Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

152

В.А.Битнер

Построение графиков функций.

p 1

π

y = 2 sin

x +

.

4

−

π

- точка сдвига.

; 0

4

2.

Далее переносим ось 0

y на

π

в положение 0 y .

1

1

4

Получаем искомый график в системе координат x0 y .

y

y

1

2

π

4

01

-2π − 3π

-π

− π

0 π

π

3π

2π x

2

2

2

2

-2

p 2

π

1

y = − cos x −

+

3

2

π

1

- точка сдвига графика.

;

3

2

1.

Строим график функции

y1 = − cos x в системе координат

x1 01 y1 .

2.

Далее переносим ось 0 y

на −

π

, тогда график сдвигается

1

1

3

на

π

по оси иксов. И ось 0

x переносим на −

1

, тогда гра-

3

1

1

2

154

В.А.Битнер

Решение упражнений

p 1

Угловая величина дуги

AB равна

2π

, а ее радиус равен 3 м.

3

Найти длину дуги AB .

Решение:

По формуле l AB

= 3

2π

= 2π ≈ 6, 28 (м.)

3

Ответ: 6, 28 м.

p 2

Длина дуги сектора равна 20 см., а ее радиус r = 15 см. Найти

площадь сектора.

Решение:

По формуле площади сектора и длины дуги имеем

Sсект =

r 2α

=

rα r

=

lr

=

20 15

= 150 ( см2 ).

2

2

2

2

Ответ: 150 см2 .

p 3

Упростить: cos4 t + 2 sin 2 t cos2 t + sin 4 t = (sin 2 t + cos2 t )2

= 1.

Доказать тригонометрические тождества для всех допустимых

значений α :

p 4

1 + ctg α

=

tgα +1

.

1 − ctg α

tgα −1

Доказательство:

Воспользуемся

свойством пропорций и докажем, что

(1 + ctg α )(tg α −1) = (tgα +1)(1 − ctg α ) ,

имеем:

tgα + tgα ctg α −1 − ctg α = tgα − tgα ctg α + 1 − ctg α ,

tgα + 1 −1 − ctg α = tgα −1 + 1 − ctg α

то есть tgα − ctg α = tgα − ctg α cd

p 5

tg2α − sin 2 a = tg2α sin 2 α

Доказательство:

Преобразуем левую часть тождества и докажем, что она равна

его правой части.

156

В.А.Битнер

3

3

1

4

5

2. по определению tgα =

= −

, ctg α =

= −

.

4

4

tgα

3

cosα

a

3.

ctgα =

1

= ±

a

.

tgα

1 − a2

p 11

Выразить через tgα = a остальные тригонометрические функ-

ции.

Решение:

1.

Имеем ctgα =

1

=

1

.

tgα

a

2.

Из 3 основного тригонометрического тождества

cosα = ±

1

= ±

1

.

1 + tg2α

1 + a2

3.

Из определения тригонометрических функций

sin α = tgα cosα = ±

a

.

1 + a2

p 12

Дано: ctgα = −7,

3π

< α < 2π .

2

Найти: sin α , cosα , tgα .

Решение:

1.

tgα =

1

= −

1

;

ctgα

7

2.

sin α = −

1

= −

1

= −

1

;

1 + ctg2α

1 + 49

2

5

3.

cosα = sin α ctgα = −

1

(−7 ) =

7

.

2

5

2

5

Пользуясь

периодичностью,

четностью или нечетностью

Краткий курс школьной математики

159

Приведите значения тригонометрических функций к значению

тригонометрической

функции

наименьшего

положительного

аргумента.

p 16

cos 17π ;