Лекции по вышмату за 1 курс

12R2 sin x < 12R2x < 12R2tgx ) sin x < x < tgx:

Мы предположили, что x острый угол, значит sinx>0, а тогда имеем

31.3 Существование предела у монотонных функций

Остановимся еще на одном признаке существования предела у так называемых монотонных функций. Предварительно дадим следующие важные определения.

Определение 73 1. Функция y=f(x) называется ограниченной сни-

зу на множестве X, если существует такое число m 2R, что 8x2X:f(x) m.

2.Функция y=f(x) называется ограниченной сверху на множестве X, если существует такое число M 2R, что 8x2X:f(x) M.

3.Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве X, если существует m,M2R, что 8x2X:m f(x) M.

Определение 74 Функция y=f(x) называется неубывающей на промежутке X (конечном или бесконечном), если для любых x1 2X и x22X справедливо соотношение (x2>x1))f(x2) f(x1).

Если (x2>x1) ) f(x2)>f(x1), то функция f(x) называется строго возрастающей.

Определение 75 Функция y=f(x) называется невозрастающей на промежутке X (конечном или бесконечном), если для любых x1 2X и x22X справедливо соотношение (x2>x1) ) f(x2) f(x1).

Если (x2>x1) ) f(x2)<f(x1), то f(x) называется строго убывающей.

Функции невозрастающие, строго убывающие, неубывающие и строго возрастающие называются монотонными на промежутке X.

111

o

Теорема 18 Если функция y=f(x) монотонна и ограничена в U (x0; ), где x02R, то тогда существуют конечные левосторонний и правосторонний

пределы функции y=f(x) в точке x0.

Доказательство (Без доказательства).

Теорема 19 Если функция y=f(x) не убывает (не возрастает) на беско-

нечном промежутке X и ограничена сверху (снизу), то она имеет конеч- ный предел.

Доказательство (Без доказательства).

32Предел последовательности. Второй заме- чательный предел lim 1 + n1 n = e. Íàòó-!1

n

ральные логарифмы

32.1 Предел последовательности

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность a1,a2,a3,. . . ,an,....

Например, это может быть арифметическая или геометрическая прогрессия. Последовательность считается заданной, если указано правило, по которому вычисляется значение его общего члена an по его порядковому но-

меру n. Нетрудно, например, построить последовательность с таким общим

f( 1)ng= 1,1, 1,. . . ,( 1)n,. . . ;

Очевидно, что на an можно смотреть как на функцию его порядкового номера, т. е. an=f (n). Иногда an называют вариантой или просто после-

довательностью. При возрастании номера n варианта an может иметь вполне конкретные особенности. Дадим определение предела последовательности an при n!+1.

Определение 76 Говорят, что число A является пределом последовательности (варианты) an, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такой номер N =N( ), что для всех n,

для которых имеет место неравенство n >N( ), следует jA anj< .

112

При этом пишут lim an = A èëè an ! A.

n!1 n!1

Поскольку последовательность (варианта) является частным случаем функции, то достаточно очевидно, что для предела последовательности имеют место основные теоремы, справедливые для предела функции.

32.2 Замечательный предел lim 1 + 1 n = e. Натураль-

ные логарифмы

n!1 n

Итак, мы доказали, что последовательность Un монотонно возрастает и ограничена сверху, т. е. Un<Un+1 и Un<3. Нетрудно заметить, что

Этот предел называется вторым замечательным пределом, а число e является во многих отношениях замечательным числом.

113

Число e положено в основание логарифмов, которые называются натуральными логарифмами и обозначаются так: log eN =lnN.

ßñíî, ÷òî åñëè lnN =m, òî em = N ) m lg e = lg N ) ln N = lg1e lg N.

1

lg e называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным логарифмам, его можно вычислить по таблицам: 1

lg e

0xyy = ln xy = ex0xyy = ln xy = exВ курсе математики часто чается функция y=ex, которая называется экспонентой и иногда обозна- чается y=expx, а также функция y=lnx. Эти функции взаимно обратны,

возрастают и графики их симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатного угла. Приведем их графики (рис. 1.5.1).

33Бесконечно малые и бесконечно большие функции

114

Теорема доказана.

Замечание 12 Очевидно, что если бы удалось определить бесконечно малую функцию, не используя понятия "предел то определение предела функции было бы можно дать по-другому (см. ниже).

Определение 79 Пределом функции y=f(x) в точке x02R называется такое постоянное число A, разность между которым и функцией y =f(x) есть бесконечно малая функция.

Бесконечно малые функции играют существенную роль в математиче- ском анализе, и в дальнейшем при доказательстве различных теорем мы

будем переходить от рассмотрения предела функции lim f (x) = A к рас-

x!x0

смотрению бесконечно малой функции в точке x0 '(x)=f (x) A. Очевидно, что в силу доказанной выше теоремы такой переход закономерен.

Теорема 22 Если функция f(x) ограничена в окрестности точки x0, а функция '(x) - бесконечно малая в точке x0, то их произведение f (x):'(x) есть функция бесконечно малая в этой точке.

Доказательство Функция f (x) ограничена в окрестности точки x0, значит, существует такое число K >0, что 8x 2 U (x0; ) : j f (x) j < K; функция '(x) бесконечно малая в точке x0, значит существует число >0 такое, что

Тогда оказывается:

o

(8" > 0) (9 = (")) 8x 2 U (x0; ) : j f (x) ' (x) j < ";

а это и означает, что f (x):'(x) есть бесконечно малая функция в точке

x0.

Следствие 6 Произведение постоянной c на бесконечно малую функцию '(x) c:'(x) в точке x0 есть бесконечно малая функция.

Следствие 7 Произведение двух бесконечно малых функций в точке x0 '1(x):'2(x) есть бесконечно малая функция в этой точке.

Действительно, поскольку '1(x) - бесконечно малая в точке x0, то

произведение функций '1(x):'2(x) можно смотреть как на произведение бесконечно малой и ограниченной функции.

Теорема 23 Если функция f(x) в точке x0 имеет конечный предел, отличный от нуля, а функция g (x) - бесконечно большая в этой точке, то их произведение f(x):g(x) есть функция, бесконечно большая в точке x0.

Доказательство (Без доказательства).

115

34 Теоремы о конечных пределах

Теорема 24 (Ограниченность функции, имеющей конечный предел)

Если в точке x0ОR функция f(x) имеет конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности Щ(x0, d) функция f(x) ограничена.

Доказательство По условию теоремы, в точке x0 функция f(x) имеет конечный предел. Это означает ( e > 0) ( d = d(e)) ("xЩ(x0; d)) : f(x)

A < e , A e<f(x)<A + e, т.е. функция y=f(x) ограничена в проколотой окрестности точки x0.

Теорема 25 Если в окрестности точки x0 имеет место неравенство '(x)? (x)

Доказательство (Без доказательства).

Если в точке x0 2 R функции f 1(x) и f 2(x) имеют конечные пределы

Доказательство Докажем теорему для случая, когда x0 ОR, т.е. явля-

Возьмем =inf{ 1, 2}, тогда оба утверждения (80) и (81) останутся в

силе, а тогда, приняв во внимание, что неравенства, имеющие одинаковый знак, можно почленно складывать, получим

(e > 0)( d = d(e))("xÙ(x0; d)) : (A + B) e < f1(x) + f2(x) < (A + B) + e,

Доказательство Достаточно положить f2(x) = f2 (x) и доказательство сведется к доказательству предыдущей теоремы.

116

Теорема 29

Доказательство (Без доказательства).

Пример 80 Вычислить lim x :

x!x0 x 1

Решение Заметим, что в точке x=0 данное выражение принимает зна-

чение равное 0. При x=0 здесь нет неопределенности, таким образом, lim

x!x0

0:

Пример 81 Вычислить lim x :

x!1 x 1

Решение Примем во внимание связь между бесконечно малой и беско-

нечно большой функцией. Очевидно, что lim x = 1:

x!1 x 1

Пример 82 Вычислить lim x3 1 :

x!1 x2 1

Решение Очевидно, что мы имеем неопределенность 0

0 . Разложим чис-

литель и знаменатель на множители: