Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики					161
(9) Оси тангенсов и котангенсов.		y
		y
		1	P	B	(1; y )
		1	P
1.	Ось тангенсов.		a
1.	Ось тангенсов.			+
				P
				0
		0		1	x
		рис. 1

o 1 Прямая x = 1 называется осью тангенсов.

Это прямая P B на рис.1. Выберем точку P		(1; 0)	на единичной число-
0	0
вой окружности и повернем ее на α	радиан		– см. рис.1. То есть

P= Rα (P ) .

α0 α

Проведем прямую OP , которая пересечет ось тангенсов в точке

B (1; y ) . Рассмотрим OP B , в нем tg BOP =		P B
		0	, то есть
			, то есть
0	0

tgα = y = y . Тогда можно дать новое определение tgα . 1

o 2 Тангенсом числа α называется ордината соответствующей точки на оси тангенсов.

То есть tgα = y - см. рис.1.

2. Ось котангенсов.

o 3 Прямая y = 1 называется осью котангенсов.

Это прямая AT на рис.2.	y
Это прямая AT на рис.2.	1
T	1	A (x;1)
	P	A (x;1)
	a
	0	P	x
		0
	рис. 2

162 В.А.Битнер

Выберем точку P (1; 0) на единичной числовой окружности и повер-
		0
нем ее на α радиан – см. рис.2.
	α			. Проведем прямую OP , которая пересечет ось
То есть P = R ( P )
0 0		α				α
котангенсов в точки A ( x;1) . Рассмотрим OAP , в нем
				0
ctg AOP =	OB	=	x	, то есть ctgα =	x	= x . Теперь можно дать новое

0	P A	1		1

0

определение ctgα .

o 4 Котангенсом числа α называется абсцисса соответствующей точки на оси котангенсов.

То есть ctgα = x - см. рис.2.

(10)Тригонометрические формулы сложения.

1.sin (α + β ) = sin α cos β + cosα sin β ;

2.sin (α − β ) = sin α cos β − cosα sin β ;

3.cos (α + β ) = cosα cos β − sin α sin β ;

4.cos (α − β ) = cosα cos β + sin α sin β ;

5.tg (α + β ) = tgα + tgβ ; 1 − tgα tgβ

6.tg (α − β ) = tgα − tgβ ; 1 + tgα tgβ

7.ctg (α + β ) = ctgα ctgβ −1 ;

α+ ctgβctg

8. ctg (α − β ) = ctgα ctgβ + 1 . ctgβ − ctgα

Найти без помощи таблицы и микрокалькулятора.

Краткий курс школьной математики														163

p 1	sin 75				= sin (30 + 45 ) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 =
														(1 +				)
													2			3
	=	1			2	+			3	2	=		2			3
		1			2				3	2

	2		2					2		2				4
p 2	cos15 = cos (60 − 45 ) = cos 60 cos 45 + sin 60 sin 45 =

	=			3		2	+		1	2	=	2			(1 +				)
				3		2			1	2		2					3
												4					3
	2				2			2		2		4

z Можно было заметить, что cos15 = sin 75 .

p 3

= tg (60 + 45 )

= tg60

+ tg45

3 + 1

3 +1 =

tg105

1 − tg60 tg45

1 −

3 1

1 − 3

(

+ 1)2

4 + 2 3

= − (2 + 3 )

(1 −

)(1 +

)

1 − 3

z tg105 = −ctg15 .

(11)Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени.

1.sin 2α = 2 sin α cosα ;

2.cos 2α = cos2 α − sin 2 α ;

	tg2α =		2tgα
3.				;
3.				;
		1 − tg2α
4.	ctg2α =		ctg2α −1		.
4.	ctg2α =				.
			2ctgα
p	Дано: sin α =				1	; cos β = −	1	;	π	< α < π ;π < β <	3π	.
	Дано: sin α =					; cos β = −		;		< α < π ;π < β <		.
		3				5		2		2

Найти: cos (2α − β ) .

Решение:
1.	cos (2α − β ) = cos 2α cos β + sin 2α sin β ;

		= − 1 −	1		8	= −	2	2	;
2.	Найдем cosα = − 1 − sin 2 α		1	= −	8		2	2
2.	Найдем cosα = − 1 − sin 2 α			= −
	9				9			3

164	В.А.Битнер

	Найдем sin β = −													= − 1 −								1			= −				24		= −					2 6
3.							1 − cos2 β															1							24							2 6
3.							1 − cos2 β
																					25							25							5

																			1					2		2						4			2
4.	Найдем sin 2α = 2 sin α cosα = 2																						−					= −									;
4.	Найдем sin 2α = 2 sin α cosα = 2																						−					= −									;
																			3					3										9
																			3					3										9
5.	cos 2α = cos2 α − sin 2 α =										8	−		1	=			7		;
5.	cos 2α = cos2 α − sin 2 α =											−			=					;
										9			9			9
								1
	cos (		2α − β ) =		7			1					4 2										2 6							7					16 3
						−			+	−							−										= −						+
						−			+	−							−										= −						+
													9										5							45					45
6.					9			5					9										5							45					45
6.
	=	16		3 − 7
	=		45
			45

Ответ: 163 − 7 . 45

Формулы понижения степени.

1.2 sin 2 α = 1 − cos 2α ;

2.2 cos2 α = 1 + cos 2α ;

3.	s 1	sin 2 α =	1 − cos 2α		;

		2
4.	s 2	cos2 α =		1 + cos 2α		;


		2

;

5.	s 3	cos 2α = 1 − 2 sin 2 α ;
6.	s 4	cos 2α = 2 cos2 α −1 .

(12)Формулы половинного аргумента.

sin

= ±

1 − cosα

;

cos

= ±

1 + cosα

;

= ±

− cosα

;

ctg

= ±

+ cosα

;

+ cosα

− cosα

Краткий курс школьной математики

165

sin α

;

1 − cosα

;

1 + cosα

sin α

ctg

1 + cosα

;

ctg

sin α

1 − cosα

p 1

Дано: cosα = 0, 2; sin α > 0 .

Найти: tg

Решение: 1. Найдем

																						=		2	6		;
sin α = 1 − cos2 α =
								1 − 0, 004 =							0, 96 = 4					0, 06
								1 − 0, 004 =							0, 96 = 4					0, 06					5
																									5

						2	6
α			sin α								2	6			6
α	=		sin α			=	5		=		2	6		=	6
2. tg							5										.
2. tg		1 + cosα															.
2		1 + cosα				1 + 0, 2						6			3

Ответ:	6		.
Ответ:			.
	3
p 2 Найти sin15				не пользуясь таблицей.

													1 −	3
					1 − cos 30													2 −
																			3			2

				=						=				2		=					=		(			3 −1).
Имеем sin15														2
Имеем sin15						2								2			2					4

(13)Преобразование сумм и разностей тригонометриче- ских функций в произведение.

sin α + sin β = 2 sin

α + β

cos

α − β

;

sin α − sin β = 2 sin

α − β

cos

α + β

;

cosα + cos β = 2 cos

α + β

cos

α − β

;

cosα − cos β = −2 sin

α + β

sin

α − β

= 2 sin

α + β

sin

β − α

;

tgα + tgβ =

sin (α + β )

;

cosα cos β

166

В.А.Битнер

tgα − tgβ =

sin (α − β )

;

cosα cos β

ctgα + ctgβ =

sin (α + β )

;

sin α sin β

ctgα − ctgβ =

sin ( β − α )

sin α sin β

Вычислите, не пользуясь таблицами:

p 1

cos105 + cos 75 = 2 cos 90 cos15 = 0 ;

p 2

5π

cos

sin

− sin

= 2 sin

−

= −2

= −

;

Преобразуйте в произведение выражение:

p 3

1 + sin α − cosα = (1 − cosα ) + sin α = 2 sin 2 α + 2 sin α cos α =

= 2 sin

sin

+ cos

= 2 sin

sin

+ sin

−

;

2 2

= 2 sin

2 sin

cos

−

2 sin

cos

−

4 2

2 cosα −

3 = 2 cosα −

cosα − cos

;

= 4 sin

sin

−

Докажите тождество:

sin α + sin 3α

= tg2α .

cosα + cos 3α

Доказательство:

sin 3α + sin α

2 sin 2α cosα

sin 2α

= tg2α , получили

cos 3α + cosα

2 cos 2α cosα

cos 2α

tg2α = tg2α d

Краткий курс школьной математики	167

(14)Преобразование произведений тригонометрических функций.

sin α cos β =

sin (α + β ) + sin (α − β )

;

cosα cos β =

cos (α + β ) + cos (α − β )

;

sin α sin β =

cos (α − β ) − cos (α + β )

p 1

Докажите тождество: sin3 x cos2 x =

sin x −

sin 5x +

sin 3x .

Доказательство:

1 способ.

sin3 x cos2 x = sin x sin 2 x cos2 x = sin x

sin 2 2x = sin x

1 − cos 4 x

sin x −

sin x cos 4x =

sin x −

sin 5x − sin 3x

sin x −

sin 5x +

sin 3x

2 способ.

