Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

В.А.Битнер

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики

191

tgx + 1 = 0, tgx = −1, x = −

+ π n, n Z .

С учетом условия x [−π ;π ] имеем x =

3π

Ответ:

3π

p20

+ cos

sin

2 cos x .

Решение.

По

формуле

вспомогательного

аргумента

имеем

2 cos

−

2 cos x

cos x

= cos

−

из условия ра-

венства

косинусов

x =

−

+ 2π n, n Z

= −

+ 2π n

x = −

+ π n

2 4

4π

= −

+ 2π n

x =

Ответ: −

+ 4π n;

4π

n | n Z .

6 3

p21

sin 2 x − cos 2x = sin x + cos x

Решение

По формуле вспомогательного аргумента имеем:

	2 x −	π	=

2 sin

		4

		π

2 sin x +

		4

		π		π
sin	2x −		= sin x +		, из

		4		4

условия равенства синусов имеем:

2 x −

= x +

+ 2π n, n Z

x =

+ 2π n

2 x −

= π − x −

+ 2π n

3x = π + 2π n

x =

+ 2π n

2π

x =

n, n Z

3 3

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

p1 p2

p4 p5

p7 p8 p9

p10

p11

p13

p14

p15

p17 p19

p20

3 sin x + cos x = 2 ;

cos x + 3sin x = 1 + 2 cos 3x cos x ;

cos 9x cos11x + sin

2 x

= −

;

2 sin 20x sin 30 x + cos 50x

sin 2 x − cos 2 x =

2 sin x ;

8 cos x =

;

cos x

sin x

1 − cos (π − x ) + sin π + x = 0 ; 2

sin 2 3x + sin 2 4 x = sin 2 5x + sin 2 6x ; 3sin x + 4 cos x = 5 ;

sin (cos x ) = cos (sin x ) ;

2 sin 3x sin x + (3

−1)cos 2x = 3 ;

sin3

x + cos3 x + a sin x +

= 0

;

sin 2 x − cos 2 x =

2 cos

x −

5arctg x + 3arctg x = 2π ;

arctg x + arctg 2x + arctg 3x = π ;

cos2

x + 4 sin 2 x = 2 sin 2 x ;

cos 2 x − cos 6x = 0 ;

sin

+ x − sin

− x

= 1 .

p12 sin 4 x − 2 cos2 x + a2 = 0 ;

3 − 2 ;

p16 tg x + ctg x = 2 1 ; 2

p18 sin x + sin 3x = 0 ;

Краткий курс школьной математики

193

Ответы:

7π

+ 2π n;

+ 2π n | n Z ;

+ π n | n Z ;

5π

2π

n | n Z ;

+ 2π n;

n | n Z ;

+ π n | n Z ;

π + 2π n; ±

4π

+ 4π n | n Z ;

12 2

+ π n;

n | n Z ;

− arctg

+ 2π n | n Z ;

Имеем:

sin (cos x ) = sin

− sin x , откуда

cos x =

− sin x + 2π n

cos x =

+ sin x + 2π n, n Z

cos x + sin x =

+ 2π n

cos x − sin x =

+ sin x + 2π n, n Z

cos x ± sin x

≤

, а

+ 2π n

но

при n Z больше

2 или

меньше −

2 .

p10

+ π n |

n Z ;

p11

−

+ π n, e a

−∞; −

−

; +∞

, n Z

;

(−1)

arcsin (

2a + 2)+

−

+ π n,

+e a −

; −

, n Z

p12	1	arccos (3			2
±			− 2 3 − a
±			− 2 3 − a
	2
, e a (−∞; −
, e a (−∞; −				2

)+ π n, +e a (−			), n Z	;
)+ π n, +e a (−	2;	2	), n Z	;

2; +∞) ;

194

В.А.Битнер

p13

5π

+ π n | n Z

;

p14

1; Указание: предварительно доказать, что

arctg x + arcctg x = π ;

p15

p16 arctg 2 + π n; arctg

1 + π n | n Z ;

p17

p18

-arctg

+ π n | n Z ;

n | n Z

p19

p20

−1)

n | n Z ;

(

arcsin

+ π n | n Z .

(21)

Тригонометрические неравенства

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся неравен-

ства

вида:

T (kx + b ) > a, T (kx + b ) < a,T (kx + b ) ≥ a,T (kx + b ) ≤ a ,

где

k , a, b R, k ≠ 0, T - знак любой из тригонометрических функций. В за-

висимости от значения

a и с учетом

E (T ) эти уравнения могут не

иметь решений или иметь бесчисленное множество решений. Рассмот-

рим решение тригонометрических неравенств на конкретных приме-

рах. Решать их будем с помощью определений тригонометрических

функций, единичной числовой окружности, осей

тангенсов и котангенсов – сначала графически,

потом выписывать ответ.

5π

Решить неравенства.

p11

sin x > 1

синус – это ордината π + 2π n < x < 5π + 2π n, n Z

Краткий курс школьной математики	195

p4 p5 p6

sin x <

2π

7π

+ 2π n < x <

+ 2π n, n Z или

2π

7π

Ответ:

2π

7π

+ 2π n;

+ 2π n , n Z

sin x ≤ −

Ответ можно записать в виде

5π + 2π n ≤ x ≤ 7π + 2π n, n Z

3π

−

или −

+ 2π n ≤ x ≤ −

+ 2π n, n Z ,

3π 5π

7π

−

или

3π

+ 2π n; −

−

2π n , n Z

sin x ≥ −1

Ответ: R sin x ≤ 1

Ответ: R

sin x < − 3 2

Ответ:


sin x ≥ −		1

3
− arcsin	1		+ 2π n ≤ x ≤ π + arcsin	1	+

3			3

+2π n, n Z

cos x > 1 2

Косинус – это абсцисса точки на единичной числовой окружности

− π + 2π n < x < π + 2π n, n Z

3 3

	y
0	− 1	x
	− 1
π + arcsin 1	3	− arcsin	2
π + arcsin 1		− arcsin	2
3			3
	y
	2π
	3
0	1	x
0		x
	2
	− π
	3

196	В.А.Битнер

p10

p11

p12 p13

p14

p15

cos x ≤

π + 2π n ≤ x ≤ 7π + 2π n, n Z

4 4

cos x ≥ −0, 3

−arccos (−0, 3) + 2π n ≤ x ≤

≤arccos (−0, 3) + 2π n, n Z

или можно записать

arccos 0, 3 − π ≤ x ≤ π − arccos 0, 3 +

+2π n, n Z

cos x < 1

Ответ: R , кроме x = 2π n, n Z cos x > −1, 5

Ответ: R cos x ≥ 1,1

Ответ:

	y
	π
	4
	2
	2
0	x

7π 4

arccos (−0, 3)

−0, 3 0

− arccos (−0, 3)

π
6
3
0 2	x
11π
6

2x −

cos

+ 2π n < 2x −

11π

+ 2π n, n Z

+ 2π n < 2x <

11π

+ 2π n

+ 2π n < 2x <

13π

+ 2π n ;

+ π n < x <

13π

+ π n, n Z .

13π

Ответ:

π n;

π n , n Z

tg x > 3

Тангенс – это ордината точки на оси тангенсов.

Краткий курс школьной математики	197

π	π		y
	+ π n < x < + π n, n Z		y
	+ π n < x < + π n, n Z	π	3
3	2	2
			π
			3
		0	x

p16

p17

p18

p19

tg x ≤ 1

− π + π n < x ≤ π + π n, n Z

2 4

или ответ можно записать в виде

π + π n < x ≤ 5π + π n, n Z ,

2			4
	π		5π
или		+ π n;		+ π n	, n Z
или		+ π n;		+ π n	, n Z
	2		4

tg x < 100

−π + π n < x < arctg100 + π n, n Z 2

y
0	x

y100(условно)

arctg100

−π

	tg x ≥	1


		3
		3

π + π n ≤ x < π + π n, n Z

6 2

π	y
π
2
		1
	π	3
	6
	0	x

ctg x > 3

Котангенс – это абсцисса точки на оси котангенсов.

