Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4242

Краткий курс школьной математики	411

3)	Из SKC : SK = SC sin α = 2R sin 2 α , KC = SC cosα = 2R sin α cosα .
																											2
														1												1	2						3
4)	V			= V (α )							=			1	S			SK =								1	AB						3			SK , где
4)	V			= V (α )							=				S			SK =																		SK , где
	пир.										3					осн.										3	4

	AB = KC 3 = 2R 3 sin α cosα , так как KC - радиус окружности,
	описанной около ABC . Тогда

	V (α ) =					1			3R2 sin 2 2α 3															2R sin 2 α =													3		R3 sin 2 2α sin 2 α .
	V (α ) =																							2R sin 2 α =															R3 sin 2 2α sin 2 α .
					3						4																										2
					3																											3
					3							3		(sin 2 2α sin 2 α )′ =																		3		3
5)	V ′ (α ) =						R					3																			R			3			(4 sin 2α cos 2α sin 2 α +
5)	V ′ (α ) =																															2					(4 sin 2α cos 2α sin 2 α +
					2																											2
	+ sin 2 2α 2 sin α cos α ) ,
	V ′ (α ) = 0 4 sin 2α cos 2α sin 2 α + sin3 2α = 0
	sin 2α (4 cos 2α sin 2 α + sin 2 2α ) = 0																																						,
	sin 2α (4 cos 2α sin 2 α + sin 2 2α ) = 0
	но sin 2α = 0 - не удовлетворяет условию, отсюда
	4 cos 2α sin 2 α + sin 2 2α = 0 , 2 cos 2α (1 − cos 2α ) +1 − cos2 2α = 0
	(1 − cos 2α )(2 cos 2α + 1 + cos 2α ) = 0 , но 1 − cos 2α = 0 - не удов-
	летворяет условию, отсюда
	3 cos 2α + 1 = 0, 3 cos2 α − 3sin 2 α + sin 2 α + cos2 α = 0 −2 sin 2 α +
	+4 cos2 α = 0 - однородное, разделим на −2 cos2 α ≠ 0 , получим
	tg2 α = 2, tg α =
	tg2 α = 2, tg α =																2 ,α = arctg												2 . tg α = − 2 - не удовлетворяет ус-
	ловию. V ′									π			> 0,V						′		π					< 0 из первых достаточных условий
	ловию. V ′												> 0,V						′							< 0 из первых достаточных условий
									4											3
	существования экстремума

																										3
	max V				(α ) = V (arctg														2 )			=				3		R3 sin 2 2α sin 2 α , где


	0;	π																								2
	0;																									2
		2
																				2 tg α
	tg α =							sin 2α =																			=			2		2			=			2		2	; sin α = tg α cosα =
						2																								2		2						2		2
						2													1 + tg2 α
																			1 + tg2 α								1 + 2												3
				tg α																																			3							3
																																							3							3
	=										=					2			=				2		, тогда max V														(α ) =			R	3	8	2	=	8R	3
	=										=								=						, тогда max V														(α ) =							=
			1 + tg2 α								1 + 2											3												0;		π			2 9 3							27
			1 + tg2 α								1 + 2											3												0;					2 9 3							27
																																				2

(куб.ед.)

412			В.А.Битнер

3
3
Ответ: наибольший объем пирамиды равен	8R	3	куб.ед.
Ответ: наибольший объем пирамиды равен			куб.ед.
27

Примерные варианты и тесты вступитель- ных экзаменов по математике различных ву- зов России.

(для самостоятельного решения)

ТУСУР

Билет 3

1. Упростите до числового ответа выражение

(

+ 1)( x +1) −1

x −1

2 x

− x +

x + 1

x +1

1 − x x .

2.Автобус проходит расстояние между пунктами M и N за 1,5 часа. Если его скорость увеличить на 4 км. в час, то это же расстояние автобус проедет на 15 минут быстрее. Найдите расстояние между

M и N .

3.Сумма второго и четвертого членов убывающей арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого членов равно 28. Найдите первый член прогрессии.

4.Решите уравнение (x2 − 9) (x + 2 − x − 3 ) = x2 − 9 .

5.	Решите уравнение		10 − x			−		x − 20		= 10 .
					2 −		x +3
					2 −		x
6.	Решите неравенство								≥ 12, 5 .
6.	Решите неравенство								≥ 12, 5 .
					7
												1
		1							log			1
											2
											2
7.	Вычислите log7 3			log3 49 + 4									3 .
7.	Вычислите log7 3			log3 49 + 4									3 .
		9
	Решите уравнение (lg ( x +						20) − lg x)					log x 0,1 =		4 lg 3
8.															.
8.															.
														log0,1 81

Краткий курс школьной математики	413

9. Упростите до числового ответа выражение

2(sin 2 α + sin 2 (1200 + α ) + sin 2 (α −1200 )) ,

10.Найдите общее решение уравнения

2ctg (3x + 300 ) cos 3x + ctg (3x + 300 ) = 0 .

11.Периметр равнобедренного треугольника равен 30. Высота, проведенная из вершины, отсекает треугольник, периметр которого равен 18. Найдите длину этой высоты.

12. В каких точках касательная к графику функции y = x + 2 образует

						x − 2
угол в 1350		с осью Ox ? В ответе укажите абсциссы этих точек.
Ответы.
1. 1; 2. 30 км.		3. a1 = 14 ;		4. { 3; 7} ; 5. [20; +∞) ;		6. (0; 3] ; 7. −1 ;
8. { 5} ;	9.	3;	10.	{ 200 + 600 n; ±400 +1200 k , n, k Z } ; 200 ; 400 ;
11. 3 ед.;	12. 0; 4.
Билет 4

					x2 ( x + 4)2 −16x
1. Упростите алгебраическое выражение							− 14 и най-
1. Упростите алгебраическое выражение							− 14 и най-

x − 4

дите его значение при x = 8 .

2.Первый рабочий может выполнить некоторую работу на 4 часа быстрее, чем второй. Вначале они 2 часа работали вместе, после чего оставшуюся работу закончил один первый рабочий за 1 час. За сколько часов может выполнить всю работу второй рабочий?

3.Три числа составляют геометрическую прогрессию со знаменателем –3. Если ко второму числу прибавить 32, то получится арифметическая прогрессия. Найдите первый член прогрессии.

4. Решите уравнение	x2 −	1	= 2 ( x − 1) .

	x + 1 + 4
	x + 1 + 4

5.Решите неравенство x − 10 − 6 − x ≥ 2 − 2x .

6.Решите уравнение 14 4 x − 2 + 3 14 x −2 − 2 49 x −2 = 0 .

414														В.А.Битнер

		log16 7					log	21 100
		log16 7
7.	Вычислите 3 log4 7 5log25 21−log5				3					.

				1							4
8.	Решите неравенство		log x			− log			4			< 1 .
8.	Решите неравенство		log x			− log			4			< 1 .
				16						x
			4	16						x
9.	Вычислите 7 tg 2α , если cos (α − 900 )										= 0, 6; 900 < α < 1800 .
10. Найдите общее решение уравнения											2 sin 2		x	+ cos 2x = 3 . В ответе
10. Найдите общее решение уравнения											2 sin 2			+ cos 2x = 3 . В ответе
												2

укажите углы (в градусах) из промежутка 00 ≤ x ≤ 7200 .

11.В равнобочной трапеции длины боковых сторон и меньшего основания равны 4 см, диагонали трапеции образуют угол в 600 . Найдите длину большего основания.

12. Найдите наименьшее значение функции y =				10 x	на отрезке [2; 3] .
12. Найдите наименьшее значение функции y =				2	на отрезке [2; 3] .
				2
				1 + x
Ответы.
1. –22;	2. За 8 час.;	3. b1 = 4 ;	4. {1;15} ;	5. [−1; +∞) ; 6. {3} ;
7. 10; 8. (0;1) (4; 64) ;		9. –24;	10. {1800 + 3600 n, n Z } ,1800 , 5400 .
11. 8 см.;	12. min f ( x) = −5 .
	[−2;3]

Примерные варианты ЮурГУ, УрГУ, некоторых московских и санкт-петербургских вузов.

Вариант 1
1.	Решите уравнение ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 4) = 120 .
		x	2	+	y	−	z	= −1
	2			+		−		= −1
2.	Решите систему уравнений z + y − 2x = 1 .
		4	+ zy			− y = 1
	x		+ zy			− y = 1

3.От пристани A одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км., затем повернул обратно и вернулся в A через 14 час. Найдите скорость катера в

Краткий курс школьной математики								415

	стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил
	плот на обратном пути на расстоянии 24 км. от A .

4.	Решите неравенство	2 −		x + 2	> x − 2 .

5.	Решите уравнение 3sin 2x + 2 (sin x − cos x) = 2 .
6.	Решите уравнение log		(2 x2 + 36x + 1) = log				8	+ cos2	117π	.
6.	Решите уравнение log		(2 x2 + 36x + 1) = log			4	8	+ cos2		.
		x +19				4		4
								4

7.Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4 и 5, а двугранные углы при основании равны 600 .

Ответы.

1. { −6;1}

;

2. { (1; 0; 3)} , (−1; −2;1) . Указание: выразить z = 1 + 2 x − y из

второго

уравнения и подставить в

первое

и третье.

3. 14

км

;

4. [ −2; 2]

;

+ π n, arctg 3 + π n, arctg

+ π n | n Z . Указание: вве-

сти замену y = sin x − cos x ; 6. { 20} ;

куб.ед.

7. 2

Вариант 2

2x + y + z = 7 1. Решите систему уравнений x + 2 y + z = 8 .

x + y + 2 z = 9

2.Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одновременно. Первый и третий насосы закончили работу одновременно, а второй – через 2 ч. после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м3 воды, а второй и третий вместе 28 м3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м3 больше, чем первый, и что три

насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м3 .

			2 x −1

3.	Решите неравенство x 3− x			> 1 .
		sin 4		α + cos4 α −1	2
4.	Докажите тождество				=	.
4.	Докажите тождество	sin6		α + cos6 α −1	=	.
		sin6		α + cos6 α −1	3

416	В.А.Битнер

5.Решите неравенство log3 (log2 (2 − log4 x) − 1) < 1 .

6.Функция задана формулой f ( x) = e− x ( x2 + 3x + 1) . Решите уравне-

ние f ′ ( x) = 2 f ( x) .

7.Величина угла между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания равна величине плоского угла при вершине пирамиды. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Ответы.
1. { (1; 2; 3)}			2. 3 м3 , 5 м3 и 6 м3 . 3.	0;	1	(1; 3) . 5. (2−28 ;1) .
1. { (1; 2; 3)}			2. 3 м3 , 5 м3 и 6 м3 . 3.	0;		(1; 3) . 5. (2−28 ;1) .
				2
6. 0; −	7	.

			7. arctg 5 + 1 .
			7. arctg 5 + 1 .
	3

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4242

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc