matem-up1
.pdf
r = Ax1 + By1 + Cz1 + D . A2 + B2 + C 2
Например, расстояние от точки M1(1, 2, –3) до плоскости
2 x − y + 2z = 0 |
равно r = |
|
2 1 − 2 + 2 (−3) |
|
= |
6 |
= 2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
22 + (−1)2 + 22 |
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
7. Прямая в пространстве
Прямую в пространстве можно определить как линию пе ресечения двух непараллельных плоскостей. Поэтому прямую можно задать системой двух уравнений 1 й степени:
A1 x + B1 y + C1z + D1 = 0 ,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Эту систему называют общими уравнениями прямой в про странстве.
Положение прямой в пространстве можно определить, за
дав |
некоторую |
точку M0 (x0 , y0 , z0 ) на прямой, и вектор |
sr = |
(sx , sy , sz ), |
параллельный этой прямой. Тогда для произ |
вольной точки M(x, y, z) в пространстве справедливо утвержде
uuuuuur r
ние: M L M0 M || s .
uuuuur
В координатной записи коллинеарность векторов M0 M и sr означает пропорциональность их координат:
157
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
. |
|
sy |
|
|||
sx |
|
sz |
|||
Такая система уравнений называется каноническими уравне ниями прямой.
Пример 4.19. Написать канонические уравнения прямой,
проходящей через точки М1 (1,–3, 0) и М2 (1, –1, 1).
Решение. В качестве направляющего вектора можно взять
uuuuuur
вектор M1 M2 = (0 , 2, 1). В качестве фиксированной точки пря мой можно взять любую из заданных, например, М1. Получаем канонические уравнения: x 0− 1 = y +2 3 = 1z .
Прямая перпендикулярна оси OX (так как абсцисса вектора
uuuuuuur
M1 M2 равна 0) и проходит через точку М1 (1,–3, 0). Значит,
абсциссы всех точек этой прямой одинаковы и равны 1. Можно
записать её уравнения и так: x = 1, |
y + 3 |
= |
z |
(общие уравне |
2 |
|
|||
|
1 |
|
||
ния прямой).
Из канонических уравнений легко получить параметриче ские уравнения прямой:
x − x |
|
|
y − y |
|
|
z − z |
|
|
|
|
|
|
|
, |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
x = sx t + x0 |
||||||||
|
= |
|
= |
|
= t |
y = sy t + y0 |
|
, |
||||||
sx |
|
sy |
|
sz |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z = s |
t + z |
0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
Переход от общих уравнений к каноническим (или пара
метрическим) покажем на примере.
158
Пример 4.20. Найти канонические уравнения прямой
x + y + 2z − 1 = 0,2 x + 3 y + 5z − 3 = 0.
Решение. Найдём на данной прямой какие либо две точки или, на языке алгебры, найдём какие либо два решения систе мы уравнений. Решаем систему методом Гаусса:
1 1 2 |
|
1 |
(−2) |
|
1 1 2 |
|
1 |
|||
|
|
|||||||||
|
2 3 5 |
|
3 |
|
|
|
0 1 1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
Расширенная матрица приведена к трапециевидной форме, ей соответствует система:
{x + y + 2z = 1 . y + z = 1
Неизвестная z является свободной. Полагая z = 0 , поднимаясь в системе снизу вверх, найдём сначала y = 1 , а затем x = 0 . На шли точку M1 (0, 1, 0). Аналогично полагая, например, z = 1 ,
найдём |
y = 0 , x = −1 . Получили точку |
M2 (−1, 0, 1). Вектор |
||
uuuuuuur |
|
|
|
|
M1 M2 = (−1, − 1, 1) является на |
|
|
||
правляющим для нашей прямой, |
|
|
||
поэтому |
её |
канонические уравне |
r |
|
ния можно |
записать, например, |
n2 |
r |
|
|
||||
|
|
|
|
M2 n1 |
так: |
|
|
|
M1 |
|
|
159 |
|
|
−x1 = y−−11 = 1z .
Отметим, что направляющий вектор лежит в каждой из плоскостей, поэтому перпендикулярен их векторам нормали nr1
и nr2 . Значит, в качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение nr1 ×nr2 .
Итак, для прямой важную информацию несёт направляю щий вектор, так же как для плоскости – вектор нормали. С их помощью решаются задачи о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, а также задачи на построение прямых и плоскостей с заданными свойствами.
Пример 4.21. Найти угол между прямой
|
x + 2 |
= |
y − 1 |
= |
z + 2 |
и плоскостью 4 x + y − z − 4 = 0 . Если они |
|||||
2 |
|
|
|||||||||
|
−1 |
−2 |
|
|
|
|
|||||
не параллельны, то найти их точку пересечения. |
|
|
|||||||||
|
Решение. |
Угол между прямой и |
s |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плоскостью – это угол |
α |
между пря |
α |
β |
|||||||
мой и |
её проекцией |
на |
плоскость. |
M1 |
|||||||
|
|||||||||||
Пусть β |
– угол между направляющим |
|
|
||||||||
вектором прямой sr и вектором нормали плоскости n . Ясно, что
α = π2 − β , если угол β острый, и α = β − π2 , если β – тупой угол. В любом случае угол α можно найти из формулы:
160
sinα = |
|
cos β |
|
= |
|
|
nr |
sr |
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
nr |
|
|
|
|
sr |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В нашем примере sr = (2, − 1, − 2), |
|
nr = (4 , 1, − 1) , значит, |
|||||||||||||||||
sinα = |
8 − 1 + 2 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
α = |
π . |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
3 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему, составленную из их уравнений. Проще всего это сделать, если от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим. Тогда система примет вид:
x = 2t − 2,
y = −t + 1,
z = −2t − 2,
4 x + y − z − 4 = 0.
Подставляя из первых 3 х уравнений x, y, z в 4 е уравнение,
найдём значение параметра t, соответствующее искомой точке:
4 (2t − 2)+ (−t + 1)−(−2t − 2)− 4 = 0 t = 1 .
Отсюда x = 2t − 1 = 0, y = −t + 1 = 0 , z = −2t − 2 = −4 . Зна чит, M1 (0, 0, − 4) – точка пересечения.
8.Контрольные вопросы
1.В каком случае равенство F (x, y) = 0 является уравне
нием линии L на координатной плоскости OXY ?
2. Каким уравнением можно задать любую прямую на ко
ординатной плоскости OXY ?
161
3.Как получить уравнение прямой L, если известно, что
M0 (x0 , y0 ) L , а nr = (A, B) L ?
4.Как получить уравнение прямой L, если известно, что
M0 (x0 , y0 ) L , а sr = (sx , sy ) L ?
5. Как вычислить расстояние от точки M1 (x1 , y1 ) до прямой
L : Ax + By + C = 0 ?
6.Как определить взаимное положение двух прямых на плоскости по их уравнениям?
7.Каким геометрическим свойством обладают все точки эл
липса? Запишите каноническое уравнение эллипса. Сделайте рисунок.
8. Каким геометрическим свойством обладают все точки ги перболы? Запишите каноническое уравнение гиперболы. Сде лайте рисунок.
9. Каким геометрическим свойством обладают все точки па раболы? Запишите каноническое уравнение параболы. Сделай те рисунок.
10. Как привести к каноническому виду уравнение 2 й сте
пени
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0?
11. Какая система координат на плоскости называется по лярной?
162
12.Какова связь декартовых и полярных координат точки в согласованных системах координат?
13.Какое уравнение называется общим уравнением плос
кости в пространстве?
14.Как получить уравнение плоскости P, если известно, что
M0 (x0 , y0 , z0 ) P , а nr = (A, B, C ) P ?
15.Как получить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки?
16.Как вычислить расстояние от точки M1 (x1 , y1 , z1 ) до плоскости P : Ax + By + Cz + D = 0 ?
17.Как получить уравнения прямой L, если известно, что
M0 (x0 , y0 , z0 ) L , а sr = (sx , sy , sz ) L ?
18.Как получить уравнения прямой L, если известно, что точки M0 (x0 , y0 , z0 ), M1 (x1 , y1 , z1 ) L ?
19.Как определить угол между прямой и плоскостью по их уравнениям?
9.Упражнения
1.Написать общее уравнение прямой L. Исходные дан ные:
а) M1 (1, − 2) L, nr = (2, 3) L ; б) M1 (0 , 1) L, sr = (2, 1) || L ;
163
|
в) M1 (1, 1) L, M2 (1, 0) L ; |
|
||||
|
г) |
M1 (0 , 1) L, |
L1 L , |
где |
L1 : |
y = −x + 3 ; |
|
д) |
M1 (1, 3) L, |
L2 || L , |
где |
L2 : |
x = 2 − t , y = 2t ; |
|
е) |
M1 (1, 0) L, |
(OX , L) = 135o . |
|||
2. |
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: |
|||||
|
|
А(6, 4), |
В(–9, 4), С(–9, –16). |
|||
Найти: а) уравнение медианы L1 , проходящей через точку А; |
||||||
|
б) уравнение высоты L2 , проходящей через точку В; |
|||||
|
в) точку М пересечения этих прямых L1 и L2 ; |
|||||
|
г) расстояние h от точки В до медианы L1 . |
|||||
3. |
Записать уравнение прямой L, проходящей через точку |
|||||
M0(3, |
5) |
и точку пересечения |
прямых |
L1 : x + y − 3 = 0 и |
||
L2 : 2 x − y + 5 = 0 . |
|
|
|
|
||
4. |
Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма |
|||||
L1 : x − y − 1 = 0 и L2 : x − 2 y = 0 и точка пересечения его диа гоналей M0 (3, − 1). Написать уравнения других сторон парал лелограмма.
5. |
Составить уравнения прямых, параллельных |
прямой |
L : 3 x − 2 y + 9 = 0 и находящихся от неё на расстоянии |
13 . |
|
6. |
При каком значении λ прямые L1 : 3λx − 8 y + 13 = 0 и |
|
164
L2 : (λ + 1)x − 2λ y − 21 = 0 будут: а) параллельны; б) перпен
дикулярны? |
|
|
|
|
|
7. Найти |
угол |
между прямыми |
L1 : |
5 x − y + 5 = 0 и |
|
L2 : 2 x − 3 y + 12 = 0 . |
|
|
|
||
8. Дано уравнение эллипса 4 x2 + 9 y2 = 36 . Найти: |
|||||
а) полуоси a и b; б) |
координаты фокусов F1 |
и F2 ; в) эксцен |
|||
триситет ε . Сделать рисунок. |
|
|
|
||
9. Написать каноническое уравнение гиперболы с действи |
|||||
тельной осью ОХ в каждом из трёх случаев: |
|
||||
а) a = 2, |
b = 3; |
|
|
|
|
б) b = 4, |
c = 5; |
|
|
|
|
в) c = 10 и уравнения асимптот y = ± |
4 |
x . |
|
||
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Сделать рисунок для случая в).
10. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что:
а) парабола симметрична относительно оси OX, вершина совпадает с началом координат, расстояние фокуса от вершины равно 3;
б) парабола симметрична относительно оси OX, проходит через начало координат и через точку (–1, 4);
в) парабола симметрична относительно оси OY, фокус на ходится в точке (0, 2), а вершина совпадает с началом коорди нат.
165
11.Каждая точка некоторой линии находится вдвое дальше от точки С(4, 0), чем от точки D(1, 0). Составить уравнение этой линии, привести его к каноническому виду, сделать рисунок.
12.Привести уравнения линий к каноническому виду, опре
делить их тип и сделать рисунки:
а) |
x2 + y2 −6 x + 8 y = 0 ; |
б) x2 + 4 y2 + 4 x − 8 y − 8 = 0 ; |
в) |
x2 − 4 y2 + 6 x + 5 = 0 ; |
г) y2 − 10 x − 2 y − 19 = 0 . |
13. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через
точку M1(1, –1, 2) параллельно плоскости P1 : x + y – 2z + 1 = 0.
Вычислить расстояние r между этими плоскостями.
14. Написать уравнение плоскости:
а) параллельной оси OX и проходящей через точки
M1(4, 0, –2) и M2(5, 1, 7);
б) проходящей через начало координат и перпендику
лярной к двум плоскостям: 2 x − y + 5z − 3 = 0 и
x + 3 y − z −7 = 0 ;
в) проходящей через точки L(0, 0, 1) и N(3, 0, 0) и обра зующей угол π
3 с плоскостью XOY.
15. Составить уравнение плоскости P, проходящей через прямую пересечения плоскостей P1 : x + y + 5z –1 = 0 и
P2 : 2x + 3y – z + 2 = 0 и через точку M1(3, 2, 1).
16. Вычислить угол между плоскостями, проходящими через
166