Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Краткий курс школьной математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

(18)Обратные тригонометрические функции. (Аркфункции).

Основная теорема матанализа.

te некоторая функция f определена, непрерывна и возрастает (убывает) на некотором числовом множестве I , то она имеем обратную функцию g , которая определена, непрерывна и возрастает (убывает) на некотором числовом множестве J .

Причем D ( g ) = J = E ( f ) и E ( g ) = D ( f ) = I .

zГрафик обратной функции симметричен графику исходной функции относительно прямой y = x .

1.	y = arcsin x
					y
					1
−2π		− 3π	−π	− π	0	π	π	3π	2π	x
		2		2		2		2
					-1
						рис.1
						ðèñ
r функцию y = sin x					и ее график (рис. 1). Эта функция определена,
непрерывна и возрастает на − π ; π								, следовательно, по основной тео-
						2	2
реме матанализа она имеет обратную функцию										y = arcsin x , которая
определена, непрерывна и возрастает на [−1;1] . Эта функция называет-
ся обратной тригонометрической функцией арксинус x .
Причем D (arcsin ) = E (sin ) = [−1;1], E (arcsin ) = − π ; π .
										2 2

172									В.А.Битнер

o 1	Арксинусом числа a называется угол (дуга), заключенный в
o 1	Арксинусом числа a называется угол (дуга), заключенный в
	отрезке −	π	;	π	, синус которого равен a .
	отрезке −		;		, синус которого равен a .
		2 2
Из определения следует, что −						π	≤ arcsin a ≤	π	и sin (arcsin a ) = a .
Из определения следует, что −							≤ arcsin a ≤		и sin (arcsin a ) = a .
					2		2

parcsin 0 = 0; arcsin1 = π ; arcsin (−1) = − π ; arcsin 1 = π ;

				2		2	2	6
					π			.
		3						.
		3
	arcsin −		= −
	arcsin −		= −
		2		3
		2		3
z	Функция			y = arcsin x		является	нечетной,	так как

arcsin (−x ) = − arcsin x .

2.	y = arccos x			y
			1
	−π	− π	0	π	π	3π	2π	x
		2		2		2
			-1
				рис.2
				ðèñ

r функцию y = cos x и часть ее графика (рис. 2). Эта функция опреде-

лена, непрерывна и убывает на [0;π ] , следовательно, по основной тео-

реме матанализа она имеет обратную функцию y = arccos x , которая определена, непрерывна и убывает на [−1;1] . Эта функция называется обратной тригонометрической функцией арккосинус x . Причем

D (arccos) = E (cos ) = [−1;1], E (arccos ) = [0;π ] .

Функция y = arccos x ни четная, ни нечетная, но arccos (− x ) = π − arccos x .

o 2 Арккосинусом числа a называется угол (дуга), заключенный в отрезке [0;π ] , косинус которого равен a .

Краткий курс школьной математики

173

Из определения следует, что 0 ≤ arccos a ≤ π , cos (arccos a ) = a .

; arccos1 = 0; arccos (−1) = π ; arccos

arccos 0 =

;

2π

5π

arccos

−

= π −

; arccos −

= π −

3 3

3. y = arctg x

−	π		π
	π	−

	2
			4

	π		π	x

4		2

рис.3

ðèñ

r функцию y = tg x и часть ее графика (рис. 3). Эта функция опреде-

лена, непрерывна и возрастает на	−	π	;	π	, следовательно по основ-

	2 2

ной теореме матанализа она имеет обратную функцию y = arctg x ,

которая определена, непрерывна и возрастает на (−∞; +∞ ) . Эта

функция называется обратной тригонометрической функцией арктангенс x .

Причем D (arctg ) = E (tg ) = (−∞; +∞ ), E (arctg ) =	−	π	;	π	.

	2 2
Заметим, что функция arctg x - нечетная, так как
arctg (− x ) = −arctg x .

o 3	Арктангенсом числа a называется угол (дуга), заключенных в
	интервале	−	π	;	π	, тангенс которого равен a .

		2 2

174					В.А.Битнер

Из определения следует, что −	π	< arctg a <	π	,	tg (arctg a ) = a .

2		2

parctg0 = 0; arctg1 = π ; arctg (−1) = − π ; arctg (− 3 ) = − π .

4 4 3

4.		y = arcctg x
		y
		π
		4
−

	π	0		π	π	π	x
2			4		2
							рис.4
							ðèñ
							ðèñ

r функцию y = ctg x и часть ее графика (рис. 4).

Эта функция определена, непрерывна и убывает на (0;π ) , следова-

тельно, по основной теореме матанализа она имеет обратную функцию y = arcctg x , которая определена, непрерывна и убывает на (−∞; +∞ ) .

Эта функция называется обратной тригонометрической функцией арккотангенс x .

Причем D (arcctg ) = E (ctg ) = (−∞; +∞ ) и E (arcctg ) = (0;π ) .

Заметим, что функция y = arcctg x - ни четная, ни нечетная, но arcctg (−x ) = π − arcctg x .

o 4 Арккотангенсом числа a называется угол (дуга), заключенный в интервале (0;π ) , котангенс которого равен a .

Из определения следует, что 0 < arcctg a < π , ctg (arcctg a ) = a .

parcctg 0 = π ; arcctg 1= π ; arcctg (-1) = π − π ; arcctg (− 3 ) =

2 4 4 .

= π − π = 5π

Краткий курс школьной математики	175

Упражнения для самостоятельного решения.

p11

p12

p13

p14

p15

Вычислите:

arcsin	1	+ arccos			1	;
arcsin		+ arccos				;
2				2

			2				2
arcsin −				+ arccos −				;
arcsin −				+ arccos −				;
			2				2
			2				2

arcctg (−1) + arccos (−1) + arcsin (−1) ;

arcsin	1	+ arccos	1	;

3		3

arcsin (sin 10) .

Ответы:

p11

;

p12

;

p13

;

p14

;

p15

3π −10 .

(19)Формулы тригонометрических уравнений.

(а)	Частные формулы уравнений.
		y
		y
	1	π				С помощью определений тригонометрических
		2				С помощью определений тригонометрических
π			0			функций и единичной числовой окружности (рис.
π			0			1) легко получить следующие формулы уравне-
-1		0	1	x		1) легко получить следующие формулы уравне-
-1		0	1	x		ний:
						ний:
	-1	− π
		2
	рис. 1
1.	sin x = −1, x = −				π	+ 2π n, n Z ;
1.	sin x = −1, x = −					+ 2π n, n Z ;
				2
2.	sin x = 0, x = π n, n Z ;

176					В.А.Битнер
3.	sin x = 1, x = π + 2π n, n Z ;
				2
4.	cos x = −1, x = π + 2π n, n Z ;
5.	cos x = 0, x = π + π n, n Z ;
				2
6.	cos x = 1, x = 2π n, n Z ;
7.	tg x = 0 sin x = 0, x = π n, n Z ;
8.	ctg x = 0 cos x = 0, x = π + π n, n Z .
					2
(б)	Общие формулы тригонометрических уравнений.
1.	sin x = a , где −1 ≤ a ≤ 1 если a > 1 , то это уравнение не имеет реше-
				ния.
		y
	1	π		r	единичную числовую окружность (рис.	2) и
ϕ1		2		r	единичную числовую окружность (рис.	2) и
ϕ1				воспользуемся определением sin α и arcsin α .
π			0	воспользуемся определением sin α и arcsin α .
π			0
-1		0	1	x
	-1	− π
		2
	рис. 2
		x = ϕ + 2π n = arcsin α + 2π n, n Z
Ясно, что			= ϕ1 + 2π n = π − ϕ + 2π n = π − arcsin a + 2π n, n Z			(1)
		x	= ϕ1 + 2π n = π − ϕ + 2π n = π − arcsin a + 2π n, n Z
Формулы (1) можно объединить в одну: x = (−1)k arcsin a + π k , k Z						(2)
Действительно, при k = 2n, n Z из (2) имеем:
x = (−1)2 n arcsin a + 2π n = arcsin a + 2π n, n Z и при k = 2n + 1, n Z из
(2) имеем: x = (−1)2 n +1 arcsin a + (2n + 1)π = π − arcsin a + 2π n, n Z , по-
лучили формулы (1).

zНадо пояснить, что e решаем уравнение вида sin kx = a , то удобнее пользоваться формулой (2), а если решаем уравнение вида sin (kx + b ) = a , то лучше пользоваться формулами (1).

Краткий курс школьной математики

177

p11

sin 2 x =

, имеем 2 x = (−1)n arcsin

+ π n = (−1)n

+ π n , где

n Z , тогда x = (−1)n

n - это ответ.

p12

sin

x +

= −

имеем

x +

= arcsin

−

+ 2π n

x +

= π − arcsin −

+ 2π n, n Z

x +

= −

+ 2π n

x +

= π +

+ 2π n

x = −

−

+ 2π n = −

7π

+ 2π n

= −

7π

+ 4π n

x = −

4π

+ 2π n =

13π

+ 2π n

13π

+ 4π n, n Z

это ответ.

≤ 1;e

> 1, то .

2. cos x = a , где

r единичную числовую окружность (рис. 3) и

воспользуемся определением cosα и arccosα .

-1

− π ϕ1

рис. 3

x = ϕ + 2π n = arccos a + 2π n, n Z

Ясно, что

= ϕ1 + 2π n = −ϕ + 2π n = − arccos a + 2π n

(3)

Формулы (3) легко объединить в одну x = ± arccos a + 2π n, n Z

(4)

178	В.А.Битнер

zНадо помнить, что e решаем уравнение вида cos kx = a , то удобнее пользоваться формулой (4), а e решаем уравнение

cos (kx + b ) = a , то лучше пользоваться формулой (3).

p13	cos 3x =	1	, 3x = ± arccos	1	+ 2π n = ±	π	+ 2π n, n Z , тогда

	2		2		3

x = ± π + 2π n .

Ответ:

2π

n | n Z .

p14

cos 2 x −

2 x −

= arccos

+ 2π n =

+ 2π n, n Z

2 x −

= − arccos

+ 2π n = −

+ 2π n

2 x

+ 2π n =

+ 2π n

x =

+ π n

2 x

2π n

x = π n

Ответ:

+ π n,π n | n Z .

tg x = a , где a R .

π2

Воспользуемся единичной числовой окружно-

стью, осью тангенсов

(рис. 4) и определением

tg α с точки зрения оси тангенсов, а также опре-

-1

делением arctg a .

-1

− π

рис. 4

Тогда имеем: x = ϕ + π n = arctg a + π n, n Z

(5)

Краткий курс школьной математики	179

p15

x +

= −1,

x +

= arctg (−1) + π n = −

+ π n, n Z ,

x =

= −

−

+ π n

x = −

7π

+ π n x = −

7π

+ 3π n

Ответ:

−

7π

+ 3π n | n Z .

ctg x = a , где a R .

Воспользуемся единичной числовой окружностью, осью котангенсов (рис. 5), определениями ctgα и arcctg a .

рис. 5

Тогда имеем: x = ϕ + π n = arcctg a + π n, n Z

(6)

p16

ctg

4x −

3, 4 x −

= arcctg

3 + π n =

+ π n, n Z , 4x =

+ π n =

+ π n x =

n, n Z

Ответ:

n | n Z .

Упражнения для самостоятельного решения.

p11

sin

2 x +

;

p12

cos

x −

= 0 ;

180	В.А.Битнер

p13

p14

p15

p16

p17

p18

p19

p10

p11

p12

tg (2x ) = 3 ; sin x = 0, 6 ;

cos

x = −

;

4 x −

= −0, 5 ;

sin

4 x +

= 0, 7

;

cos

ctg (2 x −1) = −

;

sin

x +

;

tg (3x + 30 ) = −

;

sin

2 x −

= 1

;

ctg2x = 0

Ответы:

p11 π n;

+ π n | n Z ;

p12

p13

n | n Z ;

p14

p15

9π

+ 6π n | n Z

;

p17

arccos

−

n | n Z ;

7 12

p19

{π + 8π n | n Z} ;

p 11

+ π n | n Z ;

3π
		+ 2π n \| n Z ;

	2

{(−1)n arcsin 0, 6 + π n | n Z} ;

p16

n | n Z

;

p18

n | n Z

;

p 10

{−20 + 60 n | n Z } ;

p 12

n | n Z .

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 4218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc