matem-up1

14. а) Не инъективное, не сюръективное; б) инъективное, не

51

6.Образец контрольного задания

1.Записать перечислением элементов множества:

A ={x 2x2 +x = 4 x+1 };

В– множество натуральных чётных чисел, меