Лекции по вышмату за 1 курс

над областью D, а сама поверхность в этом случае называется квадрируемой. Заметим, что Dk является ортогональной проекцией площадки Tk , их площади связаны соотношением Fk = Sk cos 'k, ãäå 'k - есть острый угол между площадками Dk è Tk, но угол между двумя плоскостями равен углу

между нормалями и ним, т.е. 'k = k, ãäå k - острый угол между нормалью к поверхности S и осью Oz. Тогда получим

Sk = Fk = pp2(xk; yk) + q2(xk; yk) + 1 Fk cos k

Тогда, суммируя все такие элементарные площади и устремляя ранг дробления к нулю, получим окончательно

ZZ

p

S = p2(x; y) + q2(x; y) + 1dxdy:

D

82 Тройной интеграл

82.1 Определение тройного интеграла

Рассмотрим некоторую поверхность S.

Определение 139 Поверхность S называется простой поверхностью, если она распадается на конечное число частей, имеющих уравнение z = f(x; y), или x = (y; z), или y = (x; z), прич¼м функции f(x; y); (y; z) и(x; z) непрерывны в некоторой простой области D.

В дальнейшем мы будем рассматривать пространственные области, ограниченные простыми поверхностями, мы будем выделять простые пространственные области, определения которых аналогично определению простой плоской области, рассмотренной выше.

Остановимся теперь на понятии объ¼ма тела T , ограниченного простой поверхностью S. Для этого поместим тело T целиком внутрь параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям xOy, xOz и yOz. Разобь¼м далее параллелепипед плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на ячейки. Обозначим через A сумму объ¼мов ячеек, целиком лежащих внутри тела T и не имеющих ни одной общей точки с поверхностью S, ограничивающей тело T . Обозначим через B сумму объ¼мов ячеек, имеющих с телом T или его поверхностью хотя бы одну общую точ- ку. Очевидно, что A B. Наибольший из диаметров ячеек назов¼м рангом дробления . Если существует общее значение

lim A = lim B = v

!0 !0

при условии, что число ячеек бесконечно увеличивается, а ранг дробления стремится к нулю, то число v называется объ¼мом тела T , а само

тело называется кубируемым.

Дадим теперь определение тройного интеграла.

Рассмотрим некоторое тело T , ограниченное простой поверхностью. Мож-

но доказать, что такие тела кубируемы, т.е. имеют объ¼м. И пусть в каждой точке этого тела задана функцию f(x; z; y).

261

Определение 140 Разобь¼м тело T (рис 10) простыми поверхностями на части T1; T2; :::; Tn с диаметрами d1; d2; :::; dn è îáú¼ìàìè v1; v2; :::; vn. Наибольший из диаметров dk называется рангом дробления .

Âкаждой частичной ячейке Tk возьм¼м произвольную точку Mk(xk; yk; zk)

èвычислим в ней значение функции f(xk; yk; zk), которое умножим на объ¼м соответствующей ячейки vk, т.е. составим произведения: f(xk; yk; zk)

vk.

Просуммируем все такие произведения, т.е. составим интегральную сумму (сумму Римана):

n

X

n = f(xk; yk; zk) vk:

k=1

Измельчая дробление, будем искать предел последовательности интегральных сумм

z = z2(x; y)z = z2(x; y)zzI = lim n:! 0

n ! 1

Если этот предел существует и не зависит от способа дробления и выбора точки Mk, то он называется тройным интегралом от функции f(x; y; z) по телу и обозначается так:

RRR RRR

I = T f(x; y; z)dxdydz è I = T f(M)dv.

Итак, лаконично можно сказать так: тройной интеграл есть предел последовательности интегральных сумм, т.е.

! 0

82.2Теорема существования тройного интеграла

Теорема 85 Если функция f(x; y) непрерывна в каждой точке тела T ,

ограниченного простой поверхностью, то существует тройной интеграл от функции f(x; y; z) по телу T .

Доказательство (без доказательства)

Замечание 38 Заметим, что свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла и поэтому мы не будем отдельно останавливаться.

82.3 Вычисление тройного интеграла

Пусть тело T есть простая область (рис. 10). Допустим, что оно ограничено

снизу поверхностью z = z1(x; y), сверху поверхностью z = z2(x; y), а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей служит граница простой области D, расположенной в

плоскости xOy, прич¼м функции z1(x; y) è z2(x; y) непрерывны в области D.

262

Пусть, кроме того, функция f(x; y; z) интегрируема в теле T . Тогда можно сказать, что

прич¼м интеграл, стоящий справа, записывается так:

В том случае, если область D ограничена снизу непрерывной кривой y = y1(x), сверху - непрерывной кривой y = y2(x), а с боков прямыми x = a и x = b, то последнюю формулу можно записать так:

82.4 Геометрический смысл тройного интеграла

Провед¼м вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим

.

Имеем . Наконец, куб. ед.

263

Часть XII

ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

83 Кривые в пространстве

Пусть в трехмерном пространстве выбрана система координат и заданы три непрерывные функции x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) ; t 2 [ ; ]. Тогда

каждому значению параметра t из промежутка [ ; ] будет соответствовать точка пространства M (x; y; z) с координатами x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t).

Множество таких точек М будем называть кривой в пространстве. Точку A (x ( ) ; y ( ) ; z ( )), соответствующую значению параметра t = будем

называть началом кривой, а точку B (x ( ) ; y ( ) ; z ( )), соответствующую значению параметра t = , соответственно, концом кривой. Кривую, заданную уравнениями x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) ; t 2 [ ; ] будем называть

кривой, заданной параметрически.

Если считать, что переменная t - время, то уравнения x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) ; t 2 [ ; ] можно рассматривать как закон движения точки в

пространстве. Таким образом, кривая является траекторией этого движения.

Если на промежутке [ ; ] существуют значения t1 è t2 такие, что x (t1) =

x (t2) ; y (t1) = y (t2) ; z (t1) = z (t2), т.е. точки M (x (t1) ; y (t1) ; z (t1)) è M (x (t2) ; y (t2) ; z (t2))

совпадают, то говорят, что точка M (x (t1) ; y (t1) ; z (t1)) является точкой са-

мопересечения кривой. Кривая, не имеющая точек самопересечения, кроме, может быть, начальной и конечной, называется простой кривой. Если при этом начало кривой совпадает с ее концом, то кривую будем называть простой замкнутой кривой или простым контуром.

Так как каждой точке в пространстве соответствует радиус-вектор этой точки, то задание кривой равносильно заданию векторной функции

8

x = x (t)

>

<

~r = ~r (t) = y = y (t) ; t 2 [ ; ] ;

>

:z = z (t)

для которой рассматриваемая кривая является годографом.

Если функции x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t) ; t 2 [ ; ] непрерывно дифференцируемы, причем в каждой точке кривой выполняется условие (x0 (t))2 + (y0 (t))2 + (z0 (t))2 > 0, то будем говорить, что кривая гладкая. Точку, где (x0 (t))2 + (y0 (t))2 + (z0 (t))2 = 0 будем называть особой. Очевидно, что усло-

âèå (x0 (t))2+(y0 (t))2+(z0 (t))2 > 0 означает, что из производных x0 (t) ; y0 (t) ; z0 (t) хотя бы одна будет отлична от нуля. Так как вектор ~r0 = (x0 (t) ; y0 (t) ; z0 (t))

является касательным к данной кривой, то это условие означает, что в каждой точке гладкой кривой существует касательный вектор. Если кривая составлена из конечного числа гладких кривых, то ее будем называть кусочно-гладкой.

Если кривая лежит в некоторой плоскости, то эту кривую будем называть плоской. Если систему координат выбрать так, чтобы кривая лежала в плоскости ОХУ, то в уравнениях кривой z 0; t 2 [ ; ]. Уравнения таких

кривых будем писать в виде x = x (t) ; y = y (t) ; t 2 [ ; ]

264

Пример 237 Уравнения x = R cos t; y = R sin t; t 2 [0; 2 ] задают окруж-

ность с центром в начале координат радиуса R. Эта простая замкнутая кривая, т.е. простой контур.

Пример 238 Уравнения x = R cos t; y = R sin t; z = at; t 2 [0; 2 ] ; a > 0 за-

дают один виток цилиндрической винтовой линии, т.е. точка движется по цилиндру радиуса R, так что проекцией ее траектории на плоскость

ОХУ является окружность, и при этом эта точка "поднимается"вверх со скоростью . Это простая гладкая незамкнутая кривая.

Пример 239 Пусть кривая является линией пересечения сферы x2 + y2 +

z2 = R2 и плоскости z = R2 .

Зададим эту кривую параметрическим образом. Ясно, что при пересечении сферы и плоскости получается окружность. Чтобы получить ее

Это последнее уравнение является уравнением линии, лежащей в проек-

ции данной окружности на плоскостьp ОХУ. Так как это окружностьp ñ

öåнтром в начале координат радиуса 23 R, то положим x = 23 R cos t; y =

p

23 R sin t. Тогда данная кривая задается уравнениями

pp

Пример 240 Пусть кривая задана, как линия пересечения сферы x2 +y2 + z2 = R2 и плоскости y = x.

Зададим эту кривую параметрически. Ясно, что данная кривая явля-

ется окружностью. Для того, чтобы получить ее параметрические уравнения, подставим в уравнение сферы y = x : 2x2 + z2 = R2. Получим урав-

нение эллипса, который лежит в проекции данной окружности на плос-

84 Криволинейные интегралы первого рода

Пусть дана некоторая простая, гладкая кривая l :

8

x = x (t)

>

<

y = y (t) ; t 2 [ ; ]

>

:z = z (t)

èдопустим, что в некоторой области, содержащей данную кривую, определена функция f (x; y; z), непрерывная в каждой точке этой кривой.

Рассмотрим произвольное разбиение данной кривой на n частей точками M0 = A; M1; M2; :::Mn = B. Будем считать, что Mi = Mi (x (ti) ; y (ti) ; z (ti)),

265

ãäå = t0 < t1 < t2 < ::: < tn = . На каждой дуге Mi 1Mi возьмем

85Правило вычисления криволинейных интегралов первого рода и их свойства

1.Отметим без доказательства, что, если подынтегральная функция непрерывна, то предел интегральных сумм, то есть криволинейный интеграл, I существует.

266

Замечание 39 Если кривая плоская (т.е., если она лежит на плоскости XOY), то формула принимает вид

Z Z q

f (x; y) ds = f (x (t) ; y (t)) (x0 (t))2 + (y0 (t))2dt: (83)

l

Замечание 40 Если кривая лежит на плоскости XOY и задана уравнением y = ' (x) ; x 2 [a; b], то в формуле 83 можно положить t = x.

Тогда

Z Z b q

f (x; y) ds = f (x; ' (x)) 1 + ('0 (x))2dx: (84)

a

l

Замечание 41 Если кривая лежит на плоскости ХОУ и задана уравнением r = r (') ; ' 2 [ ; ] в полярной системе координат, совмещен-

ной с декартовой системой, то в качестве параметра можно взять полярный угол. Тогда x = r (') cos '; y = r (') sin ' и

3.Если функция f (x; y; z) > 0, то ее можно интерпретировать, как плот-

ность массы, распределенной по кривой. Тогда криволинейный интеграл первого рода равен массе кривой.

4.Криволинейный интеграл первого рода обладает свойством линейно-

сти относительно подынтегральной функции, т.е.

Z Z Z

(C1f (x; y; z) + C2g (x; y; z)) ds = C1 f (x; y; z) ds+C2 g (x; y; z) ds:

l l l

Это свойство следует из аналогичного свойства определенного интеграла.

5.Криволинейный интеграл первого рода обладает свойством аддитивности, т.е., если кривая l разбита на две непересекающиеся части l1 è

l2, òî

Это свойство также следует из аддитивности определенного интеграла.

267

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления на кривой, т.е.

ZZ

f (x; y; z) ds = f (x; y; z) ds:

Это следует из определения интегральной суммы и того факта, что длина кривой не зависит от направления на кривой.

268

а второй берется с помощью простейшей замены переменной