198	В.А.Битнер

	π n < x < π + π n, n Z или можно						y
	π n < x < π + π n, n Z или можно						π			3
				6			π
				6			6
							6
	записать ответ в виде					π		0
	π + π n < x < 7π + π n, n Z , или						0			x
	π + π n < x < 7π + π n, n Z , или					7π
					6	6
				π
	Ответ:			π n;	+ π n , n Z
				6
p20	ctg x ≤ −1						y
	3π + π n ≤ x < π + π n, n Z						y
	3π + π n ≤ x < π + π n, n Z					−1
	4						3π
	или в виде: − π + π n ≤ x < π n, n Z					π	4		0
						π			0
							0			x
					4			−	π
								−	4
									4
p	ctg	x	≥ 2				y
21	ctg		≥ 2
	π n < x ≤ arcctg 2 + π n, n Z									2
	π n < x ≤ arcctg 2 + π n, n Z
								arcctg 2
							0	0		x
							0			x

p22	−1		< ctg x <		3		y
	−1		< ctg x <		3

	π				3π		−1	3
	π	+ π n < x		<	3π	+ π n, n Z	3π
	6	+ π n < x		<	4	+ π n, n Z	3π
	6				4		4	π
								6
							0	x

Упражнения для самостоятельного решения

p1 sin x >	3	p2	cos x ≥	2

	2			2

Краткий курс школьной математики	199

sin 2 x ≤

sin x cos

+ sin

cos x <

3π

sin

− x

2 sin x cos x ≥

tg x ≥ −

tg x <

p10

sin (3x − 1) < −

cos

cos x + sin

sin x ≥

p11

ctg x <

p12

ctg (π − x)

≤ −1

p13

p14

tg x + tg 2x

≥ 1

ctg

− 2x

≥

1 − tg x tg 2x

p15

2 sin 2 x − sin x − 1 < 0

Ответы:

2π

+ 2π n;

+ 2π n , n Z

3π

9π

+ π n;

+ π n

, n

5π

7π

+ 2π n;

2π n

, n Z

−

+ π n;

+ π n , n Z

p10

2π n;

2π n , n Z

p11

p12

+ π n;π +

π n

, n Z

p13

p14

, n

p15

7π

−

+ 2π n;

+ 2π n

+ 2π n;

−

+ 2π n;

+ 2π n , n Z

5π

+ 2π n;

+ 2π n , n Z

3π

+ π n;

π n , n Z

−

+ π n;

+ π n

, n Z

7π 1 2π 11π 1 2π

n Z

3π

π n;

+ π n

, n Z

+ 2π n , n Z

200	В.А.Битнер

(22)Формулы аркфункций

С помощью основных тригонометрических тождеств, определений и свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций легко вывести формулы обратных тригонометрических функций.

1. Выразим тригонометрические функции через arcsin a .

1)sin (arcsin a ) = a ;

2)cos(arcsin a) = 1 − sin 2 (arcsin a) = 1 − a2 ;

tg (arcsin a) =

sin (arcsin a)

;

cos (arcsin a)

1 − a

ctg (arcsin a) =

tg (arcsin a)

Выразим тригонометрические функции через arccos a .

1)cos (arccos a) = a ;

2)sin (arccos a) = 1 − a2 ;

3)	tg (arccos a) =	1 − a2			;

			a
			a
4)	ctg (arccos a ) =		a			.


		1 − a		2
				2

Вывод этих формул аналогичен предыдущим.
3.	Выразим тригонометрические функции через arctg a .

1) tg (arctg a) = a ;

ctg (arctg a) =

;

tg (arctg a)

cos (arctg a) =

;

1 + tg2 (arctg a)

1 + a2

sin (arctg a ) = tg (arctg a)

× cos (arctg a) =

1 + a

4. Выразим тригонометрические функции через arcctg a .

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4220 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc