Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики								121

p 3	{(1; 2; 3)}	p 42	3		347		197
				; −		; −
				; −		; −
			11		77		77
p 5	{(1; −2; −1; 2)}	p 62	при a = 1
p 7	при a = 0

Тема XVIII. Нелинейные системы.

oНелинейными называются системы двух уравнений с двумя неизвестными, в которых хотя бы одно уравнение нелинейное.

При решении нелинейных систем в простейших случаях удается выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Вообще говоря, при решении нелинейных систем общих методов указать нельзя, но если одно из уравнений системы линейное и в некоторых других случаях можно провести некоторую условную классифи-

кацию нелинейных систем.

(1)Одно из уравнений системы линейное.

p 1 x − y = 4

x2 + y2 = 4	− 2xy
Решение:
				x − y = 4
x − y = 4						+		= 2
x − y = 4					x		y

Имеем: ( x + y )2		= 4	x − y = 4

						+ y = −2
					x	+ y = −2

Ответ: {(3; −1); (1; −3)} .

x			= 3
	1		= −1
y1
x			= 1 .
	2		= −3
	y	2

122	В.А.Битнер

(2)Это системы уравнений вида:

x + y = a		x − y = a
а)	(1);	б)	(2);
xy = b		xy = b
ax + by = c		xn + y n = a
в)	(3);	г)	(4)
xy = d		xy = b

Решим эти системы в общем виде.

а) r систему (1). По теореме, обратной теореме Виета, переменные x и y являются корнями приведенного квадратного уравнения

z 2 − az + b = 0 . Если оно имеет корни z и z

= z

2 .

, то

или 2

y1 = z2

y2 = z1

x + (− y ) = a

(− y ) = −b ,

б)

Перепишем систему

(2) в виде

тогда x и − y - корни

квадратного уравнения z 2 − az − b = 0 , e z и z

- его корни, то

x = z

2 .

1 1

или

1 1

или

− y1 = z2

− y2 = z1

y1 = − z2

y2 = − z1

ax + by = c

в) Перепишем систему

(3) в виде

тогда ax и by - корни

ax by

= abd

квадратного уравнения

z 2 − cz + abd = 0 ,

e z

его корни, то

ax = z1

by = z

ax = z2

by = z

Краткий курс школьной математики

123

y n

г) Перепишем систему (4) в виде

. Тогда x

y - корни

y n

= bn

квадратного

уравнения z 2 − az + bn = 0 ,

и z

его

корни, то

x = n

y n = z

= n

y n = z

(3)Это системы, в которых уравнения содержат

выражения xn + y n и xn yn в различных комбинациях.

p 2 x + y + xy = 7

2 + 2 + =

x y xy 13

Решение:

Сложим 1 и 2 уравнение системы, получим:

(x + y )2 + ( x + y ) − 20 = 0 - квадратное уравнение относительно x + y . По теореме Виета ( x + y )1 = −5, ( x + y )2 = 4 , подставим

эти значения в 1 уравнение системы, получим:

а) x + y = −5	z 2 + 5z + 12 = 0 D < 0
xy = 12
		x				= 1
x + y = 4				1
x + y = 4		y1 = 3
б)			x			= 3
xy = 3			x			= 3
				2		= 1
				y	2	= 1
					2
p 3 x2 + y2 = 34						( x + y )2 − 2 xy = 34
x + y + xy = 23		+				2 ( x + y ) + 2xy = 46

-------------------------

( x + y )2 + 2 ( x + y ) − 80 = 0 ( x + y )1 = −10, ( x + y )2 = 8

124						В.А.Битнер

			x			= 3
x + y = −10	x + y = 8			1		= 5
x + y = −10	x + y = 8	y1				= 5
а)	б)		x			.
xy = 33	xy = 15		x			= 5
				2		= 3
				y	2	= 3
					2

(4)Одно из уравнений системы однородное второй сте- пени вида ax2 + bxy + cy 2 = 0 .

p 4 x	2		xy		y	2
		− 2		− 3			= 0
	2		2 = 10
x	2	+ y	2 = 10

Решение:

r 1-ое уравнение системы, оно однородное 2 степени, разделим обе части уравнения на y 2 ≠ 0 , потери корней при этом не про-

изойдет, так как пара (0; 0) не удовлетворяет второму уравне-

x 2

нию системы. Получим:

− 2

− 3

= 0 - квадратное

уравнение относительно

. Имеем

= 3,

= −1 .

а)

= 3, x = 3 y ,

подставим во 2

уравнение системы, получим

9 y

2 + y 2 = 10, y 2

= 1, y

= ±1 , тогда x

= ±3 .

1,2

б)

= −1, x = − y , подставим во 2 уравнение системы, получим

y2 + y 2 = 10, y 2 = 5, y

= ±

5, x

5 .

