Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4238 39 40 41 42 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики

371

3 (a + b) (a − b) 3

6. Sполн. ус.пир. =

2 62 cosϕ

2 ϕ

+ cosϕ )

(1 − cosϕ ))

cos

− b

sin

3 (a

− b

4 cosϕ

2 cosϕ

(кв.ед.)

Ответ:

a2 cos2

− b2 sin 2

кв.ед.

2 cosϕ

Задание 15. Основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами 8 и 4 см.; одна из боковых граней, являющаяся равнобедренной трапецией, перпендикулярна к плоскостям оснований, а противолежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 600 . Найдите Sбок. усе-

ченной пирамиды.

						Решение.
					1.		Так как ( ADD1 ) ( ABC ) ,						то






						высота OO1 пирамиды лежит в



						этой грани, причем,					AO = OD и
						A O = O D , так как AA = DD .
					1		1	1	1		1	1
						2. O1 L BC SL BC						-	по
						2. O1 L BC SL BC						-	по
						t о 3 K1LK - линейный
						t о 3 K1LK - линейный
						двугранного BC .
						двугранного BC .
					3.		AA B B -			прямоугольная
								1	1
трапеция,				так как AO AB SA AB						(по	t о		3
), CDD C = ABB A .
	1	1	1		1
4. BCC1B1		-	равнобедренная трапеция,					так	как	ASB = CSD			и
A SB = C SD (по 2 катетам).
1	1	1	1

372 В.А.Битнер

																						AD + A D
5. S					= S						+ S			+ 2S				=					1 1			OO	+
5. S		бок. усеч.пир.			= S						+ S			+ 2S				=								OO	+
		бок. усеч.пир.					ADD A					BCC B			ABB A								2		1
					1					1			1	1		1	1						2
					1					1			1	1		1	1
			BC + B C									AB + A B						8 + 4						(OO			2 AA ) =
	+			1 1		K L +					2			1 1	AA	=									+ K L +
	+					K L +					2				AA	=									+ K L +
			2		1								2		1			2					1		1		1	.
			2										2					2										.
	= 6 (OO + K L + 2 AA )
			1		1						1
6.	Из

	KK L : KL = 8 − 4 = 4, K L = 2KL = 8, KK = KL tg 600 = 4 3 = OO .
			1										1								1							1

7.	Проведем					A H AD ,							тогда		A H \|\| OO									и A H = OO = 4 3 . Из
					1										1						1				1		1

	AA H : AH = 8 − 4 = 4, AA = AH 2															+ A H 2							= 16 + 48 = 8 .
			1										1					1
				= 6 (4						+ 8 + 2 8) = 24 (6 +										) ( см2 ).
8.	S	бок. ус.пир.		= 6 (4					3	+ 8 + 2 8) = 24 (6 +									3	) ( см2 ).
		бок. ус.пир.
Ответ: 24 (6 +								) см2 .
Ответ: 24 (6 +							3	) см2 .

Задание 16. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, площади боковых граней равны S1 , S2 , S3 . Докажите, что объ-

ем пирамиды равен												1
												1		2S S			S	3		.
														2S S			S			.
											3				1	2
											3
																Доказательство.
																1. Расположим пирамиду так, чтобы два
																перпендикулярных ребра располагались в
																основании пирамиды, а третье боковое
																ребро								AB ( BCD) ,									так как AB BC и
																	AB BD - признак																прямой и плоско-
																сти. Получили AB - высота пирамиды.
																2. V								=			1	S		AB =				1	1	BC BD AB ,
																											1							1	1

																					пир.						3		осн.				3 2
																тогда
	V	2			=	1	1		BC 2 BD2 AB2 =										1		2		1		BC AB						1	BC AD					1	AD AB =
	V		пир.		=				BC 2 BD2 AB2 =												2				BC AB							BC AD						AD AB =
			пир.		9		4											9				2								2			2
					9		4											9				2								2			2
=			1	2S S				S			V				=	1											d .
			1				2			3						1				2S S				S		3
																				2S S				S
		9			1								пир.			3				1		2
		9														3

Краткий курс школьной математики	373

Задание 17. Все ребра треугольной пирамиды SABC , кроме ребра AB , имеют длину a , величина плоского угла ACB равна α . Найдите объ-

ем.

Решение.

1. Так как SA = SB = SC = a (по условию), то высота SO пирамиды проходит через центр O описанной околоABC окружности, то есть

O = KO ∩ CM , где KO и CM - сере-

динные перпендикуляры к сторонам.

Из

COK : OC =

cos

2 cos

так как

CM - высота,

медиана и бис-

сектриса.

Из SOC : SO =

SC 2 − OC 2

−

4 cos

− 1 =

2 + 2 cos α − 1 =

2 α

4 cos

2 cos

2 (cosα + cos 600 ) =

2 cos α +

2 cos

−

cos

a2 sin α 2 sin

SO =

пир.

осн.

+ 30

− 30

cos

+ 30

− 30

(куб.ед.)

sin

cos

374 В.А.Битнер

1	3	α	α		+ 30	0		α		− 30	0
Ответ:	a	sin	cos				cos					куб.ед.

3		2		2					2

Задачи для самостоятельного решения.

Задание 18. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами a и b , высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна H . Найдите площадь полной поверхности.

Задание 19. Основание пирамиды – квадрат, две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, две другие образуют с плоскостью основания углы ϕ , высота пирамиды равна h . Найдите площадь боковой поверхности.

Задание 20. По высоте H и сторонам оснований a и b (a > b) найди-

те площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: а) треугольной; б) четырехугольной.

Задание 21. Длина ребра правильного тетраэдра равна a . Найдите его объем.

Задание 22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 450 . Найдите объем пирамиды.

Задание 23. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h , двугранный угол при ребре основания 600 . Найти объем пирамиды.

Задание 24. В правильной шестиугольной пирамиде диагональное сечение, проходящее через вершину, - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой c . Найти Vпир. .

Задание 25. Плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые, боковые ребра пирамиды равны 5,6 и 7 см. Найдите Vпир. .

Краткий курс школьной математики

375

Ответы:

(aH + bH + ab +

)

Задание 18.

a2 H

2 + b2 H

2 + a2b2

кв.ед.

h2 ctgϕ (1 + sin ϕ )

Задание 19.

= h

ctg

ϕ ctg

−

кв.ед. Указание.

sin ϕ

По t 20 высота пирамиды является общим ребром двух соседних бо-

ковых

граней,

перпендикулярных основанию.

Задание 20. а)

2 + (a − b)2

(a + b)

кв.ед.; б) (a + b) 4H 2 + (a − b)2 куб.ед.

Задание 21.

2 куб.ед.

Задание 22.

куб.ед.

Задание 23.

куб.ед.

Задание 24.

3 куб.ед.

Задание 25. 35 см3 .

Тема VI. Круглые тела.

(1)Цилиндр. Развертка цилиндра. Sбок. и Sполн. цилиндра. Вписанная и описанная призма. Сечения цилиндра плоскостью.

o 1 Тело, полученное от вращения прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, называется цилиндром.

Полное название – прямой круговой цилиндр – см. рис.1.

OAA O - прямоугольник вращения; OA, OB, O A - радиусы оснований;
1	1		1	1
AA , BB , CC			- образующие цилиндра; OO - ось вращения;
1	1	1		1
[OO1 ] ,[ AA1 ]			- высоты цилиндра. Прямоугольник, длина основания ко-

торого равна длине окружности основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра, называется разверткой боковой поверхности цилиндра – см. рис.2.

376

В.А.Битнер

рис.1 рис.2

S	бок.цил.	= 2π RH ; S	полн.цил.	= S	бок.	+ 2S	осн.	= 2π RH + 2π R2 = 2π R (R + H ) .

		Призма называется вписанной в цилиндр, e основания призмы
o 2
		вписаны в основания цилиндра – см. рис.3.
		Призма называется описанной около цилиндра, e основания
o 3
		призмы описаны около основания цилиндра. – см. рис.4.

u1) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.

2)Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию (параллельной оси) есть прямоугольник.

рис.3

рис.4

Краткий курс школьной математики	377

(2)Конус. Развертка конуса. Sбок. и Sполн.кон. . Пирамида, впи- санная в конус и описанная около него. Сечение кону- са плоскостью.

o 4 Тело, полученное от вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из его катетов, называется конусом. – см. рис.5.

SOA - треугольник вращения, SO - ось вращения; OA, OB, OC - радиусы основания; SA, SB, SC - образующие конуса; SO - высота конуса.

Развертка конуса – см. рис.6.

S	бок.кон.	= S	круг.сект.	=	L2α	=	Lα L	=




				2		2

= CL = 2π RL = π RL ;

		рис.5				2	2
		рис.5
S	полн.кон.	= S	бок.	+ S	осн.	= π RL + π R2	=
	полн.кон.		бок.		осн.

= π R ( L + R) .

рис.6

o 5 Пирамида называется вписанной в конус, e ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. – см. рис.7.

o 6 Пирамида называется описанной около конуса, e ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. – см. рис.8.

378	В.А.Битнер

u1) Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг.

2)Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной основанию и проходящей через высоту конуса, есть треугольник.

Треугольная пирамида вписанная

Конус вписан в правильную четы-

в конус

рехугольную пирамиду.

рис.7

рис.8

(3)Усеченный конус, его развертка, Sбок. и Sполн. усеченного конуса.

o 7 Тело, полученное от вращения прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей ее сторону, перпендикулярную основанию, называется усеченным конусом. – см. рис.9.

или

o 7' Часть конуса, заключенная между его основанием и плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом.

OABO1 - прямоугольная трапеция, фигура вращения; AB, CD - обра-

зующие, OA, OC - радиусы нижнего основания; O1 B, O1 D - радиусы

Краткий курс школьной математики	379

верхнего основания; OO1 - высота усечен-

ного конуса; OO1 - ось вращения.

Развертка усеченного конуса – см. рис.10.

Sбок. усеч.кон. = π (R1 + R2 ) L .

Sполн. усеч.кон. = Sбок. + Sнижн.осн. + Sверхн.осн. = = π ( R1 + R2 ) L + π R12 + π R2 2 .

рис.9

(4)Сфера и шар. Сечение шара плоскостью. Плоскость, касательная к сфере.

1. Сфера и шар.

рис.10

o 8 Тело, полученное от вращения полуокружности вокруг оси, содержащей ее диаметр, называется шаровой поверхностью или сферой. – см. рис.11.

или

o 8' Множество точек (г.м.т.) пространства, равноудаленных от одной, называется сферой. Сферу обычно обозначают ω .

380 В.А.Битнер

Полуокружность с ц. O и радиуса OA - фигура вращения. SS1 - ось вращения; BC - диаметр сферы; OA, OD, OE - ее радиусы.

Любая окружность сферы, проходящая через центр, называется большой окружностью или окружностью большого круга.

рис.11

o 9 Тело, полученное от вращения полукруга вокруг оси, содержащей ее диаметр, называется шаром.

или

o 9' Внутренняя часть пространства, ограниченная сферой, называется шаром.

2. Сечение шара плоскостью.

t 1 Пересечением шара и плоскости является:

1.Круг, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса шара;

2.Точка, если это расстояние равно радиусу;

3., e это расстояние больше радиуса.

3.Плоскость, касательная к сфере.

o 10 Плоскость, имеющая единственную общую точку со сферой, называется касательной плоскостью к сфере (шару), а сама эта точка – точкой касания.

t 2 Плоскость, перпендикулярная радиусу и проходящая через его конец, принадлежащий сфере, является касательной к этой сфере. – см. рис.12.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 4238 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб5breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб8Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc