matem-up1

−−10 x2 + 8 x

−10 x2 − 20 x + 30

28 x − 30

Первое слагаемое неполного частного 5 x подбирается так, что-

бы после умножения на x2 + 2x − 3 и вычитания старшая степень сократилась. После вычитания получаем многочлен

−10 x2 + 8 x . Продолжаем деление: следующее слагаемое частного (–10). После умножения на делитель и вычитания, получим многочлен 28x − 30 . Его степень уже меньше степени делителя, значит, это остаток. Деление закончено.

Рассмотрим случай, когда деление выполняется без остатка, т. е. остаток равен 0. В этом случае говорят, что много-

член f (x) делится на g (x):

f (x)= g (x) h(x).

Заметим, что на многочлен степени 0 (т. е. на ненулевое число) делится без остатка любой многочлен. Например, многочлен 2 x + 3 делится на 7:

Степень делителя x − a равна 1, а степень остатка r (x) должна

41

f (x)= (x −a)2 f2 (x). Наибольшее число k , при котором f (x) делится на (x −a)k , называется кратностью корня a. Можно сказать в этом случае, что многочлен f (x) имеет k одинаковых корней a.

Пример 1.23. Многочлен

x3 − 10 x2 + 25 x = x (x − 5)2

имеет простой корень x = 0 и корень x = 5 кратности 2.

Может оказаться, что корень многочлена – комплексное

число. В примере 1.12 был рассмотрен многочлен x2 − 4 x + 5 . Были найдены его корни – комплексные числа 2 + i , 2 − i . Дру-

гой пример – многочлен x2 + 1 . Его корни – комплексные числа

±i . Действительных корней эти многочлены не имеют. На вопрос о количестве корней полностью отвечает так называемая «основная теорема алгебры». Сформулируем её без доказательства.

Теорема 1.4 (основная теорема алгебры). Многочлен степени n имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема Безу и следствие из неё справедливы и в случае, если корень a – комплексный. Правда, при этом приходится рассматривать многочлены с комплексными коэффициентами. С

42

помощью теоремы Безу из основной теоремы алгебры легко вывести следствие о разложении многочленов на множители.

Следствие. Пусть c1 , c2 ,K, cn – все корни многочлена f (x)= a0 xn + a1 xn−1 +K+ an−1 x + an (его коэффициенты могут

быть действительными или комплексными – любыми). Тогда справедливо разложение на множители:

f (x) = a0 (x − c1 )(x − c2 ) K (x − cn ) .

Среди чисел c1 , c2 ,K, cn могут быть действительные, комплексные, могут встречаться одинаковые (кратные корни).

Пример 1.24. Разложить многочлен

f (x) = x3 − 4 x2 + 22 x + 68

Получаем разложение на множители:

f (x)= (x + 2)(x − 3 − 5i )(x − 3 + 5i ).

Во всех примерах, рассмотренных выше, комплексные корни входят парами, являются сопряжёнными комплексными числами. Оказывается, справедлива следующая

число c = a − bi тоже является корнем. Пример 1.25. Для многочлена

f (x)=x4 + 4 x3 + 4 x2 − 36 x − 117

43

найти все корни, если один из них известен: x1 = −2 + 3i . Решение. Так как коэффициенты многочлена f (x) – дей-

ствительные числа, то число x2 = −2 − 3i также является корнем. По теореме Безу f (x) делится на произведение:

(x − x1 )(x − x2 )= (x + 2 − 3i )(x + 2 + 3i )= (x + 2)2 + 9 = x2 + 4 x + 13

Применяя алгоритм деления, получим:

3.Контрольные вопросы

1.Какие способы задания множеств Вы знаете? Приведите примеры.

2.Как определяются операции объединения, пересечения, разности множеств? Приведите примеры.

3.Какие числа являются рациональными? Как их можно записать?

4.Какие числа являются иррациональными? Как их можно записать?

5.Какие числа являются действительными? Что называется числовой осью?

6.Какие числовые промежутки Вы знаете? Приведите примеры.

7.Что называется комплексным числом?

8.По каким правилам производятся операции сложения, умножения и деления комплексных чисел?

9.Как можно геометрически изобразить комплексное число? Что называется его модулем и аргументом?

10.Какая форма записи комплексного числа называется тригонометрической? Чему равен модуль и аргумент произведения комплексных чисел?

11.Какое действие над комплексным числом можно выполнить по формуле Муавра? Запишите эту формулу.

12.Как извлечь корень n-й степени из комплексного числа?

44

13.Что называется отображением множества А во множество В? Привести пример.

14.В каком случае отображения называются инъективными, сюръективными, биективными?

15.Что называется числовой функцией одной действительной переменной? Что является её областью определения и областью значений?

16.Какие способы задания функции Вы знаете? Привести примеры.

17.Что такое «сложная функция»? Привести примеры.

18.В каком случае функцию называют чётной, нечётной, периодической? Привести примеры.

19.В каком случае функцию называют возрастающей, убывающей, монотонной, ограниченной? Привести примеры.

20.Какие функции называют взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику заданной функции?

21.Какие функции называют степенными? Нарисуйте графики некоторых из них. Укажите свойства.

22.Какие функции называют показательными и логарифмическими? Нарисуйте их графики. Укажите свойства.

23.Какие тригонометрические функции Вы знаете? Нарисуйте их графики. Укажите свойства.

24.Как определяются обратные тригонометрические функции? Нарисуйте их графики. Укажите свойства.

25.Как получить график функции bf (k (x + a))+ d из гра-

фика f (x)?

26.Как выполняется деление многочлена на другой многочлен? Приведите пример.

27.Чему равен остаток от деления многочлена на многочлен 1-й степени x − a ?

28.В чём состоит основная теорема алгебры? Как записывается разложение многочлена на множители 1-й степени?

45

4.Упражнения

1.Записать перечислением элементов множества:

а) A ={x x2 − 3x − 4 ≤ 0};

б) B = x x + 1 ≤ 2 и x > 0 ;

x

{x 2 x3 − x2 + 4 x = 2};

2. Записать с помощью определяющего свойства множества:

5.Пусть Х – множество всех треугольников на плоскости. Рассмотрим его подмножества:

{x X x равнобедренный},1

X2 ={x X x равносторонний},

X3 ={x X x прямоугольный}.

Найти X1 I X2 , X1 U X2 , X1 I X3 , X2 I X3 , X2 \ X1 , X3 \ X2 .

46

6.В группе из 40 студентов 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько студентов этой группы умеют плавать и играть в шахматы?

7.С помощью диаграмм Эйлера-Венна проверить, что для любых множеств A, B, C справедливы равенства:

а) (A \ B)U(B \ A) = (A U B) \ (A I B);

б) A I(B UC ) = (A I B)U(A IC ) .

8.Используя определения операций, доказать, что для любых множеств A, В, С справедливы равенства:

а) A U B = A I B ; б) A \ (B UC )= (A \ B)I(A \ C ).

9. Найти z1 + z2 , z1z2 , z1 , если z2

а) z1 = 2 + 5i , z2 = 1 − i ; б) z1 = 2 − i 3 , z2 = 2 + i 3 .

10.Представить в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости следующие числа:

47

17. Являются ли чётными или нечётными следующие функции?

18.Какие из перечисленных ниже функций являются периодическими? Для периодических функций найти их период T:

19.Найти для перечисленных ниже функций обратные и указать их области определения:

48

20. Составить суперпозиции f ( f (x)), f (g (x)), g ( f (x)), g (g (x)) и указать их области определения, если:

а) f (x) = 2x , g (x) = x2 ; б) f (x) = 3 x , g (x) = lg x .

21.Для каждой сложной функции записать цепь равенств, звенья которой представляют собой основные элементарные функции:

49

5. Ответы к упражнениям

50