matem-up1
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова
В.П. Зайцев, А.С. Киркинский
МАТЕМАТИКА
Часть 1
Учебное пособие
Барнаул 2011
УДК 51(075.8)
Зайцев, В.П. Математика: Часть 1. Учебное пособие./В.П.Зайцев, А.С.Киркинский.– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2011.– 192 с.
Первая часть предлагаемого учебного пособия содержит материал для изучения в 1 семестре дисциплины «Математика» для всех направлений бакалавриата технического вуза. Включены разделы, посвящённые линейной алгебре, векторной алгебре, аналитической геометрии, началам математического анализа. Имеется вводный раздел, содержащий повторение некоторых важных элементов школьной программы, а также обсуждение других начальных понятий.
Изложение сопровождается большим количеством примеров. В каждый раздел включены упражнения для самостоятельной работы и ответы к ним, контрольные вопросы и образцы контрольных заданий.
Подробность изложения теоретического материала, многочисленные примеры и упражнения помогут студентам успешно освоить первую часть вузовского курса математики.
Рекомендовано Алтайским техническим университетом им. И.И. Ползунова в качестве учебного пособия для студентов АлтГТУ, обучающихся по направлениям и специальностям в области экономики, техники и технологии.
Протокол № 9 НМС АлтГТУ от 15 июня 2011 г.
Рецензент:
С.А. Кантор, к.ф.-м.н., зав. кафедрой «Прикладная математика» АлтГТУ
©В.П.Зайцев, А.С.Киркинский, 2011
©Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова, 2011
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Предисловие .............................................................................. |
5 |
|
Раздел 1. Введение |
|
|
1. |
Множества и отображения.............................................. |
9 |
|
1.1. Основные понятия.................................................... |
9 |
|
1.2. Операции над множествами.................................... |
10 |
|
1.3. Числовые множества................................................ |
14 |
|
1.4. Комплексные числа.................................................. |
17 |
|
1.5. Отображения............................................................. |
22 |
2. |
Функции одной действительной переменной…………24 |
|
|
2.1. Способы задания и основные свойства функций.. |
24 |
|
2.2. Операции на множестве функций........................... |
29 |
|
2.3. Основные элементарные функции.......................... |
31 |
|
2.4. Преобразование графиков........................................ |
37 |
|
2.5. Многочлены.............................................................. |
39 |
3. |
Контрольные вопросы..................................................... |
44 |
4. |
Упражнения...................................................................... |
46 |
5. |
Ответы к упражнениям.................................................... |
50 |
6. |
Образец контрольного задания....................................... |
52 |
Раздел 2. Линейная алгебра |
|
|
1. |
Матрицы и операции над ними ...................................... |
54 |
2. |
Определители и их свойства........................................... |
57 |
3. |
Обратная матрица............................................................ |
63 |
4. |
Ранг матрицы.................................................................... |
65 |
5. |
Системы линейных уравнений....................................... |
69 |
6. |
Контрольные вопросы..................................................... |
81 |
7. |
Упражнения...................................................................... |
82 |
8. |
Ответы к упражнениям.................................................... |
85 |
9. |
Образец контрольного задания....................................... |
86 |
Раздел 3. Векторная алгебра |
|
|
1. |
Общие понятия. Линейные операции над векторами... |
88 |
2. |
Проекция вектора на ось................................................. |
91 |
3. |
Линейная зависимость и линейная независимость |
|
|
векторов. Базис ................................................................ |
93 |
4. |
Координатная запись векторов....................................... |
96 |
5. |
Скалярное произведение ................................................ |
102 |
3
6. |
Векторное произведение................................................. |
104 |
7. |
Смешанное произведение ............................................... |
107 |
8. |
Преобразование системы координат на плоскости…...109 |
|
9. |
Контрольные вопросы..................................................... |
112 |
10. Упражнения.................................................................... |
113 |
|
11. Ответы к упражнениям.................................................. |
116 |
|
12. Образец контрольного задания..................................... |
117 |
|
Раздел 4. Аналитическая геометрия |
|
|
1. |
Координатный метод. Уравнения линий и |
|
|
поверхностей.................................................................... |
119 |
2. |
Прямая на плоскости....................................................... |
121 |
3. |
Линии 2-го порядка.......................................................... |
128 |
|
3.1. Эллипс........................................................................ |
128 |
|
3.2. Гипербола.................................................................. |
131 |
|
3.3. Парабола.................................................................... |
134 |
4. |
Приведение уравнения 2-го порядка |
|
|
к каноническому виду..................................................... |
136 |
5. |
Полярная система координат.......................................... |
140 |
6. |
Плоскость в пространстве............................................... |
143 |
7. |
Прямая в пространстве.................................................... |
145 |
8. |
Контрольные вопросы..................................................... |
149 |
9. |
Упражнения...................................................................... |
150 |
10. Ответы к упражнениям.................................................. |
153 |
|
11. Образец контрольного задания..................................... |
154 |
|
Раздел 5. Предел и непрерывность функции |
|
|
1. |
Предел функции............................................................... |
155 |
|
1.1. Определение.............................................................. |
155 |
|
1.2. Бесконечно малые и бесконечно большие |
|
|
функции...................................................................... |
159 |
|
1.3. Свойства предела функции...................................... |
160 |
|
1.4. Два замечательных предела..................................... |
166 |
|
1.5. Числовая последовательность и её предел............. |
168 |
2. |
Непрерывность и точки разрыва функции.................... |
172 |
|
2.1. Определения непрерывности................................... |
172 |
|
2.2. Точки разрыва........................................................... |
173 |
|
2.3. Свойства непрерывных функций............................ |
175 |
|
2.4. Непрерывность элементарных функций ................ |
180 |
3. |
Вычисление пределов с помощью эквивалентных |
|
4
|
бесконечно малых............................................................ |
181 |
4. |
Контрольные вопросы..................................................... |
185 |
5. |
Упражнения...................................................................... |
187 |
6. |
Ответы к упражнениям.................................................... |
189 |
7. |
Образец контрольного задания....................................... |
190 |
Ответы к образцам контрольных заданий.......................... |
191 |
|
Литература................................................................................. |
192 |
|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Почему необходимо изучение математики для человека, получающего высшее образование? Насколько глубоким должно быть это изучение? Чтобы ответить на эти вопросы рассмотрим некоторые особенности математики, отличающие её от других наук.
Особенностью математики является отвлечённость её понятий. Число, точка, прямая линия в природе не встречаются. Это результат деятельности человеческого ума. Вторая важная особенность – выводы математики всегда строго логически обоснованы. Математик, в отличие от физика или биолога, для доказательства своих утверждений не обращается к опыту. Даже с большой точностью измеряя катеты и гипотенузу у многих треугольников, нельзя получить убедительное доказательство теоремы Пифагора. Нужны рассуждения, доказывающие эту замечательную теорему сразу для всех прямоугольных треугольников.
Видимо, эти две характерные черты математики и приводят к необычайной широте её применений. С математикой мы сталкиваемся постоянно. Проводим простейшие вычисления дома, на работе, в магазине. Мы пользуемся различными техническими устройствами. Фактически ни одно из этих устройств не может быть создано без применения математики. Без математики невозможно и развитие других наук. Это давно известно физикам, химикам, астрономам. Но и в биологии, и в экономике, и в социальных науках открытие нового закона, описание явления часто опирается на теорию, сформулированную и записанную на языке математики.
5
Конечно, во все времена стимулом развития математики были практические задачи. Но даже абстрактные разделы, возникшие внутри самой математики, рано или поздно находят свои применения. Один из примеров – комплексные числа, с которыми мы познакомимся уже в 1-м разделе этой книги. Их придумали математики, для решения своих уравнений. А потом оказалось, что эти числа (и связанные с ними функции) позволяют формулировать и решать многие задачи электротехники, радиоэлектроники, гидродинамики, аэродинамики, других наук.
Указанные особенности математики имеют ещё одно следствие. Изучение математики приводит к развитию умственных способностей человека, повышает его возможность рассуждать логически, понимать окружающий мир. Например, абстракции математические учат нас применять метод абстрагирования и в других науках, где он тоже очень полезен. Поэтому математика – не только инструмент в руках человека, она формирует человека, является частью нашей культуры.
Историю развития математики можно условно разбить на 4 этапа. Первый этап – до V века до н.э. К этому времени в Древней Греции уже сложились теоретические представления, которые можно назвать математикой. Эти представления были очень тесно связаны с практическими задачами. Уточнялось понятие числа, способы записи чисел; устанавливались законы арифметических действий. Люди научились измерять простейшие площади и объёмы.
Второй этап длился более 2000 лет – до начала XVII века. В это время развивалась математика, примерно соответствующая курсу средней школы. Ещё в III веке до н.э. появились «Начала» Евклида, где изложение геометрии было таким стройным, что и сейчас считается прекрасным примером математической теории. В Китае, Индии, Средней Азии изучались методы решения уравнений, составляющие в те времена содержание алгебры. Серьёзным стимулом для развития математики весь этот период была астрономия. Её задачи привели и к созданию основ тригонометрии (II век, Греция), и к появлению логарифмов (начало XVI века, Англия).
Третий этап – XVII–XVIII века. Наиболее важная черта этого периода – переход от изучения постоянных величин к изу-
6
чению переменных величин и функций. В работах Р.Декарта впервые алгебраические уравнения связываются с геометрическими образами. Так возникла аналитическая геометрия.
Важнейшее открытие XVII века – создание Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Это и другие достижения математиков XVII–XVIII веков привели к построению к 1800 году теории, которая сейчас называется математическим анализом и составляет основу вузовского курса высшей математики.
Следующий этап в развитии математики – появление новых теорий, развивающих идеи геометрии, алгебры, теории функций. Уже в XX веке развитие математической логики привело к созданию теоретического аппарата для расчёта различных вычислительных систем. Современная математика – огромная система знаний, пронизывающая остальные науки.
Ответ на вопрос «Зачем изучать математику?» теперь должен быть ясен. Насколько глубоко? Предлагаемое учебное пособие содержит материал для изучения в 1-ом семестре. Сюда входят разделы «Линейная алгебра», «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия». Имеется вводный раздел, содержащий повторение некоторых важных элементов школьной программы, а также обсуждение других начальных понятий. Заканчивается пособие разделом, посвящённым фундаментальным понятиям математики – пределу и непрерывности функций. Этот раздел – начало изучения математического анализа, науки, которая составляет основную часть вузовского курса математики. Для изучения математического анализа планируется публикация в 2011-2012 годах 2-й и 3-й частей нашего пособия. Наконец, последняя, 4-я часть пособия будет посвящена теории вероятностей и математической статистике. Содержание пособий согласовано с учебными планами – для многих направлений планируется 4 семестра изучения математики.
Необходимый фундамент – курс математики средней школы. Хотя в нашем пособии многие понятия повторяются, объясняются ещё раз. Так что главное – ваше желание учиться, заинтересованность и упорство.
Успешной учёбы!
7
Латинский алфавит
A, a – а; B, b – бэ; |
C, c – цэ; |
D, d – дэ; |
E, e – е; |
|||
F, f – эф; |
G, g |
– же; |
H, h – аш; |
I, i |
– и; |
J, j – жи; |
K, k – ка; |
L, l |
– эль; |
M, m – эм; |
N, n – эн; |
O, o – о; |
|
P, p – пэ; |
Q, q – ку; R, r – эр; |
S, s – эс; |
T, t – тэ; |
|||
U, u – у; |
V, v – вэ; |
W, w – дубль-вэ; |
X, x – икс; |
|||
Y, y – игрек; Z, z – |
зэт. |
|
|
|
||
Греческий алфавит
Α, α − альфа; |
Β, β − бета; |
Γ, γ – гамма; |
∆, δ − дельта; |
|||
Ε, ε − эпсилон; |
Ζ, ζ − дзета; |
Η, η − эта; |
Θ, θ |
− тэта; |
||
Ι, ι − йота; |
Κ, κ − каппа; |
|
Λ, λ − лямбда; Μ, µ |
− мю; |
||
Ν, ν − ню; |
Ξ, ξ − кси; |
Ο, ο − омикрон; |
Π, π |
− пи; |
||
Ρ, ρ − ро; |
Σ, σ − сигма; |
Τ, τ − тау; |
Υ, υ − ипсилон; |
|||
Φ, ϕ − фи; |
Χ, χ − хи; |
Ψ, ψ − пси; |
Ω, ω − омега. |
|||
8
Раздел 1. ВВЕДЕНИЕ
1.Множества и отображения
1.1.Основные понятия
В математике некоторые понятия являются первичными, основными, они не имеют строгого определения. Одно из таких
– понятие множество. К нему мы приходим из наших общих представлений о совокупности, наборе каких-либо объектов. Приведём примеры множеств:
а) множество дней в году; б) множество студентов АлтГТУ;
в) множество всех букв русского алфавита, и т. д.
Множества обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, С, … . Множество состоит из элементов. Запись a A, b A означает, что а – элемент множества A
(а принадлежит A), а b не является элементом A. Например, буква я принадлежит множеству букв русского алфавита, а буква f не принадлежит этому множеству.
Укажем основные способы задания множеств.
1) Множество может определяться непосредственным перечислением всех своих элементов. Например, запись
X ={0, 1, 2} означает, что элементами множества X являются
числа 0, 1, 2.
Иногда таким образом можно задать и бесконечное множество. Например, X ={5,7 , 9,11,K} – множество всех нечёт-
ных чисел, больших или равных 5.
2) Множество может быть определено с помощью свойства, характеризующего его элементы, т. е. такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и только они. На-
пример, запись Y ={x x3 − 3x2 + 2 x = 0} означает, что элемен-
тами множества Y являются числа x, удовлетворяющие указанному уравнению. Вертикальную черту в задании множества
можно рассматривать как сокращение слов «таких, что …». За-
9
метим, что рассмотренные множества X и Y состоят из одних и тех же элементов. Эти два множества равны: X =Y .
Будем считать, что всякое свойство определяет некоторое множество. Рассмотрим, например, множество
A ={x x > 1 и x < 0}. Ясно, что нет ни одного числа, которое
бы удовлетворяло указанному свойству. Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом .
Множество X является подмножеством множества Y (X содержится в Y), если каждый элемент множества X принадлежит и множеству Y. Символически это обозначают так: X Y .
Например, если Y – множество студентов учебной группы, а X – множество студентов этой группы, которые учатся хорошо, то X Y . Отметим, что для любого множества X можно счи-
тать: X X , X .
Пример 1.1. Перечислить все подмножества множества
X ={a, b, c}.
Решение. Существует 8 подмножеств:
, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} .
1.2.Операции над множествами
Определим операции над множествами.
Пересечением множеств А и В называется множество A I B , состоящее из элементов, которые принадлежат и А, и В:
A I B ={x x A и x B}. Например, {1, 2, 3}I{2, 3, 4}={2, 3}.
Объединением множеств А и В называется множество A U B , состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В:
A U B ={x x A или x B}.
10