рангом дробления назов¼м supf 'kg = .

ранг дробления к нулю, будем

искать предел I = lim n.

В пределе получим площадь криволинейного сектора S = 12 R r2 (') d'.

Пример 205 Вычислить площадь, ограниченную кривой r = 1 + cos '.

Решение Если переменная ' пробегает значения от 0 до 2 , текущая точка обегает кривую, которая называется кардиоидой . Если ' 2 [0; ], имеем верхнюю половину фигуры. Очевидно, что

12 S = R0 (1 + cos ')2d' = R0 (1 + 2 cos ' + cos2 ')d' = R0 (1 + 2 cos ' + 0:5(1 + cos 2'))d' = = (1:5' + 2 sin ' + sin 2')j0 = 1:5

Итак, искомая площадь S = 3 кв. ед..

73.2 Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая AB (рис 8) задана уравнением y = f(x), где x 2 [a; b]. Предположим, что функция f(x) и е¼ производная f0(x) непрерывны на [a; b].

Длиной дуги кривой AB мы будем называть предел длины вписанной в не¼ ломаной линии при условии, что n ! 1, а длина наибольшего звена

ломаной (ранг разбиения) стремится к нулю. Обозначим длину частич-

пределе полу-

чим такое выражение для длины дуги плоской кривой

225

Z b q

L = 1 + [f0(x)]2dx

a

Пример 206 Найти длину дуги кривой AB, если A( 2; 7); B(1; 1) и уравнение кривой AB : y = 3 2x

Решение Очевидно, что кривая AB представляет собою отрезок прямой

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями

x = '(t)

; t 2 [ ; ]; ( < );

y = (t)

то нетрудно убедиться, что длина дуги кривой AB вычисляется по формуле

Z q

L = ['0(t)]2 + [ 0(t)]2dt

Отметим, что здесь естественно предполагается, что функции '(t), (t) и их производная '0(t) è 0(t) непрерывны на промежутке [ ; ].

Пример 207 Найти длину дуги астроиды

x = a cos3(t)

y = a sin3(t) ; (a > 0)

Решение Очевидно, что кривая ABCD (астроида) симметрична отно-

сительно координатных осей, прич¼м текущая точка обегает кривую один раз, когда параметр t 2 [0; 2 ]. Вычислим четв¼ртую часть длины дуги

(участок AB t 2 [0; 2 ]). Имеем:

В том случае, когда кривая AB задана уравнением в полярных координатах r = r('), прич¼м функция r(') и е¼ производная r0(') непрерывны на

226

промежутке [ ; ]( < ), то нетрудно получить формулу для вычисления длины дуги кривой AB, воспользовавшись только что выведенной формулой. Действительно, можно принять ' за параметр. Тогда получим такой частный случай параметрических уравнений кривой AB.

x = r(') cos '

; ' 2 [ ; ]( < )

y = r(') sin '

Имеем: x0' = r'0 cos ' r sin '; y'0 = r'0 sin ' + r cos '; (x0')2 + (y'0 )2 = r2(') + r02(').

Таким образом, окончательно получим

Z

p

L = r2(') + r02(')d'

Пример 208 Найти длину дуги окружности радиуса R, записав е¼ уравнение в полярных координатах (рис 11)

Решение Напомним, что уравнение

окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 = R2. Примем во внимание связь между декартовыми и полярными координатами:

x = r cos '; y = r sin '

(здесь предполагается, что начало декартовых координат совпадает с полюсом O, а ось OX совпадает с полярной осью).

Тогда очевидно, что уравнение окружности в полярных координатах: r = R, прич¼м, когда ' 2 [0; 2 ], текущая точка M обегает контур окруж-

ности один раз против часовой стрелки.

Имеем r'0 = 0; r2(') + r02(') = R2, тогда pr2(') + r02(') = R, следова-

тельно L = R02 Rd' = R 'j20 = 2 R.

Итак, мы получили всем известную формулу для вычисления длины дуги окружности радиуса R: L = 2 R.

73.3 Вычисление площади поверхности тела вращения

Рассмотрим на плоскости xOy некоторую кривую AB, заданную уравнением y = f(x); x 2 [a; b]. Пусть функция f(x) и производная f0(x) непрерывны

на [a; b]. От вращения кривой AB вокруг оси Ox получается тело вращения,

ограниченное поверхностью вращения. По определению будем считать площадью поверхности вращения площадь поверхности, которая получается от вращения ломаной линии A = A0; A1; A2; :::; Ak; Ak+1; :::; An = B, вписанной

в кривую AB (рис 12) при условии, что число точек дробления бесконечно возрастает, а ранг дробления = supf xkg при этом стремится к нулю.

От вращения хорды AkAk+1 получим усеч¼нный конус, боковая поверхность которого

q

Sk = x [f(xk) + f(xk+1)] lk = 2 f( k) 1 + [f0( k)]2 xk;

ãäå xk k xk+1.

Площадь поверхности вращения S таким образом приблизительно равна

227

Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, получим точ- ное равенство

Z b q

S = 2 f(x) 1 + [f0(x)]2dx

a

Пример 209 Кривая 3x + y 3 = 0 вращается вокруг оси Oy, найти площадь поверхности, ограниченной плоскостью xOz и получившейся поверхностью вращения.

Решение Очевидно, что кривая 3x + y 3 = 0 представляет собою прямую линию, которая пересекается с координатными осями Ox и Oy в точках A(1; 0; 0) и B(0; 3; 0), а интересующее нас тело есть конус (рис 12).

Воспользуемся выведенной выше формулой, заменив в ней естественным образом переменную x на переменную y.

Получим

стим, что мы знаем площадь сечения этого тела любой плоскостью x = c. Обозначим площадь этого сечения через F (x). Разобь¼м отрезок [a; b] произвольным образом на n частей точками

x0 = a < x1 < ::: < xk < xk+1 < ::: < xn = b:

На каждом частичном участке [xk; xk+1] возьм¼м произвольную точкуk. Площадь этого сечения F ( k). Элементарный объ¼м vk = F ( k) xk, тогда очевидно, что объ¼м рассматриваемого тела

Z b

V = F (x)dx:

a

228

В частности, отсюда нетрудно получить формулу объ¼ма тела вращения, которая получается от вращения y = f(x) вокруг оси Ox (f(x) предпо-

лагается непрерывной на промежутке [a; b]). Действительно, в этом случае площадь сечения представляет собою круг радиуса R = f(x), следовательно площадь сечения равна f2(x). А тогда объ¼м тела вращения

Z b

v = f(x)dx

a

Пример 8. Найти объ¼м шара радиуса R.

74Общая схема применения определ¼нного интеграла

74.1Методика применения определ¼нного интеграла к решению практических задач

Выше мы рассмотрели различные случаи применения определ¼нного интеграла для решения геометрических задач. Но область применения определ¼нного интеграла очень обширна и независимо от конкретного содержания задачи приходится действовать по вполне определ¼нной схеме.

Пусть требуется определить некоторую постоянную величину Q, связанную промежутком [a; b]. Эту величину мы будем предполагать аддитивной, т.е. такой, что разложение отрезка [a; b] точкой c (a < c < b) на части [a; c] и [c; b] влеч¼т за собой разложение на соответствующие части величины Q, прич¼м значение величины Q, соответствующее всему отрезку [a; b], равно сумме е¼ значений, соответствующих отрезкам [a; c] и [c; b].

Переходя к решению задачи по определению величины Q, разложим отрезок [a; b] при помощи точек

a = x0 < x1 < ::: < xn 1 < xn = b

на n частей

[a; x1]; [x1; x2]; :::; [xn 1; b];

xk = xk xk 1 - длина k-го частичного промежутка, = supf xkg - ранг дробления. В соответствии с разложением промежутка [a; b] величина Q разложится на n слагаемых Q1; Q2; :::; Qn:

n

X

Q = Qk:

k=1

229

Допустим теперь, что существует такая функция q(x), что "элементар-

ное"слагаемое Qk, соответствующее промежутку [xk 1; xk] длины xk, приближенно может быть записано в виде

Qk q( k) xk;

ãäå k лежит между xk 1 è xk, прич¼м ошибка этого равенства при бесконечно малом ранге дробления будет бесконечно малой, порядка высшего, ÷åì xk, ò.å.

Qk = q( k) xk + o( xk):

В этом случае для Q получается приближ¼нное выражение

n

X

Q q( k) xk;

k=1

тем более точно, чем меньше . Стало быть, точное значение Q будет служить пределом суммы при ! 0, или, что то же самое,

На практике это рассуждение облекают в более краткую форму, говоря, что если элемент Q величины Q, отвечающий элементарному отрезку

[x; x + x], представим в виде

Q = q(x) x + o( x);

ò.å.

dQ = q(x)dx;

то равенство (80) верно.

74.2 Работа переменной силы

Пример 210 Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда радиуса R?

Решение Плоскостями, параллельными плоскости воды, разобь¼м полушар на элементы толщины dx (рис 1). Элементарная сила (сила тяжести),

действующая в направлении оси Ox на слой, толщиной dx, с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно dx равна g r2dx, гда - плотность воды, g - ускорение свободного падения. Следовательно, элементарная работа силы равна

dA = g r2xdx; p

где x - уровень воды, r = R2 x2; отсюда находим

230