Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дано: ABC, C = 900 , AB = c, A = α .

Найти: B, AC, BC .

BC = c sin α , AC = c cosα , B = 900 − α .

Дано: ABC, BC = a,

Дано: ABC, BC = a,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4229 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики																																																				281

Подставим в полученную дробь найденные значения tg α и tg β ,
						2	−			12		+			1				12			−		238
							−					+										−											119															119						119
получим						5			5							25 5					=	125							= −				119					. Получили −										119			= −			119
получим											1						24				=		48						= −									. Получили −													= −
							1 −				1			+			24						48						120																		120					120
							1 −				25			+			25					25
											25						25					25
d .
Ответ: равенство верно.
5. Решить неравенство																		log			2 x (5x − 1) log3 x (7 x − 1)																						≥ 0 .
5. Решить неравенство																								15 x2 +2								11x											≥ 0 .
																						2							− 2
Решение.
Так как D (log) = R+ и по определению логарифма:

5x − 1 > 0
7 x −1 > 0																, откуда x >										1		, x ≠							1		, x ≠				1	. Заменим каждый
7 x −1 > 0																, откуда x >												, x ≠									, x ≠					. Заменим каждый
					1								1														5		3										2
	>		0,		1			,			≠		1
	>		0,		≠ 2			,			≠		3
x				x					x
множитель на выражение того же знака. Для этого найдем нули
числителя и знаменателя. log																											(5x −1) = 0 5x −1 = 1 x =																									2	;
числителя и знаменателя. log																									2 x		(5x −1) = 0 5x −1 = 1 x =																									5	;
																									2 x

log			(7 x −1)					= 0 7 x − 1 = 1 x =																						2		; 215 x2 +2 − 211x												= 0
log		3 x	(7 x −1)					= 0 7 x − 1 = 1 x =																								; 215 x2 +2 − 211x												= 0
		3 x																											7
																													7
215 x2 +2 = 211x 15x2 + 2 = 11x 15x2 −11x + 2 = 0, x =																																																	1	, x =					2	.
215 x2 +2 = 211x 15x2 + 2 = 11x 15x2 −11x + 2 = 0, x =																																																		, x =						.
																																														1	3				2	5
																																															3					5
																				x −			2				x −				1					x −					2		x	−	1
																				x −							x −									x −							x	−
Получили неравенство																							5									2									7			3			≥ 0 ,				равно-
Получили неравенство																											x −				1			x					−	2							≥ 0 ,				равно-
																															1									2

																															3									5

сильно исходному.

282																															В.А.Битнер

			1										1
	x =						и x =									получили из равенств 2x = 1, 3x = 1														. Имеем
	x =						и x =									получили из равенств 2x = 1, 3x = 1														. Имеем
			2										3
			2										1
	x		−				x −									≥ 0
	x		−				x −									≥ 0
			7										2
				1							1								1		,
	x >			1		, x ≠					1		, x =						1
	x >					, x ≠							, x =
			5							2						3

	1		2							1					2						1
	1		2							1					2						1
5			7							3					5						2
	отсюда								1	< x ≤							2	, x >					1	.
	отсюда									< x ≤								, x >						.
								5								7						2
							1			2							1
	Ответ:									;											; +∞ .
	Ответ:									;											; +∞ .
							5			7							2
Билет 2.
1. Решить систему уравнений
	x2		− 6					y 2		−		xy			− 2					x	+	11		y	− 3 = 0
			− 6							−					− 2						+	11			− 3 = 0
																										.
																										.
	x − 3 y									+ 2 + x + 2 y − 5 = x + y − 7

	Решение.
	Рассмотрим													первое									уравнение как					квадратное		относительно x
	(можно относительно y ): x2 − ( y + 2) x − 6 y 2 + 11y − 3 = 0
	D = ( y + 2)2 + 4 (6 y 2 −11y + 3) = 25 y 2 − 40 y +16 = (5 y − 4)2 ,																														отсюда
	x =				y + 2 − 5 y + 4															= −2 y + 3, x =							y + 2 + 5 y − 4		= 3 y − 1 .
	x =																			= −2 y + 3, x =									= 3 y − 1 .
1										2															2			2
										2																		2
	а)		x = −2 y + 3 -																		подставим это во							второе уравнение			системы


		−2 y + 3 − 3 y + 2 +																					−2 y + 3 + 2 y − 5 = −2 y + 3 , второй корень не
	имеет смысла, поэтому нет действительных решений.

Краткий курс школьной математики	283

б) x = 3 y −1, имеем тогда из второго уравнения

3 y − 1 − 3 y + 2 + 3 y − 1 + 2 y − 5 = 3 y − 1 + y − 7 или

5 y − 6 = 4 y − 9 ,

5 y − 6 = 16 y 2 − 72 y + 81,16 y2 − 77 y + 87 = 0, D = 5929 − 5568 = 361,

y =

77 −19

- посторонний корень, так как 4 y

− 9 < 0 ,

что не удовлетворяет E (

) = [0; +∞) . y

77 +19

= 3 . Тогда

x = 9 −1 = 8 .

Ответ: {(8; 3)} .

2. Решить неравенство

2 − x

− x

> 2 .

x − 3

−1

Решение.

Рассмотрим 3 случая:

x < 2

а)

2 − x − x

2 − 2 x

x −1

так

> 2

> 1

x −1 < x − 2

− x + 3

− 1

− x

x − 2

как x − 2 < 0 , но −1 < −2 - ложно .

б)

≤ x ≤ 3

−2 + x − x

−2

> 2

> 1

− x

− x + 3 − 1

x − 2

2 ≤ x ≤ 3

, отсюда 2 ≤ x < 3 .

> x − 2, т.к. x − 2 > 0

< 3

x > 3

в) −2 + x − x

− x + 4

> 2

< 1

< 0 ( x − 5) ( x − 4) > 0

− 4

x − 4

x − 3 −1

284	В.А.Битнер

3 < x < 4, x > 5 .

Ответ: [2; 3) (3; 4) (5; +∞) .

3.Решить уравнение sin8 x − cos5 x = 1 .

Решение.

Решение этого уравнения основывается на простом соображении: e 0 < a < 1 , то at убывает с ростом

t sin8 x ≤ sin 2 x, − cos5 x ≤ cos2 x , сложим эти два неравенства, по-

лучим sin8					x − cos5 x ≤ sin 2								x + cos2 x = 1. Следовательно, левая часть
данного уравнения равна 1 тогда и только тогда, когда
sin8 x = sin 2						x и − cos5					x = cos2 x , то есть sin x может принимать
значения −1, 0,1 , а cos x может принимать значения −1, 0 , отсюда
x =	π	+ π n, x = π + 2π n, n Z .
x =		+ π n, x = π + 2π n, n Z .
2
Ответ:			π	+ π n,π + 2π n \| n Z .
Ответ:				+ π n,π + 2π n \| n Z .
		2
														2	−	1
											1	log3 log 1 x			−
											1		8			8
4. Решить неравенство																> 1 .
4. Решить неравенство																> 1 .
											2
Решение.
																		log3 log		2	−	1			0
																	1		1 x					1				1
																			1 x
																			8			8
Перепишем неравенство в виде																						8	>			, a =			< 1 -


																	2							2				2
показательная функция убывает, следовательно,
					2		1
log3 log 1 x						−		< 0 , по свойству знаков логарифмической функ-
log3 log 1 x						−		< 0 , по свойству знаков логарифмической функ-
							8
8							8
8
						2			1										2			1				1			1
ции 0 < log					1 x			−		< 1 log 1 1 < log 1 x										−			< log 1				, a1	=		< 1 -
ции 0 < log					1 x			−		< 1 log 1 1 < log 1 x										−			< log 1				, a1	=		< 1 -
									8													8				8			8
					8				8				8					8				8			8	8			8
					8								8					8							8

Краткий курс школьной математики

285

логарифмическая функция убывает, следовательно,

< x

2 −

< 1 ,

−

> 0

получили систему квадратных неравенств

−

< 0


Получили −			3		< x < −			1	,		1		< x <		3	.


		2	2				2			2			2		2
Ответ:	−	3		; −1		1	;			3				.
Ответ:	−			; −1			;							.
		2 2				2	2					2

5.Решить уравнение 5lg x = xlg 5 = 50 .

Решение.

Легко доказать, что 5lg x = xlg 5 .			Действительно, прологарифмируем
обе	части	этого равенства	по	основанию 10, получим
lg 5lg x	= lg xlg 5	lg x lg 5 = lg 5 lg x - верное равенство. Тогда искомое
уравнение можно переписать в виде				5lg x + 5lg x = 50 2 5lg x = 50 ,
5lg x = 25 = 52 , откуда lg x = 2 и x = 100 .
Ответ: {100} .

Примечание. В каждом билете было еще по одной планиметрической и по одной стереометрической задаче, они будут рассмотрены позже – после изучения геометрии.

Геометрия

Тема I. Краткий обзор планиметрии.

(1) Треугольники.

1.Виды треугольников в зависимости от углов: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные; в зависимости от сторон: разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

2.Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Отрезок биссектрисы угла треугольника называется биссектрисой треугольника.

Высота - это отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины

на его противоположную сторону.

3.Свойства равнобедренного треугольника.

10. Углы при основании равнобедренного равны.

20. Биссектриса равнобедренного , проведенная из его вершины, является его медианой, высотой и осью симметрии.

Верны и три обратные теоремы.

4.Признаки равенства треугольников:

1-ый – по двум сторонам и углу между ними; 2-ой – по стороне и двум прилежащим к ней углам; 3-ий – по трем сторонам.

Краткий курс школьной математики	287

5.Сумма углов треугольника равна 1800 или 2d , где d - величина прямого угла.

6.Соотношение между сторонами и углами треугольника.

t 1 В треугольнике:

1)против большой стороны лежит больший угол;

2)обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Неравенство треугольника.

t 2 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

То есть e a, b, c - стороны , то a < b + c, b < a + c, c < a + b - это неравенства треугольника.

7.Некоторые свойства прямоугольных треугольников.

10. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна

900 .

20. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300 , равен половине гипотенузе.

30. e катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300 .

8.Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-ый – по двум катетам; 2-ой – по катету и острому углу;

3-ий – по гипотенузе и острому углу; 4-ый – по гипотенузе и катету.

9.Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.

oДва треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

288 В.А.Битнер

То есть ABC A1 B1C1 , e A = A1 , B = B1 , C = C1 ,

AB = BC = CA = k , где k - коэффициент подобия.

A1 B1 B1C1 C1 A1

tОтношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников.

t 1

1-ый признак подобия

t 2

2-ый признак подобия

t 3

3-ый признак подобия

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

10. Средняя линия треугольника.

oОтрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

tСредняя линия треугольника параллельна его стороне и равна ее половине.

11. Теорема Пифагора – см. в конце раздела «Треугольники».

12. Метрические соотношения в				прямо-
угольном треугольнике.
n дан	ABC , где	ACB = 900 ,		обозна-
чим	AB = c	-	гипотенуза,
BC = a, AC = b - катеты,			CH = h - высо-
та, то есть CH AB .

a = Пр a, b = Пр b - проекции катетов на гипотенузу.

Краткий курс школьной математики	289

Тогда выполняются следующие 3 соотношения:

	a	=	h		b = h2 ;
1)	c			или a
1)				или a
				c	c

hbc

2) c = a или a2 = c a ;

aac

3) c = b или b2 = c b .

bbc

13.Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

n дан ABC, C = 900 , A = α , a, b - его катеты, c - гипотенуза, тогда

sin α = a , cosα = b , tg α = a , ctg β = b . c c b a

14.Решение прямоугольных треугольников.

Решить прямоугольный треугольник – это значит по двум его элементам, из которых один обязательно линейный, найти три других неизвестных элемента.

Найти: B, AB, AC .

290

В.А.Битнер

Решение:

B = 900 − α , AB =

, AC = a ctg α

sin α

Дано: ABC, C = 900 , AB = c, BC = a .

Найти: A, B, AC .

Решение:

sin A =

откуда

по

таблице

находим

A = arcsin

; B = 900 − A = 900 − arcsin

, AC =

c2 − a2 .

Дано: ABC, C = 900 , BC = a, AC = b .

Найти: A, B, AB .

Решение:

tg A =

, откуда

A = arctg

, B = 900 − A = 900 − arctg

, AB =

a2 + b2 .

15. Свойства биссектрисы треугольника.

n дан ABC, AL - его биссектриса,

тогда BL = AB .

CL AC

16. Формула медианы.

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4229 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc