Лекции по вышмату за 1 курс

61 Линейность

Неопределенный интеграл обладает свойством линейности, то есть выполняются два условия

R R R

1. (f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx

RR

2.Cf (x) dx = C f (x) dx; где С - постоянная.

Доказательство Для доказательства этих равенств воспользуемся определением неопределенного интеграла равенством 68

Пример 157 Вычислить R xx22 dx:

Решение Используя свойство дроби, Разделим числитель на знаменатель почленно и используем линейность интеграла:

Далее, пользуясь табличными интегралами 2 и 1, вычисляем каждый из двух последних интегралов:

Отсюда, R xx22 dx = ln jxj x1 + C:

Замечание 23 Если интеграл преобразуется в сумму нескольких интегралов, то в ответе пишут одну общую константу С.

Пример 158 Вычислить R 3x2 dx:

x2 9

Решение Преобразуя подынтегральное выражение в сумму, и используя свойство линейности интеграла, получим сумму двух табличных интегралов:

Пример 159 Найти интеграл R tg2 xdx:

Решение Вспомним одно из следствий из основного тригонометриче-

191

62 Замена переменной

Теорема 68 Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке [a; b] и функция ' (t) непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке [ ; ], причем для всякого значения t 2 [ ; ] выполняется неравенство a ' (t) b. Тогда будет справедлива формула

ãäå x = ' (t).

Формулу 69 называют формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Доказательство Так как функция F (x) является первообразной для

R

функции f (x), то будет верным равенство f (x) dx = F (x) + C

При данных предположениях существует сложная функция F (' (t)). Так как F 0 (x) = f (x), то по правилу дифференцирования сложной функции получим

dF (' (t)) = F 0 (' (t)) '0 (t) = f (' (t)) '0 (t) ; dt

откуда

Z

f (' (t)) '0 (t) dt = F (' (t)) + C = F (x) + C;

åñëè x = ' (t).

Замечание 24 Поменяв местами буквы x и t, в формуле 69, получим ра-

где t = ' (x), которое является разновидностью формулы 69.

Замечание 25 Формулы 69 и 70 допускают обобщение в следующем виде: если две переменные x и t связаны соотношением ' (x) = (t), где функции

' (x) и (t) заданы на некоторых промежутках x 2 [a; b] и t 2 [ ; ], таких что равенство ' (x) = (t) задает соответствие между этими проме-

жутками и непрерывные и непрерывно дифференцируемые на указанных промежутках, то имеет место формула

63Подведение функции под знак дифференциала

Формулу 70 можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом:

ZZ

f ('(x)) '0 (x) dx = f ('(x)) d' (x):

192

Тогда, если F (t) - первообразная функции f (t), то

Z

f (' (x)) d' (x) = F (' (x)) + C:

Пример 160 Найти интеграл I = R sincos2xx dx.

Решение Заметим, что cos x = (sin x)0, поэтому cos xdx = d (sin x) : То-

R

Пример 163 Найти интеграл I = sin 3xdx:

Решение Очевидно, что dx = 13 d (3x), поэтому I = 13 R sin 3x d (3x) =

13 cos 3x + C:

Пример 164 Найти интеграл I = R x5p3 x6dx:

Решение Очевидно, что x5dx = 16 dx6, но гораздо удобнее подвести под знак дифференциала все подкоренное выражение. Это можно сделать, так как dx6 = d 3 x6 . Тогда

193

Решение Запишем подынтегральную функцию в виде

64 Введение новой переменной интегрирования

формулу, нужно сделать замену переменной в подынтегральной функции

Воспользуемся формулой 71.

Сделаем замену переменной по формуле 1 + x2 = t2; t > 0: p

Тогда 1 + x2 = t. Для того, чтобы выразить dx через dt, продифференцируем равенство 1 + x2 = t2:

d 1 + x2 = d t2 ) 2xdx = 2tdt ) xdx = tdt ) dx = tdtx :

194

Замечание 26 Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Значительно чаще приходится применять формулу 70, то есть замену в виде t = ' (x) :

R p

Пример 168 Найдем интеграл I = x 1 + x2dx:

Решение Сделаем замену переменной t = 1 + x2. Дифференцируя обе части последнего равенства, получим dt = 2xdx, откуда dx = подынтегральное выражение будет равно

Возвращаясь к старой переменной, получим I = 13 1 + x2 3=2 + C:

Замечание 27 Можно было бы сделать замену 1 + x2 = t2 по формуле 71

R

Пример 169 Найти интеграл I = tg x dx:

Решение Обозначим t = cos x. Тогда dt = sin xdx и dx = sindtx . Èñêî- мый интеграл будет равен

65Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Запишем формулу дифференцирования произведения двух функций: d (uv) = udv + vdu, откуда следует, что функция uv является первообразной для

195

udv = uv vdu:

Эта последняя формула называется формулой интегрирования по ча- стям.

Пример 171 Найти интеграл R xexdx:

Решение Возьмем u = xdv = exdx и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить du и v: du = (x)0 dx = dx

è v = R exdx = ex. Тогда R xexdx = xex R exdx = xex ex + C.

Замечание 28 При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную C писать не надо: в примере было v = R exdx = ex:

Замечание 29 Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла

имеется трансцендентная функция, такая как sin x, cos x, ln x, arcsin x и

т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраиче- ской (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принима-

òàê êàê (ln x)0 = 1 дифференцирования получается дробь. Если же трансцендентность после дифференцирования не исчезает,

то эту функцию включают в состав dv, например, в предыдущем примере

196

Решение В трехчлене, стоящем в знаменателе, выделим полный квад-

ðàò:

x2 4x + 5 = x2 4x + 4 + 1 = (x 2)2 + 1

и сделаем подстановку x 2 = t или x = t + 2. Тогда

сделаем подстановку x + 52 = t и получим