Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

- корень данного уравнения; разделим теперь обе части данного уравнения на x − 3 ≠ 0 , получим

3x − 2 + x + 2 = 4 3x − 2 = 4 − x + 2 , так как E () = [0; +∞) ,

то 4 − x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 4 x + 2 ≤ 16, x ≤ 14 .

Итак, 2 ≤ x ≤ 14 . Возведем в квадрат обе части полученного урав- 3

нения, получим

3x − 2 = 16 − 8x + 2 + x + 2, 8x + 2 = 20 − 2x 4x + 2 = 10 − x16x + 32 = 100 − 20x + x2 ,

x2 − 36x + 68 = 0, x2 = 2, x3 = 34 - не удовлетворяет условию

2 ≤ x ≤ 14 .

3

Ответ: { 2; 3} .

Решим неравенство методом интервалов.

Из а) и б) имеем x < 8 . Ответ: (−∞;8) .

9.Решите уравнение 4x −1 −12 2x −3 + 3 = 0 .

Решение.

Перепишем уравнение в виде: (2x −1 )2 − 3 2x −1 + 3 = 0 - квадратное

уравнение относительно 2x −1 , имеем: D = 9 − 12 < 0 - решений нет. Ответ: .

11.Какое число, будучи сложенным со своим квадратом, дает наименьшую сумму?

Решение.

Ответ: наименьшую сумму дает число − 1 . 2

Билет 2.

1. Упростите до числового ответа выражение

2.Теплоход прошел 9 км. по озеру и 20 км. по течению реки за 1 час. Найдите скорость теплохода по озеру, если скорость течения реки

равна 3 км .

ч

Решение.

рость теплохода по течению реки, и из условия задачи составим

xx + 3

t Виета x1 = 27, x2 = −1 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 27 км .

ч

3.Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найдите прогрессию. В ответе укажите первый член прогрессии.

Решение.

Пусть имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию x, xq, xq2 ,... , где q < 1 . Тогда x2 , x2 q 2 , x2 q4 ,... – также бесконечно

убывающая прогрессия, составленная из квадратов членов искомой

Ответ: 6.

15 ctg β − 3 = 10 ctg β + 2 , откуда ctg β = 1 = tg β .

Ответ: 1.

0 < x ≤ 2 . Целые решения из этого промежутка x1 = 1, x2 = 2 .

Ответ: {1; 2} .

10. Решить уравнение (log5 x) log x2 ( x2 + 9) = 1 .

Решение.

Так как D (log) = R+ и из определения логарифма x > 0, x ≠ 1. Вос-

ет условию x > 0 . Ответ: { 4} .

11.Найти участки возрастания функции y = ln 2 x .

Решение.

Имеем y ′ = 2 ln x 1 , решим неравенство 2 ln x > 0 , но x x

D (ln ) = R+ x > 0 , тогда из неравенства имеем ln x > 0 , но

a = e > 1 - функция возрастает, следовательно, x > 1 . Тогда из достаточных условий возрастания функции имеем, что данная функция возрастает, если x > 1 .

Ответ: (1; +∞) .

Примечание. В каждом билете было еще по одной планиметрической задаче, они будут рассмотрены позже – после изучения геометрии.

Примерные варианты вступительного экзамена по математике Южно – Уральского Государственного Университета (ЮУрГУ, бывший ЧПИ, потом ЧГТУ).

Аналогичные задания были на вступительных экзаменах в Челябинском Госуниверситете (ЧГУ), Уральском Госуниверситете (УрГУ, г. Екатеринбург), некоторых московских и санкт – петербургских вузах.

Билет 1.

3x + 2ay = 1

1.Решить систему уравнений 3(a −1) x − ay = 1.

Решение.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым урав-

2.От пристани A отправились одновременно вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км., затем повернул обратно и вернулся в A через 14 ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км. от A .

скорость катера против течения. Так как катер потратил на путь туда и обратно 14 ч., то составляем первое уравнение системы

4xy − 4 y 2 + 3xy + 3 y 2 = x2 − y 2 , 7 xy = x2 , но x ≠ 0 x = 7 y . Подста-

вим в первое уравнение системы, получим

Ответ: скорость катера в стоячей воде 14 км , скорость течения 2

ч

км .

ч

3.Решить неравенство (x-3) x2 + 4 ≤ x2 − 9 .

Решение.