Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

142

В.А.Битнер

x + y = 32

xq − x = 2xq2

− 32

xq + xq 2

= 24

xq + xq2 = 24

2

xq + y = 2xq

y = 32 − x

xq

2

xq

x

x

(2q2 − q + 1) = 32

2

−

+

= 32

3. Решим систему

.

xq2

+ xq = 24

x

(

q 2

+

q

) = 24

Разделим 1 уравнение системы на второе, получим:

2q2 − q + 1

=

4

6q2 − 3q + 3 = 4q2 + 4q .

q 2 + q

3

Краткий курс школьной математики

143

2q2 − 7q + 3 = 0, D = 49 − 24 = 25, q =

7 − 5

=

1

, q

=

7 + 5

= 3 .

1

4

2

2

4

а)

q =

1

,

тогда

x =

24

= 32, y = 32 − 32 = 0

и 32,

16,

8, 0

–

1

1

2

+

4

2

искомые числа.

б)

q = 3 ,

тогда

x =

24

= 2, y = 32 − 2 = 30

и 2,

6,

18,

30

–

9 + 3

p 1

3 числа составляют геометрическую прогрессию. Если от

третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрес-

сию. Если же от второго и третьего членов этой арифметиче-

ской прогрессии отнять по 1, то снова получится геометриче-

ская прогрессия. Найти эти числа.

p 2

Найти четыре числа, первые три из которых составляют гео-

метрическую прогрессию, а последние три – арифметическую

прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних

равна 18.

p 3

Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометриче-

скую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят

арифметическую прогрессию.

Найти эти числа.

Ответы:

p 1

1; 3; 9 или

p 2

3; 6;12;18 или

p 3 3; 6;12 или

1

;

7

;

49

18

3

;11

1

; 6

3

; 2

1

27;18;12

9

9

9

4

4

4

2

Краткий курс школьной математики

145

p 1

Из (4) следует, что 90

=

π

; 30 =

π

;

45

=

π

; 60 =

π

;

2

6

4

3

360 = 2π .

p 2

Из формулы (4) также следует, что

3π

= 270 ;

2π

= 120 ;

2

3

5π

= 150 ;

−

π

= −30 .

6

6

o 2

n P (1; 0) и P

( x ; y ) , где P = Rα (P ) - см. рис.2.

0

α

α

α

α

0

0

Тогда yα = sin α - синус, xα

= cosα - косинус числа α .

Дадим словесное определение синуса и косинуса числа α .

o 2'

Синусом числа α

называется ордината

y

точки

P

( x ; y ) ,

α

α

α α

полученной в результате поворота

Rα

точки P (1; 0)

вокруг

0

0

начала координат O (0; 0) на α радиан.

Косинусом

числа

α

называется

абсцисса

x0

этой

точки

o 3

tgα =

yα

=

sin α

, cos α ≠ 0 .

xα

cosα

o 3'

Тангенсом числа α называется отношение ординаты y

точки

α

P

( x ; y

) к абсциссе x

этой же точки, при условии, что

α

α α

α

xα ≠ 0 . То есть тангенсом

α называется отношение

sin α к

cos α , когда cos α ≠ 0 .

o 4

ctgα =

xα

=

cos α

, sin α ≠ 0 .

yα

sin α

146

В.А.Битнер

o 5

secα =

1

=

1

, cosα ≠ 0 .

cos α

xα

o 5'

Секансом числа α называется величина, обратная cos α ≠ 0 .

o 6

cosecα =

1

=

1

, sin α ≠ 0 . (косеканс числа α )

yα

sin α

π

π

3.

D(tg) =

−

+ π n;

+ π n

, n Z ; E (tg) = R .

2

2

4.

D(ctg) = (π n;π + π n ), n Z ; E (ctg) = R .

π

π

, n Z ; E(sec) = (−∞; −1] [1;

+∞) .

5.

D(sec) =

−

+ π n;

+ π n

2

2

6.

D(cosec) = (π n;π + π n), n Z ; E(cosec) = (−∞; −1] [1; +∞) .

3.

1+tg2α =

1

= sec2 α ;

cos2

α

4.

1+ctg2α =

1

= cosec2 α .

2

sin

α

y

y

y

II

I

+ +

-

+

- +

- 0 -

x

-

0+

x

+ 0 -

x

III

IV

sin

cos

tg, ctg

Краткий курс школьной математики

147

Углы

π

π

π

π

3π

2π

π

5π

Триг.

0

π

2π

−

Функц.

6

4

3

2

2

3

6

4

0

1

2

3

4

3

1

−

2

sin

2

0

−1

0

−

2

2

2

2

2

2

2

3

2

1

−1

1

3

−

2

cos

1

0

0

1

−

2

2

2

2

2

2

1

−

1

tg

0

1

3

−

0

−

0

− 3

3

1

3

1

−

1

ctg

−

3 1

0

−

0

−

3

− 3

1

3

o 7

Функции вида y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x называются

основными тригонометрическими функциями.

t 1

Функция y = cos x - четная, а функции y = sin x , y = tg x и

y = ctg x - нечетные.

148

В.А.Битнер

Так как для функции f ( x ) = cos x

x R и выполняется условие

f (− x ) = cos x = f ( x ) .

o 8

e

для

функции

y = f ( x )

выполняется

условие

f ( x + T ) = f ( x − T ) = f ( x ) , где x, x + T , x − T D ( y )

и T R ,

T ≠ 0 , то эта функция называется периодической с периодом

T .

Краткий курс школьной математики

149

2

2

π

2π , то есть угол

α прилегает к горизонталь-

2

ному диаметру единичной числовой окруж-

π

0 (2π) ности (см. рис.1)

формуле приведения аргумент α вычитается

3π

или прибавляется к числам

π

или

3π

, то

2

2

2

рис.1

есть угол α прилегает к

вертикальному

диаметру (см. рис.1).

p 1

sin (π − α ) = sin α

p 2

π

cos

− α

= sin α

2

p 3

3π

tg

+ α

= −ctg α

2

p 4

cos (π + α ) = − cosα

p 5 sin (π + α ) = − sin α

150

В.А.Битнер

p 6

tg (π − α ) = −tgα

p 7

ctg

3π

−

= tgα

α

2

(8)

Графики тригонометрических функций.

1.

y = sin x

- синусоида.

При построении графика воспользовались

формулой приведения sin (π − x ) = sin x , нечетностью (график сим-

метричен

началу

координат)

и

периодичностью

функции

y = sin x (T = 2π ) .

y

1

2

1 2

2

0

-3π

-2π 3π

-π

π π π

π

3π

2π

3π

x

2

6

3

2

2

-1

рис.1

2.

y = cos x -

косинусоида или синусоида. График функции

y = cos x

можно построить, как график функции y = sin

π

, то есть пе-

x +

2

реносом у графика функции

y = sin x

оси

0 y

на

π

- см.рис.1 и

2

рис.2.

y

1

3

1 2

2

0

-2π − 3π

-π

− π

5 π π

π

3π

2π x

2

2

6

3

2

2

-1

рис.2