Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki
.pdf
Краткий курс школьной математики |
311 |
|
|
этого угла обозначим α и будем говорить, что угол между a и
b равен α (рис.8). Ясно, что α не зависит от выбора точки O .
Итак, угол между двумя векторами – это угол между направления-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми этих векторов. Обозначается (a; b) . |
ea ↑↑ b , |
то (a; b) = 00 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ea ↑↓ b , |
|
то (a; b) |
= 1800 . |
e (a; b) |
= 900 , |
то |
a b . То |
есть |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
00 ≤ (a; b) |
≤ 1800 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
o 7 |
|
Скалярным произведением двух векторов называется произве- |
||||||||||||||||||
|
|
дение |
|
|
их длин |
на cos |
угла |
между |
ними. |
То |
есть |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b = |
|
a |
|
|
b |
cosϕ , где ϕ = (a; b) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Свойства скалярного произведения, вытекающие из определения. |
||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a b = 0 |
тогда и только тогда, когда a b , где a ≠ 0, b ≠ 0 . |
|
||||||||||||||||||
20. |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
= |
|
a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Законы скалярного умножения. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a b = b a - коммутативный закон; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
(k a) b = k (a b) - ассоциативный закон; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
30. |
(a + b) c = ac + bc - дистрибутивный закон. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Скалярное произведение в координатах. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
Скалярное произведение векторов a ( x1; y1 ) и b ( x2 ; y2 ) |
выража- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется формулой a b = x1 x2 + y1 y2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 Ненулевые векторы a ( x1; y1 ) и b ( x2 ; y2 ) перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1 x2 + y1 y2 = 0 .
312 В.А.Битнер
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Косинус |
угла ϕ между ненулевыми векторами a ( x ; y ) и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 x2 |
+ y1 y2 |
|
|
|
|
||
|
b ( x2 ; y2 ) |
выражается формулой cosϕ = |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 |
+ y 2 |
x 2 |
+ y |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
||||
(7) Движения.
1.Если каждой точке плоскости ставится в соответствие какая – то точка этой же плоскости, то говорят, что дано отображение плоскости на себя.
o 1 Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между точками, называется движением (или перемещением).
При движении отрезок отображается на равный ему отрезок, треугольник – на равный ему треугольник, прямая отображается на прямую, луч – на луч, а угол – на равный ему угол.
Примерами движения могут служить осевая симметрия, центральная симметрия, поворот и параллельный перенос.
2. Осевая симметрия. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
o 2 |
Точка |
A |
называется симметричной точке |
A относительно |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой |
a , |
|
если эта прямая перпендикулярна отрезку |
|
AA1 и |
|||||||
|
проходит через его середину (рис.1). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пишут: |
S |
( A) |
= A ; читают: точка |
A - образ точки A при сим- |
||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрии относительно прямой a . Прямая a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
называется осью симметрии. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельно: а) постройте |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
[ A1 B1 ] = Sa ([ AB]) , где [ AB] |
- отрезок AB ; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( AB) - прямая |
AB ; [ AB) - луч AB ; |
|
AB |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
рис.1 |
|
|
расстояние AB ; б) постройте |
|
|
|
|
||||
Краткий курс школьной математики |
313 |
|
|
A1B1C1 = Sa ( ABC ) .
3.Центральная симметрия.
o 3 |
|
Точка A называется симметричной точке |
A относительно O , |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если O - середина отрезка AA1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Точка O - называетсяцентром симметрии |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(рис.2). Пишут: ZO ( A) = A1 ; читают: точка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
рис.2 |
|
|
A - |
образ точки A при симметрии отно- |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сительно центра O . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Самостоятельно: а) постройте [ A1 B1 ] = ZO ([ AB]) ; б) |
постройте |
|||||||||||
|
|
|
a1 = ZO (a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Поворот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
o 4 |
|
Поворотом плоскости вокруг точки |
O на угол α называется |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M |
||||||||||||
|
|
|
отображается в |
такую |
точку |
|
|
M1 , |
что OM = OM1 и |
||||||
|
|
|
MOM1 = α . При этом точка O отображается на себя (рис.3). |
||||||||||||
|
|
|
|
Точка O называется центром поворота, |
α - |
углом |
|||||||||
|
|
|
|
поворота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пишут: R α (M ) = M |
1 |
, |
читают: точка M |
1 |
- |
образ |
|||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
точки |
M при повороте вокруг центра |
O на угол |
|||||||||
|
|
|
рис.3 |
α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что R 180 = Z .
OO
Самостоятельно: а) постройте [ A1 B1 ] = ROα ([ AB]) ;
б) A1 B1C1 = ROα ( ABC ) .
Краткий курс школьной математики |
315 |
|
|
рис.2 |
|
|
|
рис.3 |
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельно. |
|
|
|
|
|
Построить: а) A B C = H |
2 ( ABC ) ; б) A = H −1 |
( A) . |
|||
1 1 1 |
O |
|
1 |
O |
|
Нетрудно видеть, что |
−1 |
180 |
= ZO . |
|
|
HO |
= RO |
|
|
||
(9) Решение различных планиметрических задач.
Задача 1. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
Докажем, что |
BCD = A + B . |
|
|
|
Но ACB и BCD |
- смежные, |
|
|
|
|
следовательно, |
|
|
|
BCD = 1800 − ACB . |
Известно, |
|
|
|
|
|
что |
A + B + ACB = 1800 A + B = 1800 − ACB , |
следовательно, |
|||
BCD = A + B d |
|
|
||
Задачу 1 можно считать теоремой, которая называется свойством внешнего угла треугольника.
Задача 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 600 , а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26, 4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Краткий курс школьной математики |
317 |
|
|
3. |
1 = 3 |
- внутренние накрест лежащие при |
AD || BC и секущей |
|||||
|
AC AB = BC = |
x |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4. |
P = 3 AB + AD = 20 - по условию, то есть |
x + |
3x |
= 20 , откуда |
||||
|
||||||||
|
трап |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = 20 : |
5 |
= 8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: AD = 8 см.
Задача 5. Найдите площадь прямоуголной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см., а больший угол равен 1350 .
Решение.
1. Проведем CE AD , тогда CE = BA . 2. CED - прямоугольный равнобедрен-
|
|
|
|
|
|
ный , так как D = 450 и |
|
|
|
|
|
|
|
DCE = 1350 − 900 = 450 , тогда |
|
|
ED = CE = AB = 6 и AD = 6 + 6 = 12 . |
||||||
3. |
S |
|
= |
BC + AD |
AB = |
12 + 6 |
6 = 54 ( см2 ). |
трап |
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
Ответ: 54 см2 .
Задача 6. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
Доказательство.
1. Выберем произвольную точку M на основании AC ABC ( AB = BC ) и докажем, что
MK + MH = const , где MK AB и MH BC . 2. n S ABC = S и AB = BC = b . Проведем BM ,
тогда
318 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В.А.Битнер |
|
S |
|
= S |
|
+ S |
= 1 bMK + 1 bMH = 1 b (MK + MH ) = S , откуда |
|||||
|
ABC |
|
ABM |
MBC |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MK + MH = 2S = const d . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Найдите площадь равнобедеренной трапеции, у которой вы- |
||||||||||
сота равна h , а диагонали взаимно перпендикулярны. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
По условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB = CD AO = OD и |
|
|||
|
|
|
|
|
|
BO = OC , где O = AC ∩ BD . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2. |
AC BD |
(по |
условию) |
|
|
|
|
|
|
|
1 = 2 = 450 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
3 = 4 = 450 1 = 5 |
и |
|||
|
|
|
|
|
|
AH = HO = HD , |
|
аналогично |
||
|
|
|
|
|
|
3 = 6 и KO = BK = KC . |
|
|||
3. S |
трап |
= AD + BC HK = ( AH + BK ) HK = |
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( HO + OK ) HK = HK 2 = h2 . |
|
|
|
|
||||||
Ответ: S |
трап |
= h2 |
кв.ед. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами |
||||||||||
прямоугольника. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
MN - средняя линия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC MN || AC , аналогично, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
LK || AC || MN и ML || BD || |
NK . |
|
|
||
|
|
|
|
|
2. |
Но AC BD AC NK MN NK , |
||||
|
|
|
|
|
то есть MNKL - параллелограмм и прямо- |
|||||
|
|
|
|
|
угольник (по определению) d . |
|
|
|||
Краткий курс школьной математики |
319 |
|
|
Задача 9. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведенная к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
Решение.
1. По условию
AC : AB = 4 : 3, AB = BC .
2. AO - биссектриса A по свойству биссектрисы
|
|
|
|
|
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
KO |
|
AK |
|
|
|
|
|
AC |
|
4 |
|
2 |
|
= |
= |
|
2 |
= |
= |
= |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
OB AB |
AB |
|
|
2 AB 2 3 3 |
|||||||||
3. По условию BK = 30 KO = 2 BK = 2 30 = 12 (см.),
55
BO = 3 BK = 3 3 = 18 (см.)
55
Ответ: 12 см., 18 см.
Задача 10. По рисунку докажите, что |
AMB = 1 ( CLD + AKB) . |
|
|
|
2 |
Доказательство. |
|
|
По свойству внешнего угла треугольника |
||
AMB = 1 + 2 = 1 |
CLD + 1 AKB - по t о |
|
|
2 |
2 |
вписанном угле. |
AMB = 1 ( CLD + AKB) |
|
|
|
2 |
d .
Задача 11. ABCD описан около окружности радиуса r . Известно, что AB : CD = 2 : 3, AD : BC = 2 :1 . Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна S .
Решение.
320 В.А.Битнер
1. n AB = 2x, CD = 3x, BC = y, AD = 2 y .
2. По свойству описанного четырехугольника AB + CD = BC + AD , тогда имеем уравнение 5x = 3 y .
3. S |
= S |
|
+ S |
+ S |
|
|
+ S |
|
|
= |
1 |
AB OK + |
1 |
BC ON + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ABCD |
|
AOB |
|
|
|
|
BOC |
|
COD |
AOD |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
|
1 |
CD OM + |
1 |
|
AD OL = |
1 |
r ( AB + BC + CD + AD ) = |
1 |
r (5x + 3 y ) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Но S ABCD = S - по условию, составляем уравнение: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
r (5x + 3 y) = S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x = 3 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
3 |
|
S |
|
||||||||
4. Получили систему: |
|
|
|
|
|
|
|
, откуда |
y = |
, |
x = |
y = |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
+ 3 y) r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x |
= 2S |
|
|
3r |
5 |
|
5r |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда AB = |
2S |
, CD = |
3S |
, BC = |
S |
, AD = |
2S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5r |
|
5r |
|
|
|
3r |
|
|
|
3r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
2S |
, |
3S |
, |
S |
, |
2S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5r |
|
5r 3r |
|
|
|
|
3r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 12. В трапецию с основанием a и b можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение.
1. ABCD - вписанная и описанная трапеция, следовательно, по свойству вписанных четырехугольников A + C = B + D = 1800 ABCD - равнобедренная трапеция, то есть AB = CD .