Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

t 2 e прямая проходит через конец радиуса, лежащий на ок- (обратная) ружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она яв-

ляется касательной.

t 3 e из одной точки проведены к окружности две касательные, то отрезки этих касательных равны, и биссектриса угла, образованного этими касательными, проходит через центр окружности.

См. рис.2. Здесь AK = AL, AO - биссектриса KAL .

3.Центральные и вписанные углы. Теорема о вписанном угле. Следствия.

o3 Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

рис.3

o4 Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

t 4 Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

На рис.3 DCE - вписанный, DCE = 1 DE . 2

s1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

На рис.3 DFE = DCE .

s2 Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой. См. рис.4.

n имеем (O; AO) , AB - диаметр, тогда

ACB = 900 .

рис.4

4. Метрические соотношения в окружности.

5. Вписанный и описанный треугольники.

t 5 В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Треугольник в этом случае называется описанным. Центр этой окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольни-

ка. – см. I – (1) – 20.

t6 Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Треугольник в этом случае называется вписанным. Центр этой окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. – см. I – (1) – 20.

6. Вписанный и описанный четырехугольники.

t 7 e суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. См. рис.8.

Четырехугольник в этом случае называется описанным.

e AB + CD = BC + AD и обратно.

Так, например, в любой ромб можно вписать окружность, в прямоугольник – нельзя, в трапецию – не всегда.

рис.8

t 9 e сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800 , то около него можно описать окружность.

Четырехугольный в этом случае называется вписанным. См. рис.9.

рис.9

t 10 В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800 .

То есть ABCD - вписанный, e A + C = B + D = 1800 .

7.Формулы радиусов окружностей, вписанной и описанной около треугольника.

Для прямоугольного треугольника r = a + b − c ; R = c , где c – гипо- 2 2

тенуза.

8.Правильный многоугольник, описанная около него и вписанная в него окружность.

o 5 Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Выведем формулу для вычисления угла α правильного n –

n

угольника. Сумма всех углов такого n – угольника равна (n − 2) 1800 , причем все его углы равны, поэтому

α = n − 2 1800 .

n

n

t 1 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Многоугольник в этом случае называется вписанным (все его вершины лежат на окружности).

t 2 В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Многоугольник в этом случае называется описанным (все стороны многоугольника касаются этой окружности).

s1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

s2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

9.Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусов вписанной и описанной окружностей.

n a - сторона правильного n – угольника, P – его периметр, S –

n

площадь, а r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Тогда:

r = R cos 1800 . n

Полагая в формуле 2) n = 2, 3 и 6 , получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольни-

10.Длина окружности и длина дуги окружности.

1)C = 2π R - формула длины окружности радиуса R;

πRn0

2)l = 0 = Rα - формулы длины дуги окружности с градусной

180

мерой n0 (радианной мерой α ).

11.Уравнение окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром C (a; b) в заданной прямоугольной системе координат x0 y , M ( x; y ) - произвольная точка, лежащая на окружности: ( x − a )2 + ( y − b )2 = R2 .

Правило многоугольника – см. рис.5.

3.Умножение вектора на число. Свойства. Признаки коллинеарности двух веторов.

4.Угол между векторами. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.