Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdf
Краткий курс школьной математики |
381 |
|
|
|
То есть, |
e OA α , где |
OA - радиус |
|
сферы ω |
и A ω , то α |
- касательная |
|
пл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис.12 |
t 3 |
|
Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу |
|
||
(обратная) |
|
этой сферы, проведенному в точку касания. |
(5)Площадь поверхности сферы Sсф. = 4π R2 ,
где R - радиус сферы; Vцил. |
2 |
, где R - радиус основания, H - |
|||||||||||||||
= π R H |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
его высота; Vкон. = |
|
|
π R H |
, где R - радиус основания, H - высота ко- |
|||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нуса. V |
|
|
= |
π H |
|
(R 2 |
+ R |
2 |
+ R R ) , где H - высота усеченного конуса, |
||||||||
ус.кон. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R и R |
|
- радиусы его оснований. V |
|
= |
4 |
π R3 . |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш. |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение задач.
Задание 1. Площадь осевого сечения цилиндра равна Q . Найдите площадь боковой поверхности.
Решение.
1) Ограничимся осевым сечением цилиндра – это прямоугольник ABCD , где AO - радиус основания конуса, AD - его образующая и высота.
2) Sбок.цил. = 2π AO AD = π AB AD = π Sосев.сеч. = π Q
(кв.ед.)
382 В.А.Битнер
Ответ: π Q кв.ед.
Задание 2. Хорда длиной a стягивает в основании цилиндра дугу α , высота цилиндра H . Найдите Sполн.цил. .
DРешение.
1)по условию ACB = α AOB = α .
2)Проведем OK AB , тогда
|
|
|
|
AK = BK = |
a |
, AOK = |
α |
|
и из |
|
|
||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
O |
|
C |
AOK : OA = |
AK |
= |
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
|
|
K |
|
α |
|
|
|
|
α . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
A |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) S |
|
= 2π OA (OA + CD) = 2 π |
a |
|
|
|
|
|
a |
+ H |
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
полн.цил. |
|
|
α |
|
|
|
|
α |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ H |
(кв.ед.) |
||
|
α |
|
|
|
|
α |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
π a |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ H |
кв.ед. |
||||
|
α |
|
|
α |
|||||||||||
|
|
sin |
|
2 sin |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Задание 3. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра образует угол α с основанием развертки, длина диагонали равна d . Вычислите угол α , при котором Sполн.цил. будет наибольшей.
Решение.
1) n прямоугольник ABCD - данная развертка, AC - его диагональ.
Краткий курс школьной математики |
383 |
|
|
2)Из ABC : AB = 2π R = d cosα , BC = d sin α , где R - радиус основания цилиндра, H - его высота. Тогда R = d cosα , где 00 < α < 900
2π
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π RH + 2π R2 = d 2 sin α cos α + 2π |
d 2 cos2 |
α |
|||||
3) |
S |
полн.цил. |
= S |
бок. |
+ 2S |
осн. |
= |
|
|
= |
||||||||||||||||
4π 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
1 |
d 2 sin 2α + |
1 |
|
d 2 |
|
(1 + cos 2α ) = |
d 2 |
(2π sin 2α + 1 + cos 2α ) . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
S ′(α ) = |
d |
|
(4π cos 2α − 2 sin 2α ), S ′ (α ) = 0 4π cos 2α − 2 sin 2α = 0 |
||||||||||||||||||||||
4π |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(: cos 2α ≠ 0, получим) tg 2α = 2π , 2α = arctg 2π ,α = |
1 |
arctg απ . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
5) |
S ′′ (α ) = |
|
d 2 |
|
(−4π sin 2α − 2 cos 2α ) < 0 при |
|
|
|
||||||||||||||||||
2π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
∩ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
α |
0; |
|
|
|
− S ′′ |
|
|
arctg 2π < 0 и из вторых достаточных усло- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
вий существования экстремума max S (α ) |
|
1 |
|
||||||
= S |
|
arctg 2π . |
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
π |
|
2 |
|
||
|
|
|
0; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Ответ: S |
|
|
будет наибольшей, если α = |
1 |
arctg 2π ≈ 40030′ . |
||||
полн.цил. |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 4. |
Радиус основания конуса |
R , угол наклона образующей к |
|||||||
плоскости основания α . Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает основание под углом ϕ . Найдите площадь сечения.
Решение.
1)SAO = α - угол образующей SA с плоскостью основания, так как
AO = Пр( ABC ) (SA) .
2)n SAB - данное сечение конуса, проведем OK AB ( AK = BK ) ,
тогда SK AB (по t о 3 ) и SKO = ϕ - линейный двугранного
AB .
384 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А.Битнер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3) |
Sсеч. |
= |
|
1 |
AB SK ; из |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
SAO : AO = R, SO = AO tg α = R tg α ; из |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
SKO : KO = SO ctg ϕ = R tg α ctg ϕ, SK = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
SO |
= |
R tg α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin ϕ |
|
|
sin ϕ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4) |
Из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
AOK : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AK = |
AO2 − OK 2 = |
|
R2 − R2 tg2 α ctg2 ϕ = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= R 1 − tg2 α ctg2 ϕ . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 tg α |
|
|
|
||
|
|
|
5) |
S |
сеч. |
= AK SK = |
|
1 − tg2 α ctg2 ϕ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ϕ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(кв.ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
R2 tg α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
1 − tg2 α ctg2 ϕ кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задание 5. |
Равнобедренный треугольник |
ABC , |
у которого |
|||||||||||||||||||
AC = BC = b и ACB = α , вращается вокруг оси, содержащей сторону AB . Найдите площадь поверхности и объем тела вращения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Из |
|
|
|
α |
|
|
|
|
α |
|
|
α |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AKC : ACK = |
, KC = b cos |
, AK = b sin |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
α |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
S |
тела вращ. |
= 2S |
бок.кон. |
= 2π KC AC = 2π b2 cos |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(кв.ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 α |
|
|
α |
|
|
|
|
|||
3) V |
= 2V |
= 2 |
|
|
π KC |
AK = |
|
π |
b |
cos |
|
|
b sin |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
кон. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
1 |
π b3 sin α cos |
α |
|
(куб.ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Краткий курс школьной математики |
385 |
|
|
Ответ: 2π b2 cos |
α |
кв.ед., |
1 |
π b3 sin α cos |
α |
куб.ед. |
|
|
|
||||
2 |
|
3 |
2 |
|
||
Задание 6. Высота усеченного конуса равна h , радиусы оснований относятся как 1 : 3 , угол между образующей и плоскостью основания
равен 450 . Найти Sполн. усеч.кон. и Vусеч.кон. .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Ограничимся |
осевым |
сечением |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конуса – это равнобедренная трапе- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция ABCD , тогда AO и BO1 |
- ра- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диусы |
его |
|
оснований. BK = OO1 |
- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высоты, AB - образующая конуса. |
|
||||||||||||||||||||||
2) n BBO1 = x , |
|
|
тогда |
|
AO = 3x, AK = AO − BO1 = 2x = BK = h . |
И |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
3h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
BO = |
|
, AO = |
, AB = h 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) S |
полн. усеч.кон. |
= S |
бок. |
+ S |
в.о. |
+ S |
н.о. |
= π ( |
AO + BO ) AB + π AO2 + π BO 2 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3h |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9h2 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π h2 |
π h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(5 + 4 2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
= π |
|
|
|
+ |
|
|
|
h 2 + π |
|
|
|
|
+ π |
|
= 2π h |
2 + |
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(кв.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
h |
|
h2 |
|
h2 |
h2 |
|
13π |
h3 |
|
||||||||||||
4) Vус.кон. = |
|
|
( |
AO2 |
+ AO BO1 |
+ BO12 ) = |
|
|
9 |
|
|
|
+ |
3 |
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
4 |
|
|
4 |
12 |
|
|
|
|
||||||||||||
(куб.ед.).
Ответ: π h2 (2, 5 + 2
2 ) кв.ед., 13π h3 куб.ед. 12
Задание 7. Расстояние от центра основания до боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равно b , угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью равен α . Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.
386 |
В.А.Битнер |
|
|
SРешение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Ограничимся чертежом правильной |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четырехугольной |
|
пирамиды |
SABCD , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ABCD - квадрат, SO - высота, O |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
- центр основания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Проведем OL CD , тогда SL CD |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(по t о 3 |
) и SLO - линейный дву- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гранного CD, OSL - угол высоты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
SO с боковой гранью SCD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
Проведем OK SL , |
|
кроме того, CD OK OK (CSD) , то есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
OK = b - расстояние от тч. O до (SCD) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
|
SO - высота вписанного конуса, OL - радиус основания, |
SL - об- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
разующая, тогда Sполн.кон. |
= π OL (SL + OL) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
Из SOK : SO = |
|
|
|
OK |
|
= |
|
|
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6) |
|
Из SOL : OL − SO tg α = |
|
b |
|
|
|
|
tg α = |
|
b |
|
, SL = |
|
OL |
= |
|
b |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α |
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
sin α sin α cosα |
|
||||||||||||
7) |
|
Sполн.кон. = π |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
+ |
b |
= |
|
|
|
π b2 |
|
|
|
|
|
(1 + sin α ) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
cos α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin α cosα |
|
|
cosα |
|
|
α sin α |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
π |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
4π b |
cos |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− α |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(кв.ед.) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cosα sin 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
cos α sin 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4π b |
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cos α sin 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 8. В конус с образующей l , которая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наклонена к плоскости основания под углом α , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вписан шар. Найти площадь его поверхности. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Краткий курс школьной математики |
|
|
|
387 |
||||||||||||
1) |
Ограничимся |
осевым |
сечением |
конуса |
– это равнобедренный |
|||||||||||
|
ASB; SAK - угол образующий SA с плоскостью основания; AK |
|||||||||||||||
|
- радиус основания конуса; O - центр вписанного в конус шара, где |
|||||||||||||||
|
SK и AO - биссектрисы ( BK = AK , SK AB ). |
|||||||||||||||
2) |
Из SAK : AK = l cosα ; |
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
Из AOK : OK = AK tg α = l cos α tg α . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
4) |
|
|
|
|
|
2 |
= |
2 |
cos |
2 |
α tg |
2 |
α |
|
|
|
S |
сф. |
= 4π OK |
4l |
|
|
(кв.ед.). |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
2 |
cos |
2 |
α tg |
2 α |
кв.ед. |
|
|
|
|
||||||
4l |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 9. В шар радиуса R вписан конус, |
образующая которого со- |
|||||||||||||||
ставляет с высотой угол α . Найти V конуса. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Ограничимся осевым сечением конуса – это |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SAB (SA = SB) ; AK - радиус основания конуса, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SK |
|
- высота |
конуса, |
AS - его образующая, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ASK = α - угол образующей с высотой конуса. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
O - центр шара, |
вписанного в конус, где |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LO AS , SK AB ( AL = SL, AK = BK ) . |
||||||
3) |
Из SOL : SL = R cosα , AS = 2SL = 2R cosα . |
|||||||||||||||
4) |
Из SAK : AK = AS sin α = 2R cosα sin α = R sin 2α , SK = |
|||||||||||||||
|
= AS cosα = 2R cos2 α . |
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
V |
|
= 1 π AK |
2 |
SK = 1 |
π R2 sin 2 2α 2R cos2 |
α = 2 π R3 sin 2 2α cos2 α |
|||||||||
|
кон. |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(куб.ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
2 π R3 sin 2 2α cos2 α куб.ед. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 10. В усеченном конусе R и r - радиусы его оснований, его |
||||||||||||||||
образующая наклонена к плоскости основания под углом α . В усечен- |
||||||||||||||||
ный конус вписан шар. Найти его объем. |
|
|||||||||||||||
388 В.А.Битнер
Решение.
1) Ограничимся осевым сечением усеченного конуса – это ABCD - равнобедренная трапеция. Ее высота MN - диаметр вписанного шара.
2) Проведем BK AD , тогда BK = MN .
Из ABK :
AK = R − r, BK = AK tg α = (R − r ) tg α = MN , MO = (R − r ) tg α .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
π OM 3 = |
4 |
π |
(R − r )3 |
tg3 α |
1 |
π (R − r ) |
3 |
tg3 α (куб.ед.) |
||||
3) V |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ш. |
3 |
|
3 |
|
8 |
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
|
1 |
π ( R − r )3 tg3 α куб.ед. |
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задачи для самостоятельного решения.
Задание 11. Имеется ли у цилиндра: 1) центр симметрии; 2) ось симметрии; 3) плоскость симметрии?
Задание 12. Радиус цилиндра равен R , высота H , площадь сечения, параллельного оси, равна S . На каком расстоянии от оси находится плоскость сечения?
Задание 13. Найти объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр с радиусом основания R и высотой H .
Задание 14. Найти объем правильной четырехугольной призмы, описанной около цилиндра радиуса R и с высотой H .
Задание 15. 1) Имеет ли конус центр симметрии? 2) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет конус?
Краткий курс школьной математики |
389 |
|
|
Задание 16. Прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим ему углом 300 вращается вокруг оси, содержащей его гипотенузу. Найти площадь поверхности тела вращения.
Задание 17. Высота усеченного конуса 6 см., радиусы оснований 10 и 2 см. Найти площадь его полной поверхности и объем.
Задание 18. Вычислите отношение площадей боковых поверхностей правильной треугольной пирамиды и описанного около нее конуса, если высота конуса 20 см., а диаметр его основания 40 см.
Задание 19. В конус вписан шар радиуса r , образующая конуса составляет с высотой угол α . Найти Vкон. .
Задание 20. Найти объем описанного около конуса шара, если его высота равна H , а образующая составляет с основанием угол ϕ .
Ответы:
Задание 11. 1) Да; 2) бесконечное множество осей симметрии; 3) кроме плоскостей, проходящих через ось, плоскостью симметрии является плоскость, проведенная через середину высоты перпендикулярно высоте.
|
|
|
S |
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3R H |
|
||||
Задание 12. |
R |
− |
|
|
ед. |
Задание 13. |
|
|
куб.ед. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2H |
|
|
4 |
|
|
|
Задание 14. 4R2 H куб.ед. Задание 15. 1) нет; 2) одну ось симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии.
Задание 16. |
1 |
π a2 |
(3 + |
|
) кв.ед. |
Задание 17. |
≈ 704 см2 ; ≈ 779 см3 . |
||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 18. |
3 |
|
30 |
|
≈ 0, 654 . |
Задание 19. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
3 |
|
3 |
|
|
0 |
|
α |
|
|
|
4π H 3 |
|||||||
|
|
π r |
ctg |
|
45 |
|
− |
|
|
ctg α куб.ед. |
Задание 20. |
|
куб.ед. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3sin3 2α |
|||||||
