Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

боковой гранью ABB A , D BC

- угол диагонали BD с боковой

гранью BCC1 B1 .

2) Из A BD - прямоугольного,

A D = d sin α , A B = d cosα .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4236 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики

351

рис.6

рис.7

Усеченная пирамида может быть правильной (если плоскостью, параллельной основанию, пересечена правильная пирамида). – см. рис.6.

На рис.6 ABCDA B C D							- правильная усеченная пирамида, O O или
			1	1	1	1	1
A K - ее высоты.
1
ABCD и A B C D - подобные квадраты.
1		1	1		1

o 9	Высота	боковой					грани правильной пирамиды называется ее
	апофемой. Аналогично – для правильной усеченной пирамиды.

На рис.7 SK - апофема.

(3)Правильные многогранники.

o 10 e все грани выпуклого многогранника – равные правильные многоугольники и число ребер, выходящих из каждой вершины, одинаково, то многогранник называют правильным.

Существует только пять видов правильных многогранников: правильный четырехгранник или правильный тетраэдр, правильный шестигранник или правильный гексаэдр (куб), правильный восьмигранник или правильный октаэдр, правильный двенадцатигранник или правильный додекаэдр, правильный двадцатигранник или правильный икосаэдр. – см. рис.8,9,10.

352

В.А.Битнер

рис.8

рис.9

рис.10

(4)Формулы площадей поверхностей и объемов призм и пирамид.

1)	Sбок.призмы = Pперп.сеч. AA1 , где				Pперп.сеч. - периметр перпендикулярного
	сечения призмы (сечения, перпендикулярного боковому ребру),
	AA - боковое ребро призмы.
		1
2)	S	бок.прям.призмы	= P	AA , где P		- периметр основания, AA - боко-
		бок.прям.призмы	осн.	1	осн.	1

вое ребро призмы.

3)Sполн.призмы = Sбок. + 2Sосн. .

4)Vпризмы = Sосн. H , где H - высота призмы (боковое ребро прямой

	призмы).
5)	S		=	1	P	h , где	P	- периметр основания правильной

		бок.прав.пир.	2		осн.		осн.
	пирамиды, h - ее апофема.
			n
6)	Sбок.пир. = ∑Si				- сумма площадей Si боковых граней ( i = 1, 2,..., n ).

i =1

7)Sполн.пир. = Sбок. + Sосн. .

H , где H - высота пирамиды.

пир.

осн.

Pн.о. + Pв.о.

h , где P

и P

- периметры нижнего и

бок.прав. усеч.пир.

н.о.

в.о.

верхнего оснований правильной усеченной пирамиды, h - ее апофема.

Краткий курс школьной математики

353

10) Sполн. усеч.пир. = Sбок. + Sн.о.

+ Sв.о. .

) , где

11) V

усеч.пир.

н.о.

+ S

в.о.

+ S

н.о.

+ S

в.о.

н.о.

и S

в.о.

- площади

нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды,

H - ее высо-

та.

Иногда объем усеченной пирамиды удобнее искать, как разность объ-

емов	полной	и	отсеченной	пирамиды;	то	есть
Vусеч.пир.	= Vполн.пир. − Vотсеч.пир. .

Тема IV. Призма, боковое ребро которой со- ставляет равные углы с прилежа- щими сторонами основания. Реше- ние различных задач на призмы.

t e боковое ребро призмы составляет равные углы с прилежащими сторонами основания, то высота призмы, опущенная из конца этого ребра, проходит через биссектрису угла, образованного этими сторонами. – см. рис.1

Доказательство. 1. По условию

A AB = A AD, A O ( ABC ) , дока-
1	1	1
жем, что AO - биссектриса BAD , то
есть докажем, что OAK = OAL .
2. A AK = A AL (по гипотенузе и
1		1

острому углу)

AK = AL AKO = ALO (по ги-

потенузе и катету) OAK = OAL , то есть AO - биссектриса BAD d .

354	В.А.Битнер

Задание 1. Найти полную поверхность и объем призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами " a " и "b " , а боковое ребро длины " c " призмы составляет с прилежащими сторонами основания равные углы α .

Решение.

По условию A AK = A AL = α , AO - высота призмы, тогда легко

доказать,

что

биссектриса

BAD ,

то есть

AOK = AIL = 450 .

OK AB , тогда A K AB (по t о трех перпендикулярах). Анало-

гично,

OL AD A L AD .

Из AA K : AK = c cos α = AL .

AKOL -

квадрат (по построению и из равенства треугольников

AKO и ALO ) AO = AK

2 = c

2 cosα .

полн.пр.

= S

бок.

+ 2S

осн.

= 2S

+ 2S

= 2ac sin α +

+2bc sin α + 2ab (кв.ед.)

= S

осн.

A O = ab A O , где

пр.

A O =

AA 2

− AO2

c2 − 2c2 cos2

α = c 1 − 2 cos2 α = c

− cos 2α -

из AA1O , причем

− cos 2α > 0, cos 2α < 0, 900

< 2α < 1800 , 450 < α < 900 .

Vпр. = abc

− cos 2α куб.ед.

Ответ:

2 (ac sin α + bc sin α + ab)

кв.ед., abc− cos 2α

куб.ед., где 450 < α < 900 .

Краткий курс школьной математики	355

Задание 2. Найти полную поверхность и объем призмы, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной " a " , а боковое ребро "b " составляет с прилежащими сторонами основания равные углы 600 .

																							Решение.
																						1)		Легко						доказать, что												высота A O


																																												1
																						призмы проходит через AM -																						биссек-



																						трису BAC , причем, A1M - медиана и



																						высота равностороннего ABC .



																						2)		OK AB A1 K AB																		(по		t о 3



																						) .
																						3)		Докажем, что BCC1B1 - прямо-
	угольник. Имеем AO = Пр																							( AA ) , причем,
																				( ABC )						1
		BC AO BC AA1															(по t о 3									), но BB1 \|\| AA1 BC BB1 .
4)		S		полн.пр.			= S	бок.			+ 2S		осн.		= 2S									+ S						+ 2S						= 2ab sin 600								+ ab +
				полн.пр.				бок.					осн.						ABB A							BCC B								ABC
																						1	1			1			1
																												a (2b					+ 2b + a							)
																						2										3							3
		+2			a + 3				= = ab						+ ab +						a	2		3	=							3							3			(кв.ед.).
					a + 3									3							a			3
					4									3									2											2
					4																		2											2
5)	V				= S				A O , где из A AK : AK = b cos 600																										=		b	, тогда из
5)	V				= S				A O , где из A AK : AK = b cos 600																										=			, тогда из
			пр.				ABC				1					1																			2
																																			2
																														2												2
																														2				3								2
	AKO : AO =											AK			=				b			=		b		. V				=	a			3		b		=			a b		(куб.ед.)
	AKO : AO =											sin 600			=							=				. V				=								=					(куб.ед.)
												sin 600				3								3				пр.						4	3							4
																2
																2
																2
Ответ:					1		(2b				+ 2b + a							) кв.ед.,								1	a2b куб.ед.
					1	a				3						3										1
					2	a				3						3										4
					2																					4

Решить самостоятельно.

Задание 3. Найти полную поверхность и объем призмы, все грани которой равные ромбы со стороной a и острым углом α .

356 В.А.Битнер

Задание 4. В основании призмы лежит равнобедренный треугольник с высотой " h " и углом при вершине 1200 . Боковое ребро призмы длиной " c " образует с прилежащими сторонами основания равные углы α .

Найти Sполн.

и V призмы.

Ответы:

Задание 3.

2 sin α кв.ед., 2a3 sin

sin

3α

sin

куб.ед.

Задание 4.

−3(1 + 2 cos 2α ) куб.ед., где

< α <

; 2h (2c sin α + h

) кв.ед.

Решение различных задач на призмы.

Задание 5. Основание прямой призмы – равнобедренная трапеция с параллельными сторонами длиной 8 и 2 см., острый угол трапеции равен 600 , угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 450 . Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

1) Проведем BK AD , тогда

AK =

AD − BC

8 − 2

= 3 ; из

ABK : BK = AK tg 600 = 3 3,

AB = 2 AK = 6

2)Из BDK : DK = 5, BD = BK 2 + KD2 = 27 + 25 = 52 = 2 13 .

3)BDD1 - прямоугольный равнобедренный DD1 = BD = 2 13 .


4) S	бок.пр.	= P	DD = (2 + 8 + 16) 2 13 = 52 13 ( см2 ).
	бок.пр.	осн.	1

Краткий курс школьной математики	357

Ответ: 52 13 см2 .

Задание 6. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, у которой большая диагональ длиной l составляет с плоскостью основания угол α .

Решение.

1) По условию призма правильная, то есть ABCDEF - правильный

	шестиугольник и	AA ( ABC ) ; BE
		1	1

- большая диагональ призмы, так

как BE - большая диагональ основания. E1 BE = α (по условию).

2)Из BEE1 : BE = l cosα , EE1 = l sin α .

3)BO = BE = l cos α .

4)Vпр. = Sосн. EE1 , где


	= 6 S AOB			= 6	BO2		3	=	3		l 2	cos2 α		=		3l 2	3 cos2	α
					BO2		3		3		l 2	cos2 α				3l 2	3 cos2	α
Sосн													3						.
Sосн					4				2			4	3				8		.
					4				2			4					8

5) V	=	3l 3	3 sin α cos2 α			=		3l3		3 sin 2α cos α					(куб.ед.)


пр.				8								16
				8								16

Ответ: 3 3 l 3 sin 2α cos α куб.ед. 16

Задание 7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда имеет длину d и составляет с прилежащими боковыми гранями углы α и β . Найдите объем параллелепипеда.

Решение.

1)	D BA		= α - угол диагонали BD с
	1	1	1

358 В.А.Битнер

3)Из BC1 D1 : C1 D1 = d sin β = AB .

4)Из

ABA : AA =		A B2	− AB2	= d 2 cos2 α − d 2 sin 2 β =
1	1	1

d cos2 α − sin 2 β .

5) V		= S	осн	AA = AB BC AA = d sin β d sin α d cos2				α − sin 2	β =
	пар		осн		1		1

= d	3 sin α sin β				cos2 α − sin 2 β		(куб.ед.)

Ответ:	d 3 sin α sin β					cos2 α − sin 2 β куб.ед.

Задание 8. Расстояние от одного из боковых ребер наклонной треугольной призмы до двух других ребер равны 5 и 6 см., двугранный угол при этом ребре равен 1200 , боковое ребро равно 8 см. Найдите объем.

Решение.

Задачу можно решить без чертежа. Из условия имеем, что две стороны перпендикулярного сечения призмы равны 5 и 6 см., они образуют ме-

жду собой

линейный

угол

двугранного угла

в 1200 .

Тогда

Vпр.

= Sперп.сеч. l , где

l = 8

см. –

длина

бокового

ребра;

5 6 3

sin1200 8 = 120

Vпр

= 60

3 ( см3 ).

Ответ: 603 см3 .

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 9. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, стороны основания которой равны 29, 25 и 6 см., а боковое ребро равно большей высоте основания.

Краткий курс школьной математики	359

Задание 10. Основание прямого параллелепипеда – ромб с острым углом ϕ и большей диагональю d ; меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол β . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Задание 11. Основание прямого параллелепипеда – ромб, у которого сторона и меньшая диагональ равны 6 см., большая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 600 . Найдите объем.

Задание 12. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α . Площадь большей боковой грани равна Q . Найдите объем.

Задание 13. В наклонном параллелепипеде стороны перпендикулярного сечения, равные 3 и 4 см., образуют угол 300 , боковое ребро параллелепипеда равно 1 дм. Найдите объем.

Задание 14. Основание призмы – равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань, проходящая через один из катетов этого треугольника, является квадратом со стороной a и образует с плоскостью основания угол α . Найдите объем призмы.

Задание 15. Основание призмы – равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой c , боковое ребро равно l и составляет с плоскостью основания угол ϕ . Найдите объем призмы.

Ответы:

2d 2 tg

tg β

Задание 9. 1320 см

Задание 10.

кв.ед.

cos

Задание 11.

≈ 561 см3 .

Задание 12.

Qc sin 2α куб.ед.

Задание 13. 60

см3 .

Задание 14.

a3 sin α куб.ед.

Задание 15.

2l sin ϕ куб.ед.

360	В.А.Битнер

Тема V. Пирамиды с равнонаклонными реб- рами и гранями. Решение различных задач на пирамиды.

t 1 e все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то: 1) около основания пирамиды можно описать окружность; 2) высота пирамиды проходит через центр этой окружности; 3) длины боковых ребер равны.

Доказательство.

1. SAO = SBO = ... = SEO -			углы
боковых ребер	пирамиды	SABC...E с
плоскостью	основания,	так	как

AO = Пр( ABC ) (SA) , BO = Пр( ABC ) (SB ) ,...,

EO = Пр( ABC ) (SE )

2. Докажем, что O - основание высоты пирамиды, является центром описанной около многоугольника ABC...E окружности, то есть докажем, что

AO = BO = ... = EO .

3. SAO = SBO = ... = SEO (по общему катету SO и острым углам)

AO = BO = ... = EO и SA = SB = ... = SE d .

t 2	e боковые ребра пирамиды равны, то: 1) около основания
(обратная)	пирамиды можно описать окружность; 2) высота пирамиды
	проходит через центр этой окружности; 3) боковые ребра
	пирамиды наклонены к плоскости основания под одинако-
	выми углами.

Доказательство – самостоятельно.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4236 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc