Лекции по вышмату за 1 курс

Если в качестве векторной функции взять некоторую переменную си-

торую совершает эта сила по перемещению материальной точки из точки A (x ( ) ; y ( ) ; z ( )) в точку B (x ( ) ; y ( ) ; z ( )) по заданной кривой l:

87Правило вычисления криволинейных интегралов второго рода и их свойства

1.При заданных условиях на кривую и векторную функцию криволинейный интеграл второго рода существует (без доказательства).

Очевидно, что, если каждая из сумм nx; ny; nz имеет предел в выше- указанном смысле, то существует предел общей интегральной суммы и, если обозначить

Ix = lim nx;

n!0

Iy = lim ny;

n!0

Iz = lim nz ;

n!0

òî I = Ix + Iy + Iz:

Числа Ix; Iy; Iz будем называть криволинейными интегралами второго рода от функций, соответственно, P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z) по кривой l:

271

Таким образом, криволинейный интеграл второго рода общего вида можно разбить на три слагаемых

x (ti) ti:

а эта последняя сумма является интегральной суммой для определенного интеграла

Z

P (x (t) ; y (t) ; z (t)) x0 (t) dt:

Таким образом,

ZZ

Rl Q (x; y; z) dy = R Q (x (t) ; y (t) ; z (t)) y0 (t) dt è Rl R (x; y; z) dz = R R (x (t) ; y (t) ; z (t)) z0 (t) dt:

Формула для интеграла общего вида будет выглядеть следующим образом

Z

P (x; y; z) dx + Q (x; y; z) dy + R (x; y; z) dz =

l

=(P (x (t) ; y (t) ; z (t)) x0 (t) + Q (x (t) ; y (t) ; z (t)) y0 (t) + R (x (t) ; y (t) ; z (t)) z0 (t)) dt

(87)

Замечание 43 Если кривая лежит в плоскости ОХУ, то она может быть задана уравнением y = f (x) ; x 2 [a; b]. Тогда в качестве

параметра можно взять переменную и параметрические уравнения

272

кривой будут x = t; y = f (t) ; t 2 [a; b]. В этом случае формула (86) для вычисления интеграла будет иметь вид

la

Формула для вычисления интеграла общего вида будет

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = (P (x; f (x)) + Q (x; f (x)) f0 (x)) dx

(89)

3. Криволинейный интеграл второго рода обладает свойством линейно-

ñòè, ò.å.

Z

~

C1 ~a (x; y; z) + C2 b (x; y; z) d~r:

l

4. Криволинейный интеграл второго рода аддитивен относительно кривой интегрирования, т.е.

Z Z Z

~a (x; y; z)d~r = ~a (x; y; z)d~r + ~a (x; y; z)d~r;

l l1 l2

если кривая l разбита на две непересекающиеся части l1 è l2:

5. Криволинейный интеграл второго рода зависит от направления на кривой. При изменении направления величина интеграла меняет знак,

Решение Для вычисления воспользуемся формулой (89). Для этого подставим туда y = x2 и заметим, что при движении по кривой переменная

ление обхода - против часовой стрелки.

Решение

Запишем уравнения окружности в параметрической форме:

x 1 = cos t

y 1 = sin t

273

èëè x = 1 + cos t; y = 1 + sin t.

274

Также вычисляются интегралы по кривым l2 è l3, причем значения этих интегралов такие же как и вычисленный интеграл по кривой l1. Поэтому

Z

y2 z2 dx + z2 x2 dy + x2 y2 dz = 4:

l

88Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Теорема 86 Пусть l - кусочно-гладкая кривая и ~a = ~a(x; y; z) = (P (x; y; z) ; Q (x; y; z) ; R (x; y; z))

- векторная функция, заданная в некоторой области, содержащей кривую l и непрерывная на этой кривой. Обозначим через ~ единичный вектор ка-

сательной к кривой l, причем направление ~ соответствует направлению движения по кривой. Тогда имеет место равенство:

Тогда в точках кривой l будет

P (x (t) ; y (t) ; z (t)) x0 (t) + Q (x (t) ; y (t) ; z (t)) y0 (t) + R (x (t) ; y (t) ; z (t)) z0 (t) q =

(x0 (t))2 + (y0 (t))2 + (z0 (t))2

P(M (t)) dx + Q (M (t)) dy + R (M (t)) dz

=q

(x0 (t))2 + (y0 (t))2 + (z0 (t))2

è

275

Замечание 45 Если интегрирование ведется по кривой, лежащей в плоскости ОХУ, то формула (90) примет вид

Z Z

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = (P (x; y) cos + Q (x; y) sin ) ds;

где - угол между касательным вектором и осью ОХ.

кривой с осями ОХ и ОУ.

Решение Если нормаль к кривой интегрирования составляет с координатными осями углы и , то будет выполнено одно из двух равенств: либо

+ = 2 , ëèáî = 2 . В том и другом случае будет верно соотношение cos = sin , т.е. координаты орта нормали будут (cos ; sin ) :

Тогда угол между одним из касательных векторов и осью ОХ будет

Запишем подынтегральную функцию как скалярное произведение некоторого вектора на орт касательной:

x cos + y cos = x cos + y sin = ( y) ( sin ) + x cos :

Тогда по формуле (90) получим

Z Z

(x cos + y cos ) ds = ydx + xdy:

l l

Если взять касательный вектор, направленный в противоположную сто-

ðîíó, òî

Z Z

(x cos + y cos ) ds = ydx xdy:

l l

276

89 Теорема Грина и ее следствия

Определение 141 Область будем называть односвязной, если для

любого простого контура, лежащего в этой области, та часть плоско- ñòè 1, которая лежит внутри этого контура, целиком содержится в области , т.е. 1 :

Теорема 87 Пусть дана область односвязная и элементарная, как от-

носительно оси ОХ, так и относительно оси ОУ, и простой кусочногладкий контур - граница этой области. Тогда ее можно записать в

âèäå

= f(x; y) =a x b; g1 (x) y h1 (x)g

èëè â âèäå

= f(x; y) =c y d; g2 (y) x h2 (y)g ;

где функции g1 (x) ; h1 (x) ; g2 (y) ; h2 (y) непрерывные и кусочно-непрерывно

где обход по контуру совершается так, чтобы область оставалась сле-

âà.

Формула (91) называется формулой Грина.

Доказательство Разобьем двойной интеграл в правой части формулы (91) на два слагаемых и каждое слагаемое превратим в повторный интеграл

Таким образом, сформулированная теорема доказана.

Замечание 46 Если область не элементарна, но может быть разбита

на несколько элементарных областей, то формула остается верна. Например, пусть область разбита на три элементарных части.

(рис) Тогда

277

R

Замечание 47 Формулу Грина можно применять и тогда, когда область не является односвязной, но может быть разбита не несколько односвязных областей. Например, пусть область , ограниченная кривыми и

разбита на две односвязные области 1 è 2. Тогда

где контуры и обходятся так, чтобы область оставалась слева.

Следствие 10 Положим P (x; y) = y; Q (x; y) = x. Тогда формула Грина

RRR

Следствие 11 Если функции P (x; y) и Q (x; y) удовлетворяют условиям теоремы Грина и область односвязна, то для того, чтобы выполня-

R

лось равенство l P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где l произвольный простой,

кусочно-гладкий контур, лежащий в области, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие @P@y = @Q@x .

Доказательство Напишем формулу Грина для произвольного просто-

где D - область, ограниченная контуром l:

Тогда, достаточность следует из этой формулы очевидно.

278

Докажем необходимость, то есть докажем, что, если интеграл по про-

извольному простому, кусочно-гладкому контуру равен нулю, то в каждой точке области выполняется условие @P@y = @Q@x . Доказательство проведем

от противного. Предположим, что найдется точка в области , в которой

что противоречит условию.

Пример 252 Вычислить криволинейный интеграл второго рода, применяя формулу Грина

Z

xy2dy x2ydx; l : x2 + y2 = a2:

l

Решение По формуле Грина

ZZZ

xy2dy x2ydx = y2 + x2 dxdy;

l

D

где D - область , ограниченная окружностью x2 + y2 = a2:

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

x = r cos '; y = r sin ':

Тогда

t < +1:

Решение По формуле (91) имеем

279

Решение Проверим, будет ли выполнено условие @P@y = @Q@x :

@P@y = @Q@x выполняется во всех точках плоскости, кроме начала координат, где функции P (x; y) и Q (x; y) не определены.

Полученный интеграл отличен от нуля. Однако, никакого противоре- чия с теоремой Грина здесь нет, так как не выполняется одно из условий этой теоремы: область, которую ограничивает контур интегрирования, не является односвязной.

и и - углы между вектором внешней нормали к кривой l и осями координат. Направление обхода кривой - положительно.

Решение Если направление обхода кривой положительно, то орт касательного вектора будет иметь координаты ~ = ( sin ; cos ). Тогда, пе-

реходя от интеграла первого рода к интегралу второго рода и используя

R R

формулу (90) получим l (x cos + y cos ) ds = l xdy ydx = 2S:

90Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования

Теорема 88 Пусть в односвязной области заданы две непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции P (x; y) и Q (x; y). Тогда следующие три утверждения равносильны

R

1.l P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где l - произвольный простой, кусочно-

гладкий контур, лежащий внутри области .

R

2. P (x; y) dx + Q (x; y) dy по любой простой, кусочно-гладкой кривой, лежащей в области и соединяющей точки А и В, не завит от этой кривой. (Зависит только от точек А и В.)

3. Существует функция U = U (x; y) такая, что P (x; y) = @U@x ; Q (x; y) =

дифференциалом этой функции.)

Доказательство Докажем сначала, что из 1) следует 2). Пусть две кусочно-гладкие кривые l1 è l2 соединяют точки и , лежат в области и не пересекаются. Тогда их объединение образует простой кусочно-гладкий контур l, также лежащий внутри , но ведущий сначала из в по первой кривой,

R

а затем назад из в по второй. По условию теоремы l P (x; y) dx + Q (x; y) dy =

280