3,4

3, 4

Ответ: {(3;1); (−3; −1); (−5; 5 ); (5; −5 )} .

(5)Левые части уравнений однородные полиномы (многочлены) одной и той же степени.

p 5	x	2		xy		y	2
2			− 3		+			= 3
	2	+ 2 xy − 2 y					2 = 6
x	2	+ 2 xy − 2 y					2 = 6

Краткий курс школьной математики	125

Решение:

Умножим 1 уравнение системы на 2 и вычтем из него 2 урав-

4 x2 − 6 xy + 2 y 2 = 6

нение, то есть имеем −

x2 + 2 xy − 2 y 2 = 6

------------------------

3x2 − 8xy + 4 y 2 = 0 - однородное

уравнение 2 степени.

Разделим обе части уравнения на y 2

≠ 0 , получим

x 2

− 8

+ 4 = 0 - квадратное относительно

= 16

−12 = 4 .

4 − 2

4 + 2

= 2 .

;

x . y

а)	x	=	2	; x =	2	y , подставим во второе уравнение системы, по-

	y	3		3

лучим 4 y2 + 4 y 2 − 2 y 2 = 6, y 2 = −27 , чего быть не может.

б) x = 2, x = 2 y , подставим во 2 уравнение, получим y

4 y 2 + 4 y 2 − 2 y 2 = 6, y 2 = 1, y1,2 = ±1; x1,2 = ±2 .

Ответ: {(2;1); (−2; −1)} .

(6)Это системы уравнений вида:

y 2

y 4

а)

, б)

, в)

x + y = b

+ y = b

x + y = b

p 6

+ y

= 35

− 3xy ( x + y ) = 35

125 −15xy = 35

( x + y )

+ y = 5

x + y = 5

= 2

125 −15xy = 35

x + y = 5

= 3

x + y = 5

xy = 6

= 2

126

В.А.Битнер

p 7

4 4

x + y = 82

(x + y

)

−

2x y = 82

x + y = 2

2 + y 2

= 4 − 2xy

- подставим в 1 уравнение

системы, получим

(4 − 2xy )2 − 2 x2 y 2 = 82

4 (2 − xy )2 − 2x2 y 2 = 82

2 (2 − xy )2 − x2 y2 − 41 = 0

2x2 y 2 − 8xy + 8 − x2 y2 − 41 = 0

( xy )2 − 8 ( xy ) − 33 = 0 - квадратное уравнение относительно xy .

По теореме Виета ( xy )1 = −3; ( xy )2 = 11

= 3

x + y = 2

= −1

а)

xy = −3 , имеем систему

xy = −3

= −1

= 3

x + y = 2

Далее z 2 − 2z + 11 = 0 .

б)

xy = 11 ,

имеем

систему

= 11

D < 0 . .

Ответ: {(3; −1); (−1; 3)} .

(7)Одно из уравнений системы имеет вид:

а) (ax + b ) (cx + d ) = 0 ,

б) (ax + b ) (cy + d ) = 0 , в) (ay + b ) (cy + d ) = 0 .

p 8 x2		x		y
	+ 2		− 5		= −2
( x + 2)( y −1) = 0

Решение:
а) Из второго уравнения системы x + 2 = 0; x1 = −2 - подставим в
1 уравнение, получим 4 − 4 − 5 y = −2; y =						2	;
1 уравнение, получим 4 − 4 − 5 y = −2; y =							;
					1	5
						5

б) Из второго уравнения системы y −1 = 0; y2,3 = 1 - подставим в

Краткий курс школьной математики	127

1 уравнение системы, получим x2 + 2x − 5 = −2

x2 + 2x − 3 = 0

= −3, x3 = 1

Ответ: {(−2; 0, 4); (−3;1); (1;1)} .

Решение упражнений.

Решить системы уравнений.

p 9

x + y + 2xy = 7

xy + 2 ( x + y ) = 8

Решение:

Введем

замену

x + y = u; xy = v ,

тогда

получим

систему

u + 2v = 7

u = 3

2u + v = 8

v = 2 .

Возвращаясь

переменным

y ,

получим

= 1

x + y = 3

= 2

xy = 2

= 2

= 1

Ответ: {(1; 2); (2;1)} .

p 10

−

= 12

2 − xy = −3

Решение:

способ.

Сложим

и 2

уравнение

системы,

получим

x2 − 2xy + y 2 = 9; ( x − y )2 = 9; x − y = ±3

x − y = 3

−

= 3

= −1

а)

;

x ( x

− y ) = −3

3x = −3

= −4

б) x − y = −3 x2 = 1 .

−3x = −3

y2 = 4

128

В.А.Битнер

Ответ: {(1; 4); (−1; −4)} .

y ( y − x ) = 12

2 способ.

Перепишем систему в виде x ( x − y ) − 3 .

Разделим

1 уравнение этой системы на 2, получим −

= −4; y = 4x - под-

ставим в 1 уравнение системы, получим 4x (4x − x ) = 12, x2

= 1 ,

x1,2

= ±1, тогда y1,2 = ±4 .

3 способ. Умножим 2 уравнение системы на 4 и сложим с 1

−

= 12

4x2

− 4xy = −12

уравнением, Получим

---------------------- - однородное урав-

4x 2 -5xy+y2 =0

нение 2 степени.

Далее разделим обе части полученного уравнения на x2

≠ 0 ,

y 2

получим

−

+ 4 = 0

- квадратное относительно

= 1;

= 4 .

а)

= 1; y = x , подставим

уравнение системы,

получим

x2 − x2 = 12; 0 ≠ 12; .

б)

= 4; y = 4 x ,

подставим в 1

уравнение системы,

получим

16x2 − 4x2

= 12; x

2 = 1; x

= ±1; y

= ±4 .

p 11 x2 y

1,2

= 16

2 = 2

x3 y

Решение:

Умножим левые и правые части уравнений системы, получим x5 y5 = 32; xy = 2; x2 y 2 = 4 , откуда 4 y = 16; y = 4; 4 x = 2; x = 1 .

Краткий курс школьной математики																																								129

Ответ:							1		; 4 .
Ответ:									; 4 .
					2
p 12		5				+						4				= −			1

	2										2	− xy							6
x		− xy								y		− xy							6
		7										3						6
		7					−					3				=		6
	2						−				2					=
	2	− xy								y	2	− xy					5
x		− xy								y		− xy					5
Решение:
1) о.д.з. x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ y .
2)	Введем замену																		1				= u;			1				= v ,			получим

																	x2 − xy									y2 − xy
														1															1
		5u			+ 4v						= −									15u + 12v = −
		5u			+ 4v						= −									15u + 12v = −
														6															2
													6	6		+													2
													6															24
		7u − 3v									=								28u −12v =
		7u − 3v									=								28u −12v =
													5															5
																			--------------------
																															−	1	− 5u			−	1	−	1
																						43					1				−		− 5u			−		−			1
																43u =						43		; u =			1	; v =			6				=		6 2			= −	1
																43u =								; u =				; v =							=					= −
																					10					10							4			4				6
3)	Вернемся к переменным x и y , имеем
					1						=		1
																			x			2			xy
			x	2				xy											x			2			xy
					−								10										−			= 10
																+						2	−			= −6
					1										1								−			= −6
											= −										y				xy
																					y				xy
				2	− xy									6
				2
		y
																			----------------															.
																					( x − y )2 = 4; x − y = ±2
а)	x − y = 2 - подставим это значение в 1																																	уравнение системы,
имеем x ( x − y ) = 10; 2 x = 10; x1 = 5; y1 = 3 ;
б)	x − y = −2 , откуда x2																				= −5; y2 = −3 .
Ответ: {(5; 3); (−5; −3)} .

130	В.А.Битнер

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений.

p 1	x − y = 4

	xy = 5
p 3	x	4	−	xy		+		y	2	= 7
			−			+				= 7
	x	+ y = 5
p 5	x	2			xy
			+	3			= 18

	3 y 2 + xy = 6

p 7	x − y = 1

	x3 − y3 = 7
p 9	x2 y3					x3 y 2
				+						= 12
				− x3 y 2 = 4
	x3 y2			− x3 y 2 = 4

p 11	( x + 1) ( y + 1) = 10

	( x + y )( xy + 1) = 25

Ответы:
p 1	{(−1; −5); (5;1)}
p 3	{(2; 3); (3; 2)}
p 5	{(3;1); (−3; −1)}
p 7	{(2;1); (−1; −2)}
p 9	(1; 2)
p 11	{(4;1); (1; 4)}

Указание: раскрыть скобки в 1 уравнении и ввести замену

x + y = u; xy + 1 = v .

p 22

= 10

− y = 2

p 42

xy + x + y = 11

2 y + y 2 x = 30

p 62

x3 y3

= −8

3 = −7

x3 + y

p 82

( x − y )( x2 − y 2 ) = 45

x + y = 5

p 102

−1

y −1

= 5

−2 + y −2

= 13

p 122

xy = 9

p 22	{(−1; −3); (3;1)}
p 42	{(2; 3); (3; 2); (1; 5); (5;1)}
p 62	{(−2;1); (1; −2)}
p 82	{(4;1); (1; 4)}
p 102 1		1	1	1
		;	;	;

	2	3	3	2
p 122	{(1; 9); (9;1)}

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc