Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Задача 13. Сторона равностороннего

ABC равна a . Найдите: а)

AB + BC

; б)

AB + AC

; в)

BA − BC

; г)

AB − AC

Решение.

1.

По правилу треугольника

AB + BC = AC

AB + BC

=

AC

= a .

2.

По правилу параллелограмма

AB + AC = AD = 2 AO , где

AO = a sin 600 =

a

3

, тогда

2

= 2

= a

3 .

3.

По

правилу вычитания

=

= a . Или

BA − BC = BA + CB = CB + BA = AC - по правилу .

4.

=

CB

= a d .

Решение.

1.

BM = MA = − AM = −a ;

2.

NC = AN = b ;

3.

MN = b − a

-

по правилу вы-

читания.

4. BN = AN − AB = b − 2a d .

Задача 15. M - точка пересечения ме-

диан AA1 и BB1 ABC ,

AB = p, AC = q . Выразите через эти

весторы AA1 , B1M .

Решение.

1

1

1. AA = AB + BA = AB +

BC = AB +

(AC − AB) =

1

1

2

2

1

1

1

AB +

AC =

( p + q) .

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2. B1M =

B1 B =

(AB − AB1 ) =

AB −

AC =

p −

q d .

3

3

2

3

6

3

c = xa + yb , причем числа

x, y - единственные.

Краткий курс школьной математики

323

Решение.

m

OC = OA + AC = OA +

AB =

m + n

.

= OA +

m

(OB − OA) =

n

OA +

m

OB

m + n

m + n

m + n

В частности, e AC = BC , то есть C - середина отрезка AB , то

1

1

OC =

OA +

OB .

d

Задача 17.

ABCD . Разложить AO и OB по базису (a, b) , где a = AD , b = AB .

Решение.

1

1

1

1. AO =

(AB + AD) =

a +

b ;

2

2

2

1

1

1

1

2. OB = AB − AO = b −

a +

b

= −

a +

b

или

2

2

2

2

1

1

1

OB =

DB =

1

(DA + DC )

= −

a +

b . d

2

2

2

2

Имеем

O - центр окружности, тогда

OB

= 1 + 9 = 10 = R , тогда

x2 + y2

1.

n BA = p, BC = q

и

n AB = BC = a ,

тогда

1

1

AA = BA − BA =

q − p, CC = BC − BC =

p − q

1

1

2

1

1

2

.

2. Из условия перпендикулярности двух векторов имеем:

1

1

1

1 2

1 2

AA1 CC1

= 0

q − p

p − q = 0

pq −

q −

p + pq = 0

2

2

4

2

2

BC =

b2 + c2 − 2bc cosα .

2.

По свойству биссектрисы

BD

=

c

, тогда

DC b

b

b

CD =

BC =

b2 + c2 − 2bc cos α .