Лекции по вышмату за 1 курс

Верн¼мся теперь обратно к системе, записанной в привычном виде:

Теперь следует применить восходящий ход алгоритма Гаусса и выписать решение: z = 1 ) z = 1, подставим z = 1 во второе уравнение, тогда

получим y = 0; и, наконец, подставим y = 0 и z = 1 в первое уравнение, получим x = 0 1 + 2 = 1. В результате имеем решение данной системы: x = 1; y = 0; z = 1:

Вывод: система несовместима.

Из приведенных рассуждений с очевидностью вытекает теорема.

Теорема 11 (Кронекера-Капелли) Для того, чтобы линейная систе-

;

была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы Ap этой системы был равен рангу матрицы е¼ коэффициентов A, т.е. r(A) = r(Ap).

Доказательство (без доказательства)

81

24Однородные системы линейных алгебраи- ческих уравнений. Фундаментальная система решений

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений

>

>

<

:::

>

>

: am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = 0

или в матричной форме A X = 0, где 0 - нулевой столбец.

Свойства однородной системы

1.Однородная система совместна, поскольку всегда имеет нулевое (тривиальное) решение.

2.Пусть

- два решения однородной системы (39). Линейная комбинация этих решений X + Y , где ; 2 <, также является решением системы.

Более того, линейная комбинация любого конечного числа решений однородной системы (39) также является решением этой системы.

3.Если система (39) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Определение 47 Совокупность решений X1; X2; :::; Xk однородной систе- мы (39) называется фундаментальной системой решений, если

1.X1; X2; :::; Xk - линейно независимы,

2.любое решение системы X представимо в виде линейной комбинации X1; X2; :::; Xk, ò.å. 9c1; c2; :::; ck 2 < не все равные нулю, такие, что

X = c1X1 + c2X2 + ::: + ckXk:

Определение 48 Решение системы (39) вида X = c1E1 + c2E2 + ::: + ckEk, ãäå E1; E2; :::; Ek - фундаментальная система решений; c1; c2; :::; ck - ïðî-

извольные действительные постоянные, представляющее всевозможные решения системы (39) называют общим решением однородной системы.

Теорема 12 (о фундаментальной системе решений) Если ранг r матрицы A однородной системы (39) меньше числа неизвестных n, то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n r решений.

82

Доказательство Доказательство этой теоремы да¼т способ отыскания фундаментальной системы решений.

Рассмотрим матрицу A системы (39)

Как и прежде, не умоляя общности, предположим, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы A. Тогда, по теореме о базис-

ном миноре строки с номерами от r + 1 до m представимы в виде линейных

комбинаций базисных строк. Значит, пользуясь свойствами сложения строк матриц и умножения строк на число, мы можем получить матрицу, у которой строки с номерами, большими r, нулевые. Следовательно, их можно

отбросить. Соответствующая ей однородная система эквивалентна исходной, но имеет r уравнений. Запишем е¼ в следующем виде:

<

>

>

: am1x1 + am2x2 + ::: + arrxr = ar;r+1xr+1 ::: arnxn

Неизвестные x1; x2; :::; xr назов¼м базисными, а остальные n r неиз- вестных xr+1; xr+2; :::; xn - свободными.

Если свободным неизвестным придать какие-либо фиксированные зна-

чения, то из системы (41) базисные неизвестные можно найти единственным образом, поскольку A , матрица системы (41), квадратная и е¼ элементы

образуют базисный минор (det A 6= 0).

Придадим свободным неизвестным следующие наборы значений:

В каждом i-ом наборе все элементы, кроме одного, равны 0, а отличный от нуля (единица), стоит на i-ом месте. Всего таких наборов n r. Подставим поочер¼дно эти наборы значений переменных xr+1; :::; xn в систему (41), решим е¼ относительно x1; x2; :::; xr и получим следующие решения:

83

Теперь объединим соответствующие решения и получим такую совокупность решений системы (41), а значит и (39):

Покажем, что эта система решений будет фундаментальной. Для этого надо проверить два условия из определения.

1.Проверим линейную независимость столбцов X1; X2; :::; Xn r. Рассмот- рим матрицу, составленную из столбцов X1; :::; Xn r

BC

BC

B 1 0 : : : 0 C

BC

B 0 1 : : : 0 C

BC

@ : : : : : : : : : : : : A

00 : : : 1

Минор порядка n r, образованный последними n r строками, отличен от нуля. Следовательно, ранг данной матрицы равен n r, и по теореме о базисном миноре все столбцы линейно независимы, что

и означает линейную независимость решений X1; X2; :::; Xn r:

2.Возьм¼м произвольное решение однородной системы (39)

0 1

x1

Bx2 C

X = B . C

B.. C @ A

xn

Рассмотрим одностолбцовую матрицу Y :

По свойствам однородных систем Y - решение системы (39). Выполнив

все действия в правой части равенства (42), получим Y = (y1; y2; :::; yr; 0; 0; :::; 0)T .

Кроме того, Y является решением системы (41), которая равносильна

системе (39). Нулевому значению свободных неизвестных соответствует (единственное) нулевое решение системы (41). Значит, Y = 0. Под-

ставив это значение в равенство (42), получим X = xr+1X1 +xr+2X2 +

:::+xnXn r, то есть произвольное решение X однородной системы (39) является линейной комбинацией решений X1; X2; :::; Xn r:

84

И так очевидно, что X1; X2; :::; Xn r образуют фундаментальную систему решений.

Следствие 3 Однородная система (39), у которой число неизвестных n совпадает с числом уравнений m, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы det A = 0.

25Неоднородные системы линейных алгебра- ических уравнений

Рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений представив е¼ в матричной форме

Соответствующей ей однородной системой будем называть систе-

ìó

где 0 - нулевой столбец.

25.1Некоторые свойства решений неоднородной системы и их связь с решением соответствующей однородной системы

1.Если Y является решением неоднородной системы, а X - решением однородной системы, то Z = Y + X - решение неоднородной системы линейных уравнений

Доказательство Из условия имеем A Y = B и A X = 0.

Тогда Z = Y + X является решением неоднородной системы.

2.Если Y и Z - решения неоднородной системы, то столбец X = Y Z

является решением соответствующей однородной системы. Доказывается аналогично свойству 1.

3.Любое решение Z неоднородной системы представимо в виде суммы Z = Y + X, где столбец Y - частное решение неоднородной системы, а столбец X - решение однородной системы, соответствующей системе (43).

4.Пусть X1; X2; :::; Xn r фундаментальная система решений однородной системы (44), а Y - частное решение неоднородной системы. Тогда вс¼ множество решений неоднородной системы представимо в виде

85

где r - ранг матрицы системы; c1; c2; :::; cn r - произвольные постоян-

ные. При этом выражение (45) называют общим решением системы.

Доказательство По свойству 3 всякое решение неоднородной системы представимо в виде Z = Y + X, а любое решение однородной си-

стемы в виде X = c1X1 +:::+cn rXn r по теореме о фундаментальной системе решений.

Пример 56 Решить однородную систему

9 x1 + 2x2 + x3 = 0 =

2x1 + x2 3x3 = 0 3x1 + 3x2 2x3 = 0 ;

Решение Однородная система всегда совместна и имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы A этой

системы равен числу неизвестных. Вычислим ранг матрицы A, совершая линейные преобразования над строчками

Очевидно, что rgA = 2, т.е. ранг матрицы меньше числа неизвестных и

значит система имеет бесконечное множество решений. Исходная система эквивалентна такой:

Полагая x3 = c (c - любое действительное число) получим общее решение

>

>

>

;

86

Решение Обозначим через A и Ar соответственно основную и расши-

Сначала надо определить, имеет ли эта система решения и сколько. Для этого привед¼м расширенную матрицу Ar и трапециевидной форме, совер-

шая элементарные преобразования над строками

т.е. ранги матриц A и Ar совпадают и меньше числа неизвестных. Значит

система совместна и имеет бесчисленное множество решений.

Решение неоднородной системы в этом случае может быть получено как сумма общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо частного решения неоднородной.

Чтобы найти решения однородной системы, запишем эквивалентную си-

стему с матрицей ~

A :

9 x1 2x2 + x3 3x4 + x5 = 0 =

x2 + 2x4 = 04x3 3x4 3x5 = 0 ;

Пример 58 Найти фундаментальную систему решений и общее решение

Фундаментальную систему получим, если положить сначала x3 = 1; x4 = 0, а потом x3 = 0; x4 = 1.

87

x3. Чтобы найти фундаментальную систему, надо перебрать всевозможные наборы свободных переменных x4 è x5 также, что в каждом наборе одна переменная равна 1, а остальные 0.

Âçÿâ x4 = 1; x5 = 0 из системы

9 x1 2x2 + x3 = 3 =

x2 = 24x3 = 3 ;

получим x3 = 3=4; x2 = 2; x1 = 1=4:

Аналогично, взяв x4 = 0; x5 = 1, получим x3 = 3=4; x2 = 0; x1 = 1=4:

88

То есть получим фундаментальную систему

X1 = 1=4 2 3=4 1 0 T ; X2 = 1=4 0 3=4 0 1 T :

Общее решение однородной системы имеет вид

Y = c1X1 + c2X2;

ãäå c1 è c2 - произвольные числа.

Теперь найд¼м какое-либо решение неоднородной системы. Система, соответствующая матрице Ar, имеет вид

нулю. Тогда x3 = 17; x2 = 14; x1 = 11, т.е. получили частное решение z =

x4 = c1 x5 = c2

ãäå c1 è c2 - произвольные числа.

26Альтернатива Фредгольма для линейных систем

;

89

В матричном виде эти системы запишутся соответственно так:

A X = Bè AT Y = 0;

т.е. матрица коэффициентов в системе (47) получается транспонированием матрицы коэффициентов системы (46).

Важную связь между множествами решений этих систем устанавливает так называемая альтернатива Фредгольма. (Альтернатива - это ситуация, когда имеет место одно из двух утверждений. Альтернативами также называют и сами эти утверждения, от латинского alter - другой, один из двух).

Теорема 13 (Альтернативы Фредгольма) Для всяких систем A X =

B è AT Y = 0 справедливо одно из двух утверждений:

1.Система A X = B имеет решение при любом B тогда и только тогда, когда система AT Y = 0 имеет только тривиальное (нулевое) решение Y = 0:

2.Система A X = B при некотором B несовместна и тогда система AT Y = 0 имеет нетривиальное (ненулевое) решение.

Доказательство

1.Пусть система (46), т.е. A X = B, имеет решение при любом B (любом наборе b1; :::; bm). В этом случае rgA = m, так как иначе при некотором B rgA оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система

(46) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера-Капелли. Так как rgAT = rgA, то в этих условиях rgAT = m, то есть равен числу

неизвестных в системе (47) и эта система имеет только нулевое (тривиальное) решение.

2.Пусть теперь система A X = B при некотором B несовместна. Следовательно rgA < m, значит и rgAT < m, т.е. ранг матрицы системы

(47) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое (нетривиальное) решение.

Замечание 9 Альтернативу Фредгольма можно сформулировать и для линейных операторов.

Пример 59 Дана система

матрицы ранг окажется равным 2. Согласно теореме Кронекера-Капелли

система x + 2y + 3z = 1

2x + 4y + 6z = 0

90