Преобразуем правую часть тождества, имеем

sin x −

sin 5x +

sin 3x =

sin x −

(sin 5x − sin 3x ) =

sin x −

2 sin x cos 4x =

sin x (1 − cos 4x ) =

sin x 2 sin 2 2x =

sin x sin 2 2x =

sin x 4 sin 2 x cos2

x =

= sin3 x cos2 x

Получили sin3

x cos2

x = sin3

x cos2

x d

p 2

Верно ли равенство sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =

Доказательство:

168																																																			В.А.Битнер

Преобразуем левую часть равенства, имеем

sin 40 sin 20														3		cos10 =							1		(cos 20 − cos 60 )																				3	cos10 =
sin 40 sin 20												2				cos10 =									(cos 20 − cos 60 )																		2			cos10 =
												2									2																						2
																																															+ cos10
=			3		cos 20 cos10 −														1		1						3	cos10 =										3			cos 30						+ cos10								−
=					cos 20 cos10 −																							cos10 =																											−
	4																	2			2				2										4												2

	3											3						3												3													3				3
−					cos10					=										+ cos10								−				cos10								=						+			cos10							−
−					cos10					=										+ cos10								−				cos10								=						+			cos10							−
	8											8						2												8													16				8
	8											8						2												8													16				8

−		3		cos10						=			3
−				cos10						=
	8											16
Получили									3		=				3			d
Получили											=							d
								16				16
(15) Выражение sin α и cosα через tg																																			α		.
(15) Выражение sin α и cosα через tg																																					.
																																			2
					2tg	α																																								1 − tg				2 α
					2tg	2																																								1 − tg						2
1. sin α =						2				;																									2.				cosα =													2		.
1. sin α =										;																									2.				cosα =															.
			1 + tg			2 α																																								1 + tg				2 α
			1 + tg				2																																							1 + tg						2
							2																																													2
																													2 sin				α			cos			α
																						sin			α				2 sin							cos
Докажем 1					формулу:												sin α =					sin			α			=					2							2				, разделим числи-
																																	2							2
																					1								sin	2 α				+ cos					2 α
																													sin		2			+ cos								2
																															2											2
																																																2tg			α
тель и знаменатель дроби на																				cos				2 α				≠ 0 ,		получим sin α =																		2tg			2					d
																								2 α																											2

																										2																					1 + tg				2 α
																																															1 + tg						2
																																																					2

pДано: tg α = −2 . Найдите sin α , cosα , tgα , ctgα . Решение:

2
	2tg	α
1. sin α =	2tg	2	=		−4	= −0, 8 ;
					−4

		2 α		1 + 4
1 + tg
1 + tg

Краткий курс школьной математики

169

1 − tg

2 α

cosα =

1 − 4

= −0, 6 ;

2 α

1 + tg

1 + 4

tgα =

sin α

−0, 8

;

cosα

−0, 6

ctgα =

tgα

(16)Условие равенства тригонометрических функций.

t 1		sin α = sin β тогда и только тогда, когда
		α = β + 2π n,α = π − β + 2π n, n Z .
t 2		cosα = cos β тогда и только тогда, когда
t 2		cosα = cos β тогда и только тогда, когда
		α = β + 2π n,α = −β + 2π n, n Z .
t 3		tgα = tgβ тогда и только тогда, когда α = β + π n, n Z .
t 3		tgα = tgβ тогда и только тогда, когда α = β + π n, n Z .
t 4		ctgα = ctgβ тогда и только тогда, когда α = β + π n, n Z .
t 4		ctgα = ctgβ тогда и только тогда, когда α = β + π n, n Z .

(17)Формулы вспомогательного аргумента.

Сначала докажем лемму

le для некоторых m, n R выполняется условие m2 + n2 = 1, то можно считать m = sin α , n = cosα или m = cosα , n = sin α .

Доказательство:

e m, n R удовлетворяют условию m2 + n2 = 1, то m, n - координаты точки единичной числовой окружности x2 + y 2 = 1, но тогда по опреде-

лению sin α и cosα m = sin α , n = cosα или cosα = m, sin α = n .

Выведем формулы вспомогательного аргумента.

170

В.А.Битнер

1. rRa sin x + b cos x = a2

+ b2

sin x

+ cos x

. Но

a2 + b2

= 1, следовательно, по

a2 + b2

лемме можно считать

= cos ϕ ,

= sin ϕ , тогда

a2 + b2

a 2 + b2

tgϕ =

sin ϕ

. Тогда

cosϕ a

a sin x + b cos x = a2

. Получили формулу

tgϕ = b . a

+ b2 (sin x cosϕ + cos x sin ϕ ) = a2 + b2 sin ( x + ϕ ) a sin x + b cos x = a2 + b2 sin ( x + ϕ ) , где

a cos x + b sin x =

2 + b2 cos x

+ sin x

a2 + b2

= a

2 + b2 (cos x cos ϕ + sin x sin ϕ ) =

a2 + b2 cos ( x − ϕ ) , где

cos ϕ =

, sin ϕ =

, tgϕ =

+ b

Упростить выражения.

p 1

sin x + cos x =

sin x

+ cos x

;

2 sin x cos

+ cos x sin

2 sin x +

p 2

cos x −

3 sin x = 2 cos x

− sin x

= 2

cos x

cos

−

;

− sin x sin

= 2 cos x +

sin x

− cos x

= 5 sin ( x − ϕ ) , где

p 3

3sin x − 4 cos x =

9 + 16

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 4217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc