Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	181

(20)Классификация тригонометрических уравнений

oБудем называть уравнение тригонометрическим, если выполняются следующие 3 условия:

1)неизвестные находятся только под знаками тригонометрических функций;

2)под знаками тригонометрических функций находятся только линейные функции от неизвестных;

3)над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические операции.

Тригонометрические уравнения имеют, как правило, бесчисленное множество решений, это множество решений может быть, вообще говоря, и пустым.

Являются ли данные уравнения тригонометрическими?

p11	sin x + x = 0 ;
p12	cos	1	+	1	= 0 ;

		x	2

p13 lg tg x = 0 .

Ответы:

p11 не является, так как не выполняется условие 1); p12 не является, так как не выполняется условие 2);

p13 не является, так как не выполняется условие 3), логарифмирование не является алгебраической операцией.

Но решить эти нетригонометрические уравнения можно графически (1-ое) и с применением формул тригонометрических уравнений и определения логарифма (2-ое и 3-ье).

Указать какие-то общие методы для решения любых тригонометрических уравнений нельзя, но многие из них можно отнести к определенным типам и рационально решать, применяя некоторые известные методы. Хотя могут быть возможны и другие способы решения.

182

В.А.Битнер

Тип I.

Это уравнения вида T (ax + b ) = T (cx + d ) , где T -

знак

тригонометрической функции.

p11

sin 2 x +

= sin x

Решение:

Из условия равенства синусов имеем

2 x +

= x

+ 2π n, n Z

, откуда

2 x +

= π

− x + 2π n, n Z

x = −

+ 2π n

= −

+ 2π n

2π

3x =

π −

+ 2π n

, n Z

p12

cos 3x −

= cos 5x

Решение:

Из условия равенства косинусов имеем

+ 2π n,

5x =

3x −

, откуда

5x = −3x +

+ 2π n, n Z

= −

+ π n

2 x = −

2π n

8x =

+ 2π n

n, n Z

p13

tg5x = tg2 x

Решение:

Из условия равенства тангенсов имеем 5x = 2x + π n, n Z ,

от-

куда x = π n, n Z . Для котангенса решение аналогично p13.

Краткий курс школьной математики

183

Тип II.

Это уравнение вида T (ax + b ) = Tc (cx + d ) , где T и Tc -

знаки кофункций.

С помощью формулы приведения

−α такие уравнения

сводятся к уравнениям типа I.

p14

sin 3x = cos 2 x

Решение:

Перепишем уравнение в виде sin 3x = sin

− 2x и дальше

решаем уравнение аналогично p11.

Тип III.

Это уравнение вида f (T (ax + b )) = 0

- алгебраические

относительно тригонометрической функции T .

p15

2 sin 2

x − 3 sin x + 1 = 0

Решение:

Решаем это уравнение как квадратное относительно sin x .

Так как 2 − 3 +1 = 0 , то (sin x )

= 1, (sin x )

, откуда

x =

+ π n, x = (−1)n

+ π n, n Z .

Тип IV.

Это уравнение вида

f (sin (ax + b ), cos (ax + b ), tg (ax + b ), ctg (ax + b )) = 0 .

p16

(cos x − sin x ) 2tg x +

+ 2

= 0

cos x

Решение:

1. о.д.з. cos x ≠ 0, x ≠ π + π n, n Z . 2

2. Перепишем уравнение в виде:

184			В.А.Битнер

			2tg	x
	1 − tg2 x
	1 − tg2 x			2
(cos x − sin x )(2 sin x +1) + 2 cos x = 0		−		2	×
(cos x − sin x )(2 sin x +1) + 2 cos x = 0		−			×
	1 + tg2 x		1 + tg2 x

− tg2

4tg

≠

+ π n, x ≠ π + 2π n, n

1 + tg2 x

1 + tg2

2 2

Проверкой убеждаемся, что эти значения x не являются

решением данного уравнения.

3. Далее введем замену tg

= t , получим

1 − t 2

2 (1 − t 2 )

−

+ 1

= 0 .

1 + t 2

Попробовать дорешать самостоятельно.

Ответ: ± π + 2π n, n Z . 3

Тип V. Однородные тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = 0 - 1 степени,

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 - 2 степени и более высоких степеней.

Они решаются делением обеих частей уравнения на sin x ≠ 0 или cos x ≠ 0 - для уравнения 1 степени, и делением обеих частей уравнения на sin 2 x ≠ 0 или cos2 x ≠ 0 - для уравнения 2 степени.

p17

p18

sin x + cos x = 0

Решение:

Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0 , потери решений при этом не произойдет в силу 1 основного тригонометриче-

ского тождества. Получим tg x = −1, x = − π + π n, n Z . 4

3 cos2 x = 4 sin x cos x − sin 2 x

Решение:

Перепишем уравнение в виде sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0 и

Краткий курс школьной математики	185

разделим обе части уравнения на cos2		x ≠ 0 , потери решений
при этом не произойдет в силу	1	тождества.		Получим
tg2 x − 4tg x + 3 = 0 , по теореме Виета	(tg x )		= 1, (tg x )	= 3 , от-
			1	2

куда x = π + π n, x = arctg 3 + π n, n Z . 4

Тип VI. Уравнения, сводящиеся к однородным тригонометрическим уравнениям 2 степени.

Это уравнения вида a sin 2 x + b sin 2 x + c cos2 x = d . Применив 1 основное тригонометрическое тождество, получим

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d (sin 2 x + cos2 x ), откуда после приве-

дения подобных имеем (a − d )sin 2 x + b sin x cos x + (c − d )cos2 x = 0 -

однородное тригонометрическое уравнение, которое решается по типу

p19 sin 2 x + 4 sin x cos x − cos2 x = 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде

sin 2 x + 4 sin x cos x − cos2 x = 2 (sin 2 x + cos2 x ), откуда sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0 - получили p18.

Тип VII. Это уравнение вида a sin x + b cos x = c .

Оно решается многими способами, но самый рациональный – с применением формулы вспомогательного аргумента. Тогда имеем

где ϕ = arctg

, далее sin ( x + ϕ ) =

a2 + b2 sin ( x + ϕ ) = c ,

+ b

x = (−1)n arcsin

− arctg

+ π n, n Z .

+ b

p10 sin x + cos x = 1

(1)

Решение:

1 способ. sin x ± 1 − sin 2 x = 1 - очень нерационально, приводит к иррациональному уравнению, получаются лишние решения,

186 В.А.Битнер

и нужна проверка.

2 способ. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат, получим

(sin x + cos x )2 = 1 sin 2 x + cos2 x + 2 sin x cos x = 1 sin 2x = 0 ,

x = π n , где n Z . Из-за возведения в квадрат получили лиш-

ние решения, необходима проверка:

при n = 0

x1 = 0

- подставим в уравнение (1), получим

sin 0 + cos 0 = 1 1 = 1 x = 2π k , k Z

множество реше-

ний;

при n = 1

- подставим в (1), получим

sin

+ cos

= 1 1 = 1 x =

+ 2π k , k Z - множество

решений;

при n = 2

= π - подставим в (1), получим

sin π + cosπ = 1 −1 ≠ 1

4) при n = 3

3π

- подставим в

(1), получим sin

3π

+ cos

3π

= 1 −1 ≠ 1 .

Ответ: 2π k;

+ 2π k | k Z . Способ приводит к длинному и

нерациональному решению.

3 способ. Применим формулы тригонометрии, получим из (1)

2 sin

cos

+ cos2

− sin 2

= sin 2

+ cos2

2 sin

− sin

= 0

cos

sin

= 0

= π n, n Z

cos

− sin

= 0 - однородное уравнение

= 1

Краткий курс школьной математики

187

x = 2π n

+ π n x =

+ 2π n, n Z . Неплохой способ.

4 способ. Решим уравнение по типу IV – через tg

, получим

2tg

1 − tg2

из (1)

= 1 ,

где

≠

+ π n, n Z , x ≠ π + 2π n .

1 + tg

2 2

= 0

1 − tg

2tg

+ 1 − tg2

= 1 + tg2

2tg

= 0

= 1

= π n, n Z

x = 2π n

x =

+ 2π n, n Z

π n

Проверкой убеждаемся,

что

x = π + 2π n, n Z

не является ре-

шением уравнения (1). Способ неплохой, но громоздкий.

5 способ. (по формуле вспомогательного аргумента).

Из (1) имеем

x +

+ 2π n, n

2 sin

x +

= 1 sin x +

+ 2π n

x +

−

x = 2π n

x = π + 2π n, n Z

Самый рациональный и красивый способ.

p11	3 sin x − cos x = 3

Решение:

По формуле вспомогательного аргумента имеем

188	В.А.Битнер

p12

sin ( x + ϕ ) =

, где ϕ = arctg −

= −

, тогда

3 + 1

x −

+ 2π n, n Z

x =

+ 2π n

sin

x −

= π −

+ 2π n

x =

5π

+ 2π n

Ответ:

+ 2π n;

5π

+ 2π n | n Z .

3 cos x − sin x =

Решение:

По 2-й формуле вспомогательного аргумента имеем

2 cos ( x − ϕ ) =

, где ϕ = arctg −

= −

, тогда

x +

+ 2π n, n Z

x = 2π n

cos x +

x +

= −

+ 2π n

x = −

+ 2π n

Ответ:

2π n; −

+ 2π n | n Z .

уравнениям

типа

и II

сводятся и

уравнения

вида

T (ax + b ) = −T (cx + d ) и T (ax + b ) = −Tc (cx + d ) .

p13	sin 3x = − sin 2x
	Решение.
	Имеем:
	3x = −2 x + 2π n, n Z		2π
		x =		n
		x =		n
	sin 3x = sin (−2x )		5		.
	3x = π + 2x + 2π n		π + 2π n, n Z
	3x = π + 2x + 2π n	x =	π + 2π n, n Z

p14	cos 5x = − cos 3x
	Решение.

5x = π + 3x + 2π n, n Z cos 5x = cos (π + 3x )

5x = −π − 3x + 2π n

Краткий курс школьной математики	189

p15

p16

p17

x =

+ π n

x = −

n, n Z

cos 4 x = − sin 3x

Решение.

4 x =

+ 3x + 2π n, n Z

cos 4 x = cos

4 x = −

− 3x + 2π n

x =

+ 2π n

2π

x = −

n, n Z

tg2x = −ctg3x

Решение

Имеем:

ctg3x = ctg

+ 2x 3x =

+ 2x + π n, n Z x =

+ π n, n Z

Решение различных уравнений.

5 sin 2x −12 (sin x − cos x ) + 12 = 0

Решение.

1. Введем замену sin x − cos x = t , где t ≤ 2 , тогда

sin 2 x − 2 sin x cos x + cos2 x = t 2 ,1 − sin 2x = t 2 , sin 2x = 1 − t 2 ,

подставим эти значения в исходное уравнение, получим:

5 (1 − t 2 ) −12t + 12 = 0, 5t 2 + 12t −17 = 0 , так как 5 + 12 −17 = 0 ,

то t1 = 1, t2 = − 17 - не удовлетворяет условию t ≤ 2 . 5

2. Имеем

		π		π

t = 1 sin x − cos x = 1	2 sin x −		= 1 sin x −		=

		4		4

190	В.А.Битнер

x −

4 4

sin x −

x −

= π

+ 2π n

= π + 2π n, n Z

Ответ:

+ 2π n;π + 2π n | n Z .

p18

sin x sin 2x sin 3x =

sin 4x

Решение.

+ 2π n, n Z

−π + 2π n

Перепишем уравнение в виде

2 sin x sin 2 x sin 3x − sin 2x cos 2x = 0 , sin 2 x (2 sin 3x sin x − cos 2x ) = 0

sin 2x (cos 2 x − cos 4 x − cos 2x ) = 0

а) sin 2 x = 0, 2x = π n, n Z , x =

n ;

б) cos 4 x = 0, 4x =

+ π n, x =

Ответ:

n | n Z .

2 8 4

p19 Указать решение уравнения

= sin x + cos x, x [−π ;π ]

cos x

Решение

1. о.д.з. cos x ≠ 0, x ≠ π + π n, n Z . 2

2.Перепишем уравнение в виде

1 = sin x cos x + cos2 x 1 − cos2 x + sin x cos x = 0 sin 2 x +

+sin x cos x = 0 sin x (sin x + cos x ) = 0;

а) sin x = 0, x = π n, n Z ;

б) sin x + cos x = 0 - однородное уравнение 1 степени, разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0 , получим

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 4219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc