Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Относительная скорость сближения равна разности их скоростей, то

м

есть V = 1, 2 − 0, 3 = 0, 9 . Расстояние, которое надо сократить насе-

с

комым, равно разности расстояний в начальный и конечный момент времени, то есть S = 6, 5 − 0, 2 = 6, 3 (м.) Следовательно, искомое вре-

мя t = S = 6, 3 = 7 (с.) V 0, 9

Ответ: 7 сек.

Задача 4. Бригада рабочих выполнила некоторую работу. Если бригаду уменьшить на 20 человек, то такой же объем работы бригада выполнит на 5 дней позже, чем при первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она выполнит всю работу на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и за сколько дней они выполнили всю работу?

2

век, которые закончили работу за 10 дней. Ответ: 60 человек, за 10 дней.

Задача 5. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй – через 2 часа после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м3 воды, а второй и третий вместе 28 м3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что

третий насос за час выкачивает на 3 м3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м3 ?

Решение.

Пусть 1 и 2 насосы выкачивают за час соответственно x и y м3 , тогда третий выкачивает за час ( x + 3) м3 . Второй и третий насосы выкачали

Задача 6. Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60 экземпляров второго тома составила 230 руб. В действительности за все эти книги уплатили 191 руб., так как была произведена скидка: на первый том – 15%, а на второй том – 20%. Найдите первоначальную цену каждого из томов.

Решение.

Пусть x руб. – первоначальная цена первого тома, y руб. – воторого, тогда 0, 85x руб. и 0, 8 y руб. – цена соответственно первого и второго томов после скидки. Тогда из условия имеем систему уравнений:

Решим второе уравнение системы, имеем:

59, 5x + 184 − 56x = 191, 3, 5x = 7, x = 2 , тогда y = 23 − 7 x = 23 − 14 = 1, 5 . 6 6

Ответ: 2 руб., 1 руб. 50 коп.

Задача 7. Восемнадцатипроцентный раствор соли массой 2 кг. разбавили стаканом воды (0,25 кг.). Какой концентрации раствор в процентах в результате был получен?

Решение.

Найдем, сколько соли находится в 2 кг. раствора. Для этого составим пропорцию:

Ответ: 16% .

Задача 8. Из 40 т. железной руды выплавляют 20 т. стали, содержащей 6 % примесей. Каков процент примесей в руде?

Решение.

Пусть в 40 т. руды содержится x т. железа. Тогда (40 − x) т. составля-

ют примеси. При выплавке стали количество железа не меняется, а количество примесей уменьшается. Из условия задачи следует, что в 20 т. выплавленной стали содержится 94 % железа, тогда x = 0, 94 20 и

Ответ: 53 %.

264 В.А.Битнер

Задача 9. Из колбы, содержащей раствор соли, отливают 1 часть рас- n

твора в пробирку и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого получившийся раствор выливают в колбу и смешивают с оставшимся в ней раствором. В результате содержание соли в растворе повысилось на p % . Определить процентное содержание соли в первоначальном растворе.

Решение.

Пусть в колбе было первоначально n литров раствора, содержащего

x % соли, что составляет nx л. воды. В пробирку отлили 1 n = 1 л. 100 n

раствора. По условию после выпаривания процентное содержание соли в пробирке повысилось вдвое; так как выпаривается только вода, а количество соли остается неизменным, то затем в колбу вылили только 0,5 л. раствора. Тогда в колбе окажется n − 1 + 0, 5 = n − 0, 5 л. раствора,

в котором по-прежнему содержится nx л. соли. По условию имеем

Ответ: p (2n − 1) %.

Задача 10. Найти все натуральные трехзначные числа, каждое из которых обладает следующими свойствами: первая цифра числа в 3 раза меньше суммы двух других его цифр; разность между самим числом и числом, получающимся из него перестановкой двух последних его цифр, неотрицательно и делится на 81.

Решение.

Пусть искомое число имеет вид xyz = 100 x + 10 y + z , где x, y, z - его цифры. Из условия, 3x = y + z и число 100x + 10 y + z − (100x + 10 z + y )

делится на 81. После упрощения получаем, что 9 ( y − z ) 81, то есть

( y − z ) 9 . По признаку делимости на 9, то это возможно только в двух случаях:

y = z + 9

искомое число 390.

Ответ: 233, 390, 466, 699.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Время, затраченное автобусом на прохождение расстояния 325 км., в новом расписании движения автобусов сокращено на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию,

если она на 10 км больше средней скорости, предусмотренной старым

ч

расписанием.

Задача 2. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 15

км , прошла вниз по течению 139 1 км. и вернулась обратно. Опреде-

лите скорость течения реки, если на весь путь затрачено 20 ч.

Задача 3. Поезд должен был пройти 220 км. за определенное время. Через 2 ч. после начала движения он был задержан на 10 мин., и, чтобы

прийти вовремя в пункт назначения, он увеличил скорость на 5 км .

ч

Найти первоначальную скорость поезда.

Задача 4. Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили посадку деревьев на учебно – опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить посадку деревьев на 6 дней скорее другой?

Задача 5. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м. больше другой, требуется обнести изгоро-

266 В.А.Битнер

дью. Найдите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2 .

Задача 6. К раствору, содержащему 40 г. соли, добавили 200 г. воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10 %. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Задача 7. Водопроводный бак наполняется двумя трубами за 2 ч. 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч. скорее, чем вторая. За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бак?

Задача 8. По окружности, длина которой 60 м., равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с. скорее другой и при этом догоняет вторую точку каждую минуту. Определите скорости точек.

Задача 9. В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десятков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.

Задача 10. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно 1,2

каждой жидкости и какова плотность смеси, если ее 8 см3 имеют массу такую же, как масса всей менее тяжелой из смешанных жидкостей?

Задача 11. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т. целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу с содержанием 75 % воды?

Задача 12. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к искомому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, то в обратном порядке. Найти число.

Задача 13. Одна бригада может убрать все поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75 % этого времени. После того, как в течении 5 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?

Задача 14. Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобилось 4 различные почтовые марки на общую сумму 840 руб. Определить стоимости марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.

Задача 15. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки «2», «3», «4» и «5». Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось на 10, а число пятерок было четным. Сколько каких оценок получили студенты группы?

Задача 16. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит 5 кг чистой меди, а второй кусок 4 кг. Сколько процентов меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на 15 % больше первого?

Задача 14. 120, 180, 240, 300 руб.

Задача 15. 11 человек получили оценку 2, 7 человек – оценку 3, 10 человек – оценку 4, 2 человека – оценку 5.

Задача 16. 25 % .

Тема XXV. Решение упражнений вступи- тельных экзаменов и вступи- тельных тестов по математике различных вузов России.

Примерные варианты вступительных экзаменов по математике Томского университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Аналогичные задания были на вступительных экзаменах Томского и Омского госуниверситетов (ТГУ и ОГУ), Томского политехнического института, магнитогорских и многих московских вузов.

как x = − 420 < 0 ,

2.После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. Сколько было учеников, если для обмена потребовалось 420 фотографий?

Решение.

Так как 420 = 21 20 , то в классе было 21 учеников, каждый из которых раздал по 20 фотографий. Задачу можно было решить составлением уравнения, тогда имеем x ( x − 1) = 420, x2 − x − 420 = 0 ,

откуда x1 = 21, x2 = −20 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 21 учеников.

3.Сумма первого и третьего членов положительной геометрической прогрессии равна 40. Первый член равен 32. Найдите четвертый член этой прогрессии.

Решение.

Ответ: -15.

5.Найдите общее решение уравнения 2 sin 2 x − 3 cos x = 0 . В ответе укажите углы (в градусах) из промежутка 00 ≤ x ≤ 3600 .

Решение.

x1 = 600 , x2 = 3000 .

Ответ: {±600 + 3600 n | n Z } , 600 , 3000 .

6.Решите уравнение ( x − 3) (3x − 2 + x + 2 ) = 4 ( x − 3) .

Решение.