Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ bx + c = a x +

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

6.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 429 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Краткий курс школьной математики	81

p12

p13

p 14

Решение:

x1 = −1, x2 = 0 - нули модуля.

x ≤ −1

(1)

≥ 0

+ x

+ 3x − 5 = 0

+ 4x − 5 = 0, x1 = −5, x2

= 1 -удов. усл.(1)

−1 < x < 0

− x2 − x + 3x − 5 = 0 x2 − 2x + 5 = 0, D < 0,

Ответ: {−5;1} .

Составить квадратное уравнение с корнями x1 = −1, x2 = 3 .

Решение:

Составим

приведенное

квадратное уравнение

x2 + px + q = 0 ,

по t Виета p = − ( x1 + x2 ) = − (−1 + 3) = −2; q = x1 x2

= −1 3 = −3 .

Получили квадратное уравнение: x2 − 2x − 3 = 0 .

Не

решая

уравнения

2x2 − 3x − 4 = 0 найти: a)

; b)

x1 x2

; c)

x 3

+ x 3 , где x и x - корни данного уравнения.

Решение:

Перепишем уравнение в приведенном виде: x2 − 3 x − 2 = 0 . По

t Виета						x + x =						3		, x x						= −2 . Тогда
t Виета						x + x =								, x x						= −2 . Тогда
						1			2		2				1			2
											2
																3
		1			1					x1 + x2											3
a)		1	+		1		=			x1 + x2				=			2		= −		3		;
a)			+				=							=					= −				;
		x1				x2				x1 x2							−2			4
																= ( x1 + x2 )2 − 2x1 x2 =											9	+ 4
		x1				x2				x12 + x2 2																				= −	25	;
b)		x1		+		x2		=		x12 + x2 2																	4				25
b)				+				=
		x2				x1					x1 x2											x1 x2					−2				8
c)		x 3 + x 3 = ( x + x )(x																2		− x x + x 2 ) =
	1					2					1		2			1				1		2		2
	= ( x + x								)(( x + x							)2		− 3x x				) =		3	9	+ 6		=	99
	= ( x + x								)(( x + x							)2		− 3x x				) =				+ 6		=
	1					2					1		2							1		2						8
																								2 4				8

Составить квадратное уравнение с корнями, обратными корням

82						В.А.Битнер

уравнения ax	2 + bx + c = 0 .
Решение:
1) n x1 , x2 -	корни данного квадратного уравнения, тогда по
обобщенной t Виета x1 + x2 = −		b	, x1 x2	=	c	.
обобщенной t Виета x1 + x2 = −			, x1 x2	=		.
		a			a

2)Составим искомое уравнение в приведенном виде x2 + px + q = 0 , n x1' и x2 ' - его корни, по условию

x ' =

, x ' =

. По t Виета

−

p = − (x1' + x2' ) = −

x1 + x2

= −

;

x1 x2 x1 x2

q = x ' x ' =

. Получили квадратное уравнение

x1 x2

x2 + b x + a = 0 или cx2 + bx + a = 0 - искомое квадратное c c

уравнение.

Упражнения для самостоятельного решения.

Решить уравнения.

p 1	x2 − 2x = 0 ;
p 2	2x2 − 3 = 0 ;
p 3	4x2 + 4x +1 = 0 ;
p 4	2x2 − x + 1 = 0 ;
p 5	x +	1	= 2, 5 ;

		x
p 6	7 x2 − 4x − 3 = 0 ;
p 7	3x2 + 2 x −1 = 0 ;
p 8	x2 − 4x − 8 = 0 ;
p 9	x2 + 5x + 6 = 0 ;
p 10	При каких значениях параметра a уравнения имеют одно ре-
	шение?

Краткий курс школьной математики	83

p11

p12

p13

p14

p15

p16

p17

p18

p19

p20

p21

p22

p23

p24

p25

p26

a)ax2 − 6x + 9 = 0 ;

b)4x2 − ax + a − 3 = 0 ;

3	−	2x −1	=	2x +1	;
				2 + 3x + 2
x + 2 x +1 x

(x + 3)3 − ( x +1)3 = 56 ; x6 + 7 x3 − 8 = 0 ;

= 2 ;

+1 x

+ 2

x − 3

+ 4x + 9

= −2 ;

+ 4x + 9

x − 3

( x + 2)2 +

= 18 ;

x2 + 4x

x ( x +1)( x + 2)( x + 3) = 24 ;

x1 и x2 - корни уравнения x2 − 2x − 9 = 0 .

Вычислить: a) x 2

+ x

2 ; b)

;

Известно, что

где

x и

x -

корни

уравнения

x2 + x + a = 0 .

Определить a .

x2 − 4x

= 5 ;

x − 6

x2 − 5x + 9

;

Составить квадратное уравнение с корнями x

= −

; x

= −

Не решая уравнения

ax2 + bx + c = 0 , найти

−2 + x

−2 ,

где x и

x2 - корни данного уравнения.

Составить уравнение второй степени, корни которого были бы на единицу больше корней уравнения ax2 + bx + c = 0 .

В уравнении x2 − 2x + c = 0 определить то значение c , при котором его корни удовлетворяют условию 7 x2 − 4x1 = 47 .

Не решая уравнения x2 − (2a + 1) x + a2 + 2 = 0 , найти, при кото-

ром значение a один из корней в два раза больше другого.

84	В.А.Битнер

Ответы:

p 10	a) 1; b) 4; 12
p 12	-5
p 14	0 (указание: ввести заме-
	ну x2 +1 = y )
p 16
p 16	-6; 2; −2 ± 6 (указание:
	-6; 2; −2 ± 6 (указание:
	ввести замену
		x2 + 4x = y )
p 18	a) 22; b) −		62
	a) 22; b) −
	9
p 20	-1; 5
p 23		b2 − 2ac

	2
	2
		c
p 25	-15

p 11	1
p 13	-2; 1
p 15	-3; -2
p 17	1; 4

p 19 -2

p 21 1; 3

p24 ax2 + (b − 2a ) x + (c − b + a ) = 0

p26 4

Тема XIV. График квадратного трехчлена (квадратной функции).

oФункция вида y = ax2 + bx + c (1), где a, b, c R, a ≠ 0 , называется квадратной или квадратичной.

Построим график этой функции в общем виде. Этот график называется параболой.

(1)	e в функции (1) b = c = 0, a = 1, то имеем y = x2 - график см.
	рис.1.
(2)	e в функции (1) b = c = 0 , то имеем y = ax2 - см. рис.1.

Краткий курс школьной математики	85

Функция четная, график симметричен оси 0 y . Точка O(0; 0) - вершина параболы.

рис.1

(3) e в функции (1) b = 0 , то имеем y = ax2 + c - график см. на рис.2.

Функция четная, график симметричен оси 0 y .

(0; c) - вершина параболы.

рис.2

(4) e в функции (1) c = 0 , то имеем y = ax2 + bx - график см. рис.3.

86	В.А.Битнер

Функция ни четная, ни не-

четная. (0; 0) и − b ; 0 -

a

точки пересечения графика с осью 0x .

−	b	; −	b2	-	вершина па-


	2a		4a

раболы.

рис.3

(5) Построим график квадратичной функции

Алгоритм построения:

1)находим точку пересечения графика с осью 0 y , это точка (0; c );

2)точки пересечения с осью 0x :

а) это 2 точки ( x1 ; 0) и ( x2 ; 0) , e уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет 2

действительных различных корня (D > 0) ;

б)

это 1 точка касания (вершина параболы), e уравнение имеет 2

действительных равных корня (D = 0) , это точка

−

; 0 ;

в) точек

пересечения с осью

0x нет,

если

уравнение не

имеет

действительных корней (D < 0) .

3) вершина

параболы, это

точка

−

; −

b2 − 4ac

. Абсциссу этой

точки можно получить несколькими способами:

x + x

= f ( x

) = ax

b2 − 4ac

x =

= −

, y

bx + c = −

, где

( x0 ; y0 ) - вершина параболы;

Краткий курс школьной математики	87

b) x0	= −	b	, y0 = 0 , e D = 0 ;

		2a

c) x	= −	b	, y		=	f ( x	) = −	b2 − 4ac	, e D < 0 ;
				0
0		2a				0		4a

d)с помощью производной - см. позже тему XX.

4)Находятся дополнительные точки, если нет точек пересечения графика с 0x (D ≤ 0) .

Решение упражнений.

Построить графики функций.

p 1	y = 2x2 − x −1 ;

1)при x = 0 y = −1 , то есть точка (0; −1) - точка пересечения графика с осью 0 y ;

2)	при y = 0						2x		2 − x −1 = 0, x			= 1; x		= −			1	, то есть (1; 0) и
2)	при y = 0						2x		2 − x −1 = 0, x			= 1; x		= −				, то есть (1; 0) и
										1			2			2
																2
		1
	−			; 0	-		точки пересечения графика с осью 0x ;
	−			; 0	-		точки пересечения графика с осью 0x ;
		2
				1 −		1
				1 −				1		1			1		1	1
					2			1		1			1		1	1
3)	x0	=			2		=		; y0 = f		= 2			−		−1 = −1			, то есть
3)	x0	=					=	4	; y0 = f		= 2		16	−	4	−1 = −1			, то есть
		2						4		4			16		4	8
	1		; −1		1		- вершина параболы.


	4				8

По найденным точкам строим график данной функции.

88																			В.А.Битнер

p 2	y = −		1	( x + 1)( x − 3) ;
p 2	y = −		2	( x + 1)( x − 3) ;
			2
	1)	при x = 0				y = −			1	1 (−3) =			3		, то есть точка		0;	3	-	точка
	1)	при x = 0				y = −				1 (−3) =					, то есть точка		0;		-	точка
						2					2							2
		пересечения графика с осью 0 y ;
	2)	при y = 0				−	1	( x +1)( x − 3) = 0, x								= −1; x = 3 , то есть (−1; 0) и
	2)	при y = 0				−		( x +1)( x − 3) = 0, x								= −1; x = 3 , то есть (−1; 0) и
						2					1					2
						2
		(3; 0) - точки пересечения графика с 0x ;
	3)	x =			−1 + 3	= 1; y = f					(1) = −	1		2 (−2) = 2 , то			есть			точка
	3)	x =				= 1; y = f					(1) = −			2 (−2) = 2 , то			есть			точка
		0	2			0					2
			2								2

(1; 2) - вершина параболы.

p 3




	y = x2 − x +1 ;
	y = x2 − x +1 ;
	1)	(0;1) - точка пересечения графика с осью 0 y ;
	2)	y = 0 x2 − x +1 = 0, D = 1 − 4 < 0 точек пересечения															гра-
		фика с осью				0x нет;
			−1		1		1		1		1		3		1	3
	3)	x0 = −		=		, y0 = f		=		−		+1 =		, то есть		;		-
	3)	x0 = −		=		, y0 = f		=	4	−	2	+1 =	4	, то есть		;		-
			2 2				2		4		2		4		2	4

вершина параболы;

3		3			1	3
4) дополнительные точки: (1;1);		;1	;	−		;1	;

	2	4			2	4

Краткий курс школьной математики						89

p 4

p 5

y = x2 − 4x + 4 ;

1)	(0; 4) - точка пересечения графика с осью 0 y ;
2)	y = 0 x2 − 4x + 4 = 0 ( x − 2)2 = 0 (D = 0), x = 2 , то есть
	точка (2; 0) - точка касания графика с осью 0x , вершина па-
	раболы;
3)	дополнительные точки (−1; 9); (4; 4); (5; 9) .

y = 3( x +1)2 − 2 ;

x0 = −1; y0 = −2 , то есть точка (−1; −2) - вершина параболы.

Строим график переносом осей координат y1 = 3x2 .

90				В.А.Битнер

p 6

p 7

y = x2 − x − 2 ;

1.Строим график функции y1 = x2 − x − 2 ,

1)(0; −2) - точка пересечения графика с осью 0 y ,

2)(−1; 0) и (2; 0) - точки пересечения с осью 0x ,

3)1 ; −2 1 - вершина параболы.

2 4

2. Часть графика,	расположенную ниже оси		0x , отобразим
симметрично		оси	0x ,
получим искомый график.

y = x2 − x − 2 ;

1. Строим график функции y = x2 − x − 2 при x ≥ 0 - см. выше.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 429 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.07.2019400.64 Кб4bestref-201996.rtf
#
12.03.20152.74 Mб10BhagavatGita_kak_ona_est.pdf
#
16.04.201995.65 Кб3Bilety_dlq_ekzamena_po_kursu_Socialogiq_i_psiho....docx
#
25.09.2019173.57 Кб3Bilety_IGA_po_190604TA4.doc
#
19.09.2019507.9 Кб7Biologia.doc
#
12.03.20156.54 Mб83Bitner_V_A_-_Kratky_kurs_shkolnoy_matematiki.pdf
#
08.09.2019652.29 Кб4biznes_plan_po_Petrulevich.doc
#
22.03.201663.12 Кб4breaking.pdf
#
12.03.2015931.33 Кб9Broshyura (1).doc
#
12.03.2015826.37 Кб7Broshyura.doc
#
23.11.2019823.3 Кб1Broshyura.doc