Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdf
Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
251 |
||
p 4 |
y = log 1 cos x ; |
p 5 |
y = e ln x ; |
p 6 |
y = log2 |
1 − x ; |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p 7 |
y = log 1 (1 + x) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Указание. Функция четная, так как |
f (− x) = 2 − x |
= 2 x |
= f ( x) |
|||
|
график симметричен оси 0 y . |
|
|
|
|
||
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Указание. Функция четная, так как
f (− x) = 2cos(− x) = 2cos x = f ( x) график симметричен оси 0 y .
Сначала строим график функции y1 = cos x .
252 |
|
|
|
|
В.А.Битнер |
p 3 |
|
|
|
|
|
Указание. |
Сначала строим график |
функции |
y1 = tg x . Далее |
||
заметим, |
что функция |
y = 2tg x |
- |
ни четная, ни нечетная, |
|
f (0) = 20 |
= 1, при x = π + π n, n Z , функция не существует. |
||||
|
2 |
|
|
|
|
p 4 |
|
|
|
|
|
Указание. Сначала строим график функции |
y1 = cos x . Далее |
|||||||||
заметим, |
что cos x > 0 , то есть − |
π |
+ 2π n < x < |
π |
+ 2π n, n Z , |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
f ( x) = log 1 cos x |
- четная график симметричен |
0 y и по |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свойству |
знаков |
логарифмической функции |
|
y > 0 , |
так как |
|||||
a= 1 < 1, 0 < cos x ≤ 1 2
p 5 |
eln x |
, |
e |
ln |
x |
≥ 0 |
x, e x > 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Указание. |
y = |
− ln x , eln x < 0 |
= |
1 |
|
. |
|||||
|
e |
|
|
, e0 |
< x < 1 |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
Краткий курс школьной математики |
253 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
p 6 |
|
|
p 7 |
|
|
Указание. Сначала строим график функции y1 = log 1 (1 + x) , где
2
x > −1 , потом нижнюю часть этого графика отображаем симметрично оси 0x , получаем искомый график.
3 
Краткий курс школьной математики |
257 |
|
|
Тема XXIV. Текстовые задачи.
Текстовые задачи, как правило, решают по следующей схеме: выбирают неизвестные; составляют уравнение или систему уравнений, а в некоторых задачах – неравенство или систему неравенств; решают полученную систему (иногда достаточно найти из системы какую – то комбинацию неизвестных, а не решать ее в обычном смысле).
Условно содержание текстовых задач можно классифицировать по следующим типам: задачи на «движение», задачи на «работу», задачи на покупки, задачи на «процентное содержание» и «концентрацию».
1.В задачах на «движение» движение тела происходит с постоянной скоростью, повороты предполагаются мгновенными, движение происходит по формуле S = Vt , где S - путь в км. или в м., t - вре-
мя в час, мин. или сек., V - скорость в |
км |
, |
м |
или |
м |
. |
|
|
|
||||
|
час |
мин |
|
сек |
||
a) Движение двух тел с различными скоростями V1 и V2 навстречу
друг – другу. Тогда V1 + V2 - скорость сближения и t = |
S |
- |
|
|
|||
V1 + V2 |
|||
|
|
время до встречи.
b) Движение двух тел в одну сторону (движение начато одновре-
S
менно) t = - время до встречи, где V1 − V2 - скорость
V1 − V2
удаления, (V1 > V2 ) .
258 |
|
В.А.Битнер |
|
|
|
|
|
c) Движение по течению и против течения. t = |
S |
- время по |
|
|
|||
V + U |
|||
|
|
S
течению, t = - время против течения, где V - собственная
V − U
скорость лодки или судна (например, на озере), U - скорость течения реки (или плота).
2.В задачах на «работу» верна формула A = Vt , где A - проделанная работа, V - производительность труда, t - затраченное время. Поэтому такие задачи условно также относят к задачам на «движение».
3.В задачах на «покупки» верна формула S = cn , где S - стоимость всего количества товара, c - его цена, n - количество товара. Их тоже можно условно отнести к задачам на «движение».
4.В задачах на «проценты» необходимо знать формулу процентов:
n% = p 100% , где M - масса всего тела (или раствора), p - масса
M
его части (или вещества в растворе), n% - его процентное содержание в теле (или соли в растворе).
Решение задач.
Задача 1. Два поезда отправляются навстречу друг другу из городов A и B . Если поезд из города A отправляется на 1, 5 часа раньше, чем поезд из города B , то они встретятся на середине пути. Если оба поезда выйдут одновременно, то через 6 часов они еще не встретятся, а расстояние между ними составит десятую часть первоначального. За сколько часов может проехать каждый поезд расстояние между A и B ?
Решение.
z |
В задачах на движение рекомендуется сначала сделать чертеж. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс школьной математики |
|
|
|
|
|
|
|
|
259 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n AB = S км , |
x |
|
км |
- скорость поезда из A , |
y |
км |
- скорость поезда |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ч |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|||
из B . Тогда |
|
S |
|
ч - время на половину пути 1 поезда, |
S |
|
ч - время на |
|||||||||
2x |
2 y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
половину пути 2 поезда. Из условия задачи следует, что |
|
S |
− |
S |
= 1, 5 . |
|||||||||||
2 x |
2 y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кроме того (6x + 6 y ) км. – расстояние, которое преодолели бы оба по-
езда за 6 ч., если бы они выехали одновременно, оно равно 0, 9S . По-
S |
− |
S |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
лучили систему уравнений 2x |
|
2 y |
|
2 |
, число неизвестных в сис- |
|
6x + 6 y = 0, 9S
теме больше количества уравнений, но в задаче требуется найти время, за которое каждый из поездов преодолевает расстояние S км., то есть
требуется найти |
t1 = |
|
S |
и t2 = |
S |
. Тогда 1 уравнение системы примет |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
вид t1 − t2 |
= 3 , а второе после деления обеих частей на 3S преобразует- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
− t |
|
= 3, |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
ся к виду |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
. |
Получили новую систему |
2 |
+ |
2 |
= |
3 |
. Решим |
||||||||||
|
t |
t |
|
10 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
t2 |
|
|
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
= 3 + t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ее. |
|
2 |
|
+ 2 = 3 . |
Решим 2 уравнение системы, |
|
|
получим |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 + t2 |
|
t2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
20t |
2 |
+ 60 + 20t |
2 |
= 9t |
2 |
+ 3t |
2 . 3t |
2 − 31t |
2 |
− 60 = 0, D = 961 + 720 = 1684 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
(t |
|
) |
|
= |
31 − 41 |
|
< 0 - не удовлетворяет условию |
||||||||||
2 |
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(t |
|
) |
|
= |
31 + 41 |
= 12 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получили t2 = 12, t1 = 3 + t2 |
= 3 + 12 = 15 ч. |
||||||||||||||||
Ответ: 12 ч., 15 ч. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 2. В направлении от A к B автомобиль ехал некоторое время с
постоянной скоростью V = 60 |
км |
. Остальную часть пути он проехал |
|
||
1 |
ч |
|
|
|
260 В.А.Битнер
за такое же время, но со скоростью V = 40 |
км |
. |
В противоположном |
|||||
|
||||||||
|
|
|
2 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
направлении |
автомобиль ехал одну половину |
пути со скоростью |
||||||
V = 80 |
км |
, |
а другую половину – со скоростью V = 45 |
км |
. Какова |
|||
|
|
|||||||
3 |
ч |
|
|
|
4 |
ч |
||
|
|
|
|
|
||||
средняя скорость рейса: a) из A в B? b) из B в A?
Решение.
а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежутков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то
|
V +V |
60 + 40 |
|
|
км |
|||
Vср |
= |
1 2 |
= |
|
= 50 |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
ч |
|||
б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути, |
пусть каждая |
|||||||||||||||||||||||||||||||
из них |
равна S |
км. |
Они |
|
|
|
пройдены |
автомобилем |
в неравные |
|||||||||||||||||||||||
промежутки |
|
|
|
времени, |
|
|
|
поэтому |
нельзя |
|
считать, |
что |
||||||||||||||||||||
|
V |
+V |
80 |
+ |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
км |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Vср = |
3 |
|
|
4 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 62, 5 |
|
|
|
|
|
- это неверно. Пусть автомобиль |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
||||
ехал |
x часов со скоростью V3 |
|
и y |
часов – со скоростью V4 , тогда |
||||||||||||||||||||||||||||
V x = V y = S , откуда x = |
V4 y |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S |
|
|
|
|
2V y |
|
|
|
|
2V V |
|
|
|
|
|
2 80 45 |
|
км |
|
|
|||||||||||
Vср = |
|
|
|
= |
4 |
|
= |
|
|
|
3 4 |
|
= |
|
|
|
= 57, 6 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
V4 y |
|
|
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x + y |
|
|
|
|
|
|
|
V +V |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: а) 62, 5 |
|
|
|
км |
|
|
|
|
|
км |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; b) |
57, 6 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 3. Стрекоза и муха двигаются по прямой. Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м и 30 м . Через сколько секунд расстоя-
сс
ние между насекомыми сократится с 6,5 м. до 20 см.?
Решение.