Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Задача 24. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.

Тема II. Основные определения и теоремы стереометрии.

(1)Основные аксиомы стереометрии и следствия из них.

a 1 e 2 точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в плоскости. – см. рис.1.

То есть e A, B a и A, B α , то a α .

рис.1

a 2 Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. – см. рис.2.

То есть e A, B, C α , то α - единст-

венная. Пишут: ( ABC ) или α .

рис.2

s 1 Через прямую и точку вне ее можно провести единственную плоскость. – см. рис.3.

s 2 Через 2 пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. – см. рис.4.

s 3 Через 2 параллельные прямые можно провести единственную плоскость. – см. рис.5.

(4)Признак параллельности двух плоскостей.

t 3 e 2 пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны (признак) 2 пересекающимся прямым другой плоскости, то эти две

плоскости параллельны. – см. рис.9.

То есть e a1 ∩ b1 , где a1 , b1 β , и a1 || a , b1 || b , где a, b α , то β || α .

рис.9

(5)Свойства параллельных плоскостей.

t 4 Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. – см. рис.10.

То есть eα || β и γ ∩ α = a,γ ∩ β = b , то a || b .

t 5 Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны. – см. рис.10.

[ AB] = [ A1 B1 ] .

рис.10

t 6 e 2 плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.

t 7 Через данную точку проходит одна и только одна плоскость, параллельная данной плоскости.

(6)Параллельная проекция и ее свойства.

n даны плоскость α и прямая l ,

называется параллельной проекцией тч. A на плоскость α относительно прямой l . – см.

рис.11.

Пишут: A1 = Прα ( A) .

рис.11

Свойства.

10. Проекция прямой есть прямая.

20. Проекции параллельных прямых параллельны.

30. Длины проекций параллельных отрезков пропорциональны длинам данных отрезков. – см. рис.12.

Построим ABCO - параллелограмм – см. рис.13. Далее построимDEFO = ZO ( ABCO) . И соединим точки C и D , A и F , получили

шестиугольник ABCDEF - изображение правильного шестиугольника, тч. O - его центр.

4)Окружность изображается в параллельной проекции в виде эллипса. – см. рис.14.

OПроведем через центр O эллипса диаметр

AB . Далее проведем хорду CD || AB , пусть

Cки O и M диаметр EF . Получим AB и

EF - изображения двух взаимноперпенди- рис.14 кулярных диаметров окружности. Они называются сопряженными диаметрами эл-

липса.

(8)Векторы в пространстве.

Тема “Векторы” была рассмотрена в планиметрии. У векторной алгебры имеется замечательная особенность: определения вектора, операций над векторами, свойства этих операций, определение скалярного произведения и его свойства одинаковы для векторов плоскости и пространства. Поэтому нет необходимости рассматривать повторно уже известное, просто продолжим.

В частности, если три вектора лежат в одной плоскости, то они задают компланарные векторы.