Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Краткий курс школьной математики

91

p 8

y = x2 +

x −1

−1 ;

x = 1 - нуль модуля.

При x < 1 y = x2 − x +1 −1 = x2 − x ,

при x ≥ 1 y = x2 + x −1 −1 = x2 + x − 2 .

x

2

x

e x

−

,

< 1;

Итак,

y =

2

, строим график данной сложной

x

+ x − 2, e x ≥ 1

функции.

a) Строим график функции y = x2 − x ;

1)

(0; 0)

и (0;1) - точки пересечения графика с осями коор-

динат;

2)

1

; −

1

- вершина параболы;

2 4

3)

дополнительная точка (−1; 2) .

92

В.А.Битнер

p 1

y = 2x2 + x −1;

p 2

y = 3( x −1)( x + 5) ;

p 3

y = 2x2 + x + 1;

p 4

y = 4x2 + 4x + 1 ;

p 5

y = −

1

( x − 2)2 +1 ;

2

p 6

y =

2

+ 2 x − 8

;

x

p 7

y = x2 + 2

x

− 8 ;

p 8

y = ( x −1)2 ;

p 9

y = x2 −1;

p 10

y = x2 −

x + 3

− 3 .

Краткий курс школьной математики

95

p 5 2 x2 + x + 1 > 0 ;

p 6

−9 x2 + 6 x −1 ≥ 0 ;

Ответ: R

1

Ответ:

3

o 2

Неравенства вида

ax + b

> 0,

ax + b

< 0,

ax + b

≥ 0 и

ax + b

≤ 0 ,

cx + d

cx + d

cx + d

cx + d

где a, b, c, d R, a ≠ 0, c ≠ 0 ,

называются дробно –

линейными

неравенствами. К

ним

сводятся

и неравенства вида

ax + b

> e,

ax + b

< e,

ax + b

≥ e и

ax + b

≤ e , где e R .

cx + d

cx + d

cx + d

cx + d

ax + b

(ax + b)(cx + d ) ≤ 0

2)

≤ 0

d

и т.д.

cx + d

x ≠ −

c

p 1

x − 3

> 0 ( x − 3)( x + 2) > 0

x + 2

Ответ: (−∞; −2) (3; +∞)

p 2

2 x + 1

(2x +1)(3x − 4) ≤ 0

≤ 0

4

3x − 4

x ≠

3

1

Ответ:

−0, 5;1

3

Краткий курс школьной математики

97

Отметим, что неравенство

P

(

x

)

P

(

x

)

P ( x) Q ( x) ≥ 0

P

Q

n

m

x

x

n

> 0

n

(

)

m

(

)

> 0,

n

≥ 0

.

Q ( x)

Q ( x)

Q ( x) ≠ 0

m

m

m

Для того, чтобы решить неравенство

P

x

> 0 , необходимо раз-

n (

)

Qm ( x)

ложить многочлены

n

(

) и

m ( x) на множители:

P

x

Q

P ( x) = (c x − x )k1 (c x − x )k2

…(c x − x )kn

, где c , c ,…, c R ,

n

1

1

2

2

n

n

1

2

n

k , k

,…, k

N , а x , x ,…, x - корни уравнения P ( x) = 0 .

1

2

n

1

2

n

n

x

=

1

, x

=

3

, x

= −

1

, x

= 2, x

= 0, x

= −2, x = −3

. Все эти

1

3

2

2

3

3

4

5

6

7

значения x необходимо будет исключить из решения нера-

венства, так как неравенство строгое.

2) В левую часть неравенства входят множители (3 − 2x )2 и

( x + 2)4 , которые всегда положительны при x ≠

3

и x ≠ −2 .

2

(3x −1)(3x +1)( x − 2) x ( x + 3) > 0

(1)

Краткий курс школьной математики

99

x = −2, x = 0 - нули модулей, нанесем их на числовую прямую с

учетом, что x ≠ −2

Решим неравенство на каждом из получившихся трех проме-

жутков

x < −2

x < −2

x < −2

1)

− x − 2 + x

−2

> 0

> 0

( x +

2)( x − 2) >

0

2

2

4 − x

4

− x

x < −2

x < −2

.

Получили x < −2

(1)

x − 2

< 0

x < 2

−2 < x ≤ 0

−2

< x ≤ 0

−2

< x ≤ 0

2) x + 2 + x

x +1

> 0

< 0

( x

+ 1)( x − 2) < 0

2

4 − x

( x + 2)( x −

2)

−2 < x ≤ 0

.

Получили −1 < x ≤ 0

(2)

−1 < x

< 2

x > 0

x > 0

x > 0

3) x + 2 − x

x2

( x + 2)( x − 2) < 0

2

> 0

4 −

> 0

4 − x

x > 0

.

Получили 0 < x < 2

(3)

−2 < x

< 2

Из (1), (2) и

(3)

получаем

решение исходного

неравенства:

x < −2; −1 < x < 2 . Ответ: (−∞; −2) (−1; 2) .

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить неравенства:

p 1

3x2 − 7 x + 2 < 0

p 112

x2 + 6x

≥ 0

2

4 − 3x − x

p 2

x2 − x + 2 ≥ 0

p 12

( x −1)( x − 2)( x + 2)3 x2

( x −1)( x +1)( x − 3)4

≥ 0