Лекции по вышмату за 1 курс

Пример 69 Изобразить на комплексной плоскости множество чисел, удовлетворяющих неравенствам 1 <jz ij<2.

Очевидно, что такой системе неравенств удовлетворяют точки, лежащие внутри кольца, ограниченного окружностями x2+(y 1)2=4 и x2+(y 1)2=1

(ðèñ. 1.1.8).

28.6 Действия над комплексными числами

1.Равенство. Два комплексных числа z 1=x1+iy1 и z 2=x2+iy2 назы-

ваются равными, если равны их вещественные и мнимые части, т. е. (z 1=z 2),(x1=x2,y1 =y2).

Пример 70 Найти x и y из уравнения x +iy=2.

Решение Имеем x+iy=2+i:0. Приравнивая вещественные и мнимые части, получим: x=2, y=0.

2. Сложение. Суммой двух комплексных чисел z 1+z 2, где z 1=x1+iy1, z 2=x2+iy2 называется комплексное число z 3=(x1+x2)+i(y1+y2), т.

е. при сложении комплексных чисел складываются соответственно их вещественные и мнимые части.

3. Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. z 3=z 1 z 2, если z 1=z 2+z 3. Итак, если z 1=x1+iy1, z 2=x2+iy2,

то x1=x2+x3, y1=y2+y3, откуда следует: x3=x1 x2, y3=y1 y2, т. е.

z1 z 2=(x1 x2)+i(y1 y2).

4.Умножение. Произведением двух комплексных чисел z 1:z 2, где z 1=x1+iy1,z 2=x2+iy2называетс

Выполнить умножение комплексных чисел можно, записав их предварительновтригонометрическойформе,аименно:пусть z 1=r1(cos'1+isin'1),

z2=r2(cos'2+isin'2), тогда z 1:z 2=r1r2[cos('1+'2)+isin('1+'2)].

Таким образом, очевидно, что при умножении двух комплексных чи- сел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Рассмотрим здесь наряду с комплексным числом z =x+iy комплексное число z = x iy, которое называется сопряженным комплексным

располагаются симметрично относительно вещественной оси O x (рис. 1.1.9).

Пример 71 Найти корни квадратного уравнения z2 +2z+2=0 и построить их на комплексной плоскости.

101

p

Решение Корни данного квадратного уравнения z1;2 = 1 1 2 =1 i, т. е. z 1= 1+i, z 2= 1 i представляют собою два комплексных

сопряженных числа, расположенных симметрично относительно вещественной оси Ox.

Забегая вперед, отметим, что комплексное число z можно записать в так называемой показательной форме, т.е. представить в виде

5. Степень комплексного числа . По определению, если n2N, то zn = z z : : : z. Применив метод математической индукции, нетрудно

| {z }

n @07

показать, что zn=rn[cosn'+isinn'] - (формула Муавра); или в показательной форме zn=rnein'.

Пример 72 Найти выражение для sin3 ' и cos3', пользуясь формулой Муавра.

Решение Очевидно, что (cos'+isin')3=cos3'+isin3', с другой стороны (cos'+isin')3=cos3'+3icos2'sin' 3cos'sin2' isin3'. Приравнивая вещественные и мнимые части, получим: cos3 '=cos3' 3cos'sin2',

sin3'=3cos2'sin' sin3'.

Отметим далее, что i2 = p 1 2 = 1, i3= i, i4=1. Поэтому легко

вычислить любую степень комплексной единицы. Например, i29=i28+1=(i4)7:i=i;

i35=i32:i3=(i4)8:( i)= i.

6.Деление. Деление двух комплексных чисел определяется как дей-

Пример 74 Вычислить A = (1+i)5i15

1 i .

Решение Вычислим (1+i)5. Для этого перейдем к тригонометриче-

4 (1 + i)Èòàê A = 4(1+i) i12+3 = 4i3 = 4i.

1+i

102

7. Извлечение коðня n-ой степени из комплексного числа (где p

n2N). Корень n z определяется как действие, обратное возведению в n-ую степень.

Итак, пусть дано комплексное число z, которое можно записать в три-

гонометрической форме z =r[cos('+2k )+isin('+2k )] (k=0, 1, 2,. . . ). p

По определению n z = z1 ) z1n = z. Найдем z 1. Будем искать z 1 в тригонометрической форме z 1=r1[cos'1+isin'1]. Тогда будет

r1n [cos n'1 + i sin n'1] = r [cos (' + 2k ) + i sin (' + 2k )] ) r1n = r; n'1 =

' + 2k (k=0, 1, 2,. . . ). Таким образом,

Положив k=0,1,. . . ,n 1, мы получим n различных значений корня n- ой степени из комплексного числа, аргументы которых вычисляются

В заключение заметим, что если мнимая часть комплексного числа равна нулю, т. е. Imz=0, то мы имеем z =x - вещественное число. От-

сюда нетрудно сделать вывод, что множества N, Z, Q и R являются подмножествами множества комплексных чисел C.

29 Функция

29.1 Определение функции

Рассмотрим два непустых множества X и Y (не обязательно числовых) и пусть x2X, y2Y.

Определение 67 Если в силу некоторого правила f каждому элементу x2X ставится в соответствие единственный элемент y 2Y, то говорят,

что на множестве X задана функция f и при этом пишут X f! Y .

103

В том случае, если множества X и Y являются подмножествами множества вещественных чисел, т. е. X R, Y R, то функция f называется

числовой и при этом принята такая форма записи y=f (x) или y=y(x), где

x- аргумент, y - значение функции; множество X в этом случае называют множеством определения функции, а множество соответствующих зна- чений ff (X )g - множеством значений функции. Значение функции в точке

x0 обозначается f (x0). Если 8x2X : f (x)=const, то функция f (x) называется

постоянной на множестве X и при этом пишут: f (x)=const или y=c.

29.2 Способы задания функции

Аналитический способ задания

Числовые функции могут задаваться формулами на различных промежутках или интервалах, принадлежащих множеству определения функции. Такой способ задания называется аналитическим. При этом могут встретиться такие ситуации.

1.Если функция такова, что ее удается выразить в виде y=f (x), то гово-

рят о явном аналитическом способе задания. Например, функция y=jlgjxjj определена на множестве ] 1;0[[]0;+1[ (рис. 1.2.1). Множество ее значений y=fy:0 y<+1g.

2.В том случае, если не удается явно выразить y через x, а удается только указать зависимость между функцией и аргументом в виде F (x,y)=0 или в виде '(x,y)= (x,y), то такой способ задания называется неявным аналитическим.

Например, рассмотрим функцию x y 5=0. Здесь y как функция x

связан с ним неявной аналитической зависимостью, правда, в данном случае нетрудно перейти к явному аналитическому способу задания, выразив из этого уравнения y:y=x 5. Но на практике чаще всего

встречаются функции, не допускающие такого перехода. О неявных функциях будем говорить подробнее дальше.

3.Иногда при аналитическом способе задания функции бывает удобно ввести в рассмотрение промежуточный аргумент t (так называемый параметр) и выразить x и y как функции этого промежуточного аргумента, изменяющегося на некотором числовом подмножестве T R.

Например, если материальная точка перемещается в плоскости декартовой системы координат x0y, то, взяв в качестве параметра время t, указывают закон движения в виде

Исключив параметр t, можно перейти к явному или неявному аналитическому способу задания рассматриваемой функции.

Пример 76 Нарисовать график функции, заданной параметрически:

x = t sin t;

t 2 [0; +1[ :

y = 1 cos t;

104

Решение Примем во внимание, что sint и cost 2 -периодические функ-

ции. Следовательно, после того, как параметр t, пробежав полный период, продолжает расти, значения y будут повторяться. Составим таблицу:

Теперь остается только построить кривую, которая называется циклоидой и представляет собой траекторию точки, закрепленной на катящейся окружности и находящейся в начальный момент времени t=0 в начале ко-

ординат при условии, что окружность катится по прямой линии без скольжения (рис.1.2.2).

Табличный способ

Иногда некоторому множеству значений аргумента из множества определения функции удается поставить в соответствие множество значений функции с помощью каких-либо замеров; тогда результаты этих измерений можно свести в таблицу. В этом случае говорят о табличном способе задания функции. По этой таблице можно построить график функции или попытаться представить эту функцию аналитически.

Графический способ

Функция задается в виде графика, выполненного в некоторой системе координат. Анализируя особенности этого графика, делают выводы о свойствах функции.

29.3 Классификация функций

Явные алгебраические функции - это такие функции, которые полу- чаются в результате конечного числа алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень с рациональным показателем) над аргументом x и постоянными. К явным алгебраическим

функциям относятся целая рациональная функция (алгебраический мно-

гочлен),дробнаярациональнаяфункция,т.е.

y = a0xn+a1xn 1+:::+an , 8ak, bj 2R; m,n2f0[Ng b0xm+b1xm 1+:::+bm

k=0,1,2,. . . ,n; j =0,1,. . . ,m

и иррациональная функция, т. е. явная алгебраическая функция, содер-

жащая операцию извлечения корня, например, y = 1+x

p

3 x+2 .

Трансцендентной функцией называется всякая явная аналитиче- ская функция, не являющаяся алгебраической: xa(x>0, a - иррац.), y=ax (a>0,

a6=1), y=logax (a>0, a6=1), y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

Все явные алгебраические функции, простейшие трансцендентные и, кроме того, функции, которые получаются из них с помощью четырех арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), а также с помощью операции взятия функции от функции, примененной конечное число раз, называются элементарными функциями.

Функции, которые нельзя задать в виде единого и конечного аналити- ческого выражения, называются неэлементарными. Например, функция

y = jxj =

x; x 0x; x < 0

105

не является элементарной.

29.4 Свойства рациональных функций

Основные элементарные функции и их свойства известны из курса средней школы. Рассмотрим подробнее свойства рациональных функций, которыми мы в дальнейшем будем широко пользоваться. Итак, возьмем многочлен степени n: Pn(x)=a0xn+a1xn 1+. . . +an, 8ak2R, n2f0[Ng, a0 6= 0

Теорема 14 (Теорема Безу) При делении многочлена Pn (x) (n 1) на разность x c, где c2C - произвольное число (вещественное или комплекс-

ное), получается остаток, равный значению многочлена, которое он имеет при x=c, т. е. любой многочлен может быть представлен в виде

Pn(x)=(x c)Qn 1(x)+Pn(c).

Доказательство При делении многочлена на разность x c мы полу- чаем частное Qn 1(x) - многочлен степени n 1 и остаток R, т. е.

Положим в последнем равенстве x=c, тогда получим R=Pn(c).

Следствие 4 Для того, чтобы многочлен Pn (x) делился без остатка на разность x c, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Pn (c)=0.

Теорема 15 (Основная теорема высшей алгебры) Всякий многочлен степени n 1 имеет хотя бы один корень - вещественный или комплекс-

íûé.

Доказательство (Без доказательства).

Следствие 5 Если в разложении многочлена Pn (x) с вещественными коэффициентами комплексное число a +bi является корнем кратности k, то и сопряженное комплексное число a bi является корнем той же кратности.

Объединим множители, соответствующие попарно сопряженным комплексным корням: [x (a+bi)]:[x (a bi)]=x2+px +q, где p= 2a, q=a2+b2

- вещественные числа.

Итак, всякий многочлен степени n с вещественными коэффициентами может быть представлен в виде произведения вещественных линейных и квадратичных (не разложенных на линейные вещественные) множителей

âèäà Pn (x) = a0 (x c1) k 1 (x c2) k 2 : : : (x cr) k r x2 + psx + qs l s (k1 + k2 + : : : + kr + l1 + l2

Пример 77 Многочлен x4 1 разложить на множители с вещественными коэффициентами.

Решение Многочлен x4 1 представляет собою разность квадратов, следовательноx4 1=(x2 1)(x2+1). Всвоюочередь x2 1=(x 1)(x+1). Оконча- тельно имеем: x4 1=(x 1)(x+1)(x2+1).

106

Пример 78 Многочлен x4 x3 x+1 разложить на множители с вещественными коэффициентами.

Решение Очевидно, что

x4 x3 x+1=x3(x 1) (x 1)=(x 1)(x3 1)=(x 1)2(x2+x+1).

Пример 79 Многочлен x5 5x4+12x3 24x2+32x 16 разложить на множители с вещественными коэффициентами.

Решение Нетрудно заметить, что при x=1 данный многочлен обращается в ноль. Следовательно, он делится на разность x 1. Выполним это деление:

Таким образом,

x5 5x4+12x3 24x2+32x 16=(x 1)(x4 4x3+8x2 16x+16).

Далее, обратим внимание, что многочлен x4 4x3+8x2 16x+16 обращается в ноль при x=2, следовательно, он делится на разность x 2:

4x2-16x

4x2-8x

-8x+16

-8x+16

0

В свою очередь получившийся многочлен x3 2x2+4x 8 также делится на x 2, т. е. x=2 является корнем кратности 2 для исходного многочлена. Действительно:

4x 8

0

Окончательно имеем:

x5 5x4+12x3 24x2+32x 16=(x 1)(x 2)2(x2+4).

107

30 Предел функции. Единственность предела

30.1 Определение предела функции

Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки x02R,

т.е. x0 - некоторое конечное число. Нас будет интересовать вопрос, как ведет себя функция по мере приближения x к точке x0.

Определение 68 (Определение предела функции по Коши) Говорят, что число A является пределом функции y =f(x) в точке x0, если для лю-

бого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , зависящее от , что для всех x из области определения функции, удовлетворяющих условию jx x0j< , (x6=x0), выполняется неравенство jf(x) Aj< .

При этом пишут: lim f (x) = A или f (x) ! A.

Замечание 11 Заметим, что -окрестность точки x0 U (x0, ), из которой удалена точка x0, называется проколотой - окрестностью точки x0;

Тогда с помощью логических символов сформулированное определение можно записать так:

В том случае, когда A=+1, x0 - конечное число, определение предела функции y=f (x) в точке x0 можно записать следующим образом.

Определение 69 Говорят, что +1 является пределом функции y =f(x) в точке x0, если (8 >0) (9 = ( )), что для всех x, удовлетворяющих условию jx x0j< , (x6=x0) выполняется неравенство f (x) > 1" .

При этом пишут: lim f (x) = +1.

x!x0

Или с помощью логических символов:

Если теперь рассмотреть случай, когда A - конечное число, x0=+1, то определение предела функции y=f (x) в точке x0 выглядит так:

Определение 70 Говорят, что число A является пределом функции y=f(x) в точке x0=+1, если 8 >0 9 = ( )>0, что для всех x, удовлетво-

ряющих условию x > jf(x) Aj< .

При этом пишут:

x!+1

Очевидно, что аналогичные определения можно сформулировать, если A - конечное число, x0= 1, x0=+1 или x0=1; или x0 - конечное число,

A= 1 èëè A=+1.

108

Отметим, что если A - конечное число, то предел lim f (x) = A называ-

x!x0

ется конечным; если же A=+1, A= 1 или A=1, то предел называется

бесконечным или несобственным.

В заключение отметим, что из определения предела следует: lim x = x0,

x!x0

а также lim f (x) = c, если f (x)=c, где c=const.

x!x0

30.2 Односторонние пределы функции

Пусть функция y=f (x) определена в некоторой окрестности точки x02R, т.

е. x0конечное вещественное число. Наложим ограничения на способ приближения аргумента функции x к точке x0, а именно: будем рассматривать случаи, когда x приближается к x0, оставаясь больше x0, т. е. x>x0, тогда

говорят, что x приближается к точке x0 справа; если x приближается к x0, оставаясь меньше x0, т. е. x<x0, то говорят, что x приближается к x0 слева.

Определение 71 (правостороннего предела) Говорят, что число A является правосторонним пределом функции y=f(x) в точке x02R, если

(8 >0) (9 = ( )>0), что для всех x, удовлетворяющих условию x0 <x<x0+ , выполняется неравенство jf(x) Aj< .

Правосторонний предел обозначается так: f (x0+0), или f (x0+ ), или

Определение 72 (левостороннего предела)

èëè lim f (x).

x!x0 0

Можно доказать, что если в точке x02R у функции y=f (x) существует

конечный предел, то в этой же точке существуют и равные между собою односторонние пределы этой функции и наоборот,т.е.

A = lim f (x) , (f (x0 0) = f (x0 + 0) = A) :

x!x0

30.3 Единственность конечного предела

Выше мы рассмотрели различные определения предела функции. Возникает вопрос: всегда ли существует предел у данной функции y=f (x), а если

существует, то единственный ли он?

Теорема 16 (О единственности конечного предела) Если в точке x02R

данная функция y=f(x) имеет конечный предел, то он единственный.

109

означает, что 8 >0:

Очевидно, что утверждения (80) и (81) тем более будут иметь место, если заменить в них 1 и 2 на = inf f 1, 2g, а тогда оказывается, что

jf (x) A1j + jf (x) A2j < ":

Ñдругой стороны, число выбирается произвольно и мы можем взять его, удовлетворяющим неравенствам 0 < <jA1 A2j. Полученное противоре-

чие и доказывает теорему.

31 Существование предела.Первый замечатель-

ный предел lim sin x = 1

x!0 x

31.1Достаточный признак существования конечного предела

o

Теорема 17 Если функции '(x), (x) и f(x) определены в U (x0; ), причем

Утверждения (80) и (81) тем более будут иметь место, если заменить в

них 1 и 2 на =inff 1, 2g. Тогда A <'(x) f (x) (x)<A+ ) A <f (x)<A+ ,

а это и означает, что lim f (x) = A.

x!x0

31.2 Первый замечательный предел lim sin x = 1

x!0 x

Допустим, что x - некоторый острый угол (рис. 1.4.1).

Из рисунка ясно, что S OAB<Sсект.OAB<S OAC, т.е.

110