Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 427 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	61

тогда из (1) получим:

y +1 = −3( x −1) или y = −3x + 2 - уравнение искомой прямой,

параллельной данной прямой.

b) Из условия перпендикулярности двух прямых имеем

= −3, k

= −

, тогда из (1) получим

y + 1 =

( x −1) или y =

x −

- уравнение искомой прямой,

перпендикулярной данной прямой. Ответ:

a)y = −3x + 2 ;

b)y = 1 x − 4 .

(2)Обратная пропорциональность.

o 2 Функция вида y = k , где k R , кроме k = 0 , называется об- x

ратнопропорциональной зависимостью или обратной пропорциональностью.

Исследуем функцию y = k в общем виде. x

1. D ( y ) = (−∞; 0) (0; +∞ ) ;

2. f (− x ) =	k	= −	k	= − f ( x ) , функция нечетная, график симметричен
	− x
			x

началу координат;

3.x ≠ 0, y ≠ 0 , то есть точек пересечения с осями координат нет.

4.Знаки функции:

a)e k > 0 , то y < 0 , e x < 0 и y > 0, e x > 0 ;

b)e k < 0 , то y < 0 , e x > 0 и y > 0, e x < 0 ;

5.Возрастание, убывание функции:

a)e k > 0 ,

то функция убывает от 0 до −∞ , e x (−∞; 0) и

62	В.А.Битнер

функция убывает от +∞ до 0 , e x (0; +∞) .

b) e k < 0 ,

то функция возрастает от 0 до +∞ , e x (−∞; 0) и

функция возрастает от −∞ до 0 , e x (0; +∞) .

6.Экстремумов функция не имеет.

7.E ( y ) = (−∞; 0) (0; +∞) ;

8.График.

а) k > 0

б) k < 0

График обратной пропорциональности называется гиперболой.

Решение упражнений.

Построить графики функций

p 1	y =	2	+ 1 .

		x − 3

График легче всего строить переносом осей координат x0 = 3, y0 = 1 .

( x0 ; y0 ) или (3;1) - точки сдвига графика функции вдоль осей координат.

Построим график функции y1 = в системе координат x1 01 y1 . x

Затем перенесем ось 01 y1 на "-3", а ось 01 x1 на "-1", тем самым

x + 1

Краткий курс школьной математики	63

получим искомый график в новой системе координат x0 y .

p 2	y =	x −1	.

		x + 1
	Преобразуем выражение к виду y =			x + 1 − 2	= −	2	+ 1 и по-

x + 1

строим график данной функции так же, как в p 1. x0 = −1; y0 = 1

(3)Степенная функция

1) с натуральным показателем;

o 3 Функция вида y = xn , где n N , называется степенной функцией с натуральным показателем.

64		В.А.Битнер

r эту функцию при n = 1, 2, 3, 4,..., 2k − 1, 2k , где k N .
1 n = 1, y = x	Функция	нечетная,
.	график	симметри-
.	график	симметри-
	чен началу коорди-
	нат,
	D ( y ) = R, E ( y ) = R
	D ( y ) = R, E ( y ) = R
	O (0; 0) - точка пе-
	O (0; 0) - точка пе-
	ресечения графика
	с осями.

2n = 2, y = x2

.График называется параболой

3n = 3, y = x3

.График называется кубической параболой

4n = 4, y = x4

.График называется

Функция четная, график симметричен оси 0 y ,

D ( y ) = R, E ( y ) =

= [0; +∞ )

O (0; 0) - точка пе-

ресечения графика с осями.

Функция нечетная, график симметричен началу координат,

D ( y ) = R, E ( y ) = R

O (0; 0) - точка пе-

ресечения графика с осями.

Свойства и график схожи со свойствами и графиком функции y = x2 .

y = x3

Краткий курс школьной математики	65

биквадратной

параболой

5	n = 2k −1, y = x2 k −1
.
6	n = 2k , y = x2 k
.

- степенная функция с нечетным натуральным показателем. Свойство и график схожи со свойствами и графиком функции (при всех k N , k ≥ 2 )

- степенная функция с нечетным натуральным показателем. Свойства и график схожи со свойствами функций y = x2 и y = x4 .

2) с целым показателем;

o 4	Функция вида y = x p , где p Z , называется степенной функ-
	цией с целым показателем.
При	p = 0 y = x0 = 1 , обычно эту функцию не рассматривают, так как

она не характерна для степенной функции. При p = 1, 2, 3,…имеем степенную функцию с натуральным показателем, которая рассмотрена ранее. Поэтому рассмотрим степенную функцию с отрицательным це-

лым	показателем, то есть рассмотрим		эту функцию при
p = −1; −2; −3;…; −2k +1; −2k , k N .
1.	p = −1, y = x−1 =	1	Функция нечетная,
1.	p = −1, y = x−1 =	x	график симметричен
		x	график симметричен
			началу координат,

D ( y ) = (−∞; 0) (0; +∞ )

E ( y ) = (−∞; 0) (0; +∞)

66 В.А.Битнер

2.	p = −2, y = x−2 =	1	Функция четная, гра-
2.	p = −2, y = x−2 =	x	фик симметричен оси
	2
			ординат,

D ( y ) = (−∞; 0) (0; +∞ )

E ( y ) = (0; +∞ ) .

3.	p = −3, y = x−3 =	1
		3

4.p = −2k +1,

	y = x	−2 k +1	=	1
		−2 k +1
					2 k	−1
					2 k	−1
					x
5.	p = −2k ,
	y = x	−2 k =		1

					2 k
					2 k

Свойства и график этой функции схожи со

свойствами и графиком функции y = 1 . x

Свойства и график этой функции схожи со

свойствами и графиком функции y = 1 . x

Свойства и график этой функции схожи со

свойствами и графиком функции y = 12 . x

3) с рациональным показателем.

o 5 Функция вида y = xr , где r Q , называется степенной функцией с рациональным показателем.

r эту функцию при r =

;

;…;

;

, где n N .

2n + 1

2 3

Функция ни четная,

r =

, y = x 2 = x

ни нечетная,

D ( y ) = [0; +∞) ,

E ( y ) = [0; +∞ )

(0; 0) - точка пересе-

чения с осями коор-

динат.

Краткий курс школьной математики	67

Функция

нечетная,

r =

, y = x

3 = 3 x

график симметричен

началу

координат,

D ( y ) = R ,

E ( y ) = R ,

(0; 0) - точка пересе-

чения с осями коор-

динат.

r =

- корень четной степени из x . Свойства и

график этой функции схожи со свойствами

и графиком функции y =

x .

y = x 2 n = 2 n x

r =

- корень нечетной степени из x . Свойства и

график этой функции схожи со свойствами

2n +1

и графиком функции y =

x .

y= x 2 n +1 = 2 n +1 x

(4)Функции с модулем.

1.r функцию y = f ( x ) , она четная, значит, график ее симметричен оси 0 y . Поэтому, чтобы построить график этой функции, надо по-

строить график функции y = f ( x ) при x > 0 и отразить его сим-

метрично оси 0 y , получим искомый график - см. рис.5.

2.r функцию y = f ( x ) , она неотрицательная, значит, график этой

функции весь лежит выше оси 0x (быть может, еще и касается ее). Чтобы построить график этой функции, надо построить график функции y1 = f ( x ) и часть графика, расположенную ниже оси 0x ,

отразить симметрично оси 0x - см. рис.6.

68	В.А.Битнер

рис.1

рис.2

(5)Построение различных графиков функций.

Построить графики функций

= 2

x −

−1

Строим

график

этой функции переносом

осей

координат,

; y

= −1 ,

где точка ( x ; y

) - точка сдвига графика функ-

ции вдоль осей координат.

системе

координат

x1 01 y1 строим

график

функции

y1 = 2

x .

Переносим ось

0 y на " −

", ось 0 x - на "+1", получим иско-

мый график в системе координат x0 y .

Краткий курс школьной математики						69

y =

x +

+ 1 .

При построении графика используем тот же способ переноса

осей координат.

−

;1 -

точка сдвига.

Строим

график функции

x3 в системе координат

x1 01 y1 .

Переносим ось 0 y на "

", ось 0 x - на "-1", получим искомый

график.

70	В.А.Битнер

y = − ( x −1)2 + 1 .

		2
	1
1;		- точка сдвига, в данном случае параболы эта точка явля-
1;		- точка сдвига, в данном случае параболы эта точка явля-
	2
ется еще и вершиной параболы.
1.	Строим график функции		y = −x2	в системе координат
			1
	x1 01 y1 .

Переносим ось 0 y на "-1", ось 0 x - на " −				1	". Получим иско-
Переносим ось 0 y на "-1", ось 0 x - на " −					". Получим иско-
1	1	1	1	2
				2

мый график.

y = x −1 .

При построении графика см. (4)-2.

1.Строим график функции y1 = x −1.

2.Часть этого графика, расположенного ниже оси 0x , отобразим симметрично оси 0x , получим искомый график.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 427 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc