В любом треугольнике его стороны пропорциональны синусам
противолежащих углов. То есть
a
=
b
=
c
= 2R , где R -
sin A
sin B
sin C
радиус описанной окружности.
18.
Теорема косинусов.
Для
любого
треугольника
выполняется
равенство:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A .
19.Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким – нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник, из которых хотя бы один элемент линейный.
p1 Дано: a, b, C . Найти: c, A, B . Решение:
1)По t косинусов находим c : c = a2 + b2 − 2ab cos C .
2)По теореме косинусов cos A = b2 + c2 − a2 . Угол A находим
2bc
по таблице.
3) B = 1800 − A − C . p2 Дано: a, B, C .
Найти: A, b, c . Решение.
1)A = 1800 − B − C .
2)По t синусов находим b и c : b = a sin B , c = a sin C .
sin A
sin A
p3 Дано: a, b, c . Найти: A, B, C . Решение:
292
В.А.Битнер
1)
По t косинусов получаем: cos A =
b2
+ c2 − a
2
, по таблице
2bc
находим угол A .
2)
cos B =
a2 + c2 − a
2
, по таблице находим угол B .
2ac
3)C = 1800 − A − B .
20.Четыре замечательные точки треугольника.
t 1 Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Биссектриса – это гмт, равноудаленных от сторон угла. См. рис.1.
s Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
t 2 Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. См. рис.2.
Серединный перпендикуляр – это гмт, равноудаленных от концов отрезка.
sСерединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
t 3
Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в
одной точке.
t 4
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и в точке
пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
1.Центр тяжести треугольника – точка пересечения медиан треугольника.
2.Ортоцентр – точка пересечения высот треугольника.
Краткий курс школьной математики
293
3.Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения биссектрис треугольника. – см. рис.3.
4.Центр описанной около треугольника окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
– см. рис.4 а, б, в.
рис.1
n дан отрезок AB, O - его середина, то есть
AO = OB, OK AB , то есть
OK - серединный перпендикуляр к отрезку AB . n M OK , тогда
AM = MB .
рис.3
n дан BAC, AO - его биссектриса, точка M AO , тогда
MK = ML , где
MK AB, ML AC .
рис.2
n дан
ABC, AO и CO
-
его
биссектрисы,
где
AO ∩ CO = O , тогда точка
O - центр вписанной в ABC окружности.
Проведем
OK AC ,
OL AB, OM BC ,
тогда
OK = OL = OM - радиусы
вписанной окружности,
точки
K , L, M - точки касания.
294
В.А.Битнер
рис.4а
ABC - остроугольный
AK = KC, AL = BL,
OK AC, OL AB , то
есть OK и OL - серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB . Тогда O - центр описанной окружности, лежит внутри ABC .
OA = OB = OC - радиу-
сы описанной околоABC окружности.
21. Теорема Пифагора.
рис.4б
рис.4в
ABC - прямоуголь- ABC - тупоуголь-
ный
ный, тогда центр O
C = 900 , OK , OL -
описанной около
серединные перпен-
ABC окружности
дикуляры к сторонам
лежит вне ABC .
AC и AB . O - центр
OK и OL - середин-
описанной около
ные перпендикуляры
ABC окружности,
к AC, BC .
лежит на середине
OA = OB = OC - ра-
гипотенузы.
диусы.
OA = OB = OC - ра-
диусы этой окружности, где OC - медиана.
t1 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
То есть c2 = a2 + b2 , где a, b - катеты, c - гипотенуза.
t 2 e квадрат одной стороны треугольника равен сумме (обратная) квадратов двух других сторон, то треугольник прямо-
угольный.
z e стороны пропорциональны числам 3 : 4 : 5, то является прямоугольным и называется египетским.
Краткий курс школьной математики
295
Обобщенная теорема Пифагора.
t3 e a, b, c - стороны треугольника и при этом:
a)a2 + b2 > c2 , то треугольник остроугольный;
b)a2 + b2 = c2 , то треугольник прямоугольный;
c)a2 + b2 < c2 , то треугольник тупоугольный .
(2) Параллельные прямые.
1. Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей.
n c ∩ a и c ∩ b , при этом образуются следующие восемь углов:
1 и 7 , 2 и 8 -
внешние накрест лежа-
щие; 3 и 5 ,4 и 6 - внутренние накрест лежащие;
1 и 8 , 2 и 7 -
внешние односторонние;
3 и 6 , 4 и 5 -
внутренние односторонние; 1 и 5 , 2 и 6 , 3 и 7 , 4 и 8 - соответственные.
2.
Аксиома параллельности Евклида.
a
Через точку, лежащую вне прямой можно провести единствен-
ную прямую, параллельную данной.
3.
Признаки параллельности двух прямых.
t 1
(1-й признак)
t 2
(2-й признак)
e при пересечении двух прямых третьей внутренние или внешние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.
e при пересечении двух прямых третьей соответственные углы раны, то эти две прямые параллельны.
296 В.А.Битнер
t 3
e при пересечении двух прямых третьей сумма внут-
(3-й признак)
ренних или внешних односторонних углов равна
180
0
или 2d , то эти две прямые параллельны.
Верны и обратные теоремы, то есть e две прямые параллельны и они пересекаются третьей, то:
1)внутренние или внешние накрест лежащие углы равны;
2)соответственные углы равны;
3)сумма внутренних или внешних односторонних углов равна
1800 или 2d .
t 4 e две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Эта теорема еще называется теоремой о транзитивности параллельных прямых.
t 5 e две прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны между собой.
Верна и обратная теорема.
4. Теорема Фалеса.
t e даны две прямые и на одной из них отложены равные между собой отрезки, а через их концы проведены параллельные между собой прямые, то и на другой прямой отложатся равные между собой отрезки. См. рис.1.
n даны
две
прямые
a и b ,
AA = A A = A A , AB || A B || A B || A B
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
, тогда BB1 = B1B2
= B2 B3 .
рис.1
Краткий курс школьной математики
297
Обобщенная теорема Фалеса.
t e даны две прямые и на одной из них отложены пропорциональные между собой отрезки, а через их концы проведены параллельные между собой прямые, то и на другой прямой отложатся пропорциональные между собой отрезки – см. рис.1.
То есть AA1 : A1 A2 : A2 A3 = BB1 : B1B2 : B2 B3 .
a2 + b2 − 2ab cos C .
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Ромб, у которого все углы прямые, называется квадратом.
Равные фигуры имеют равные площади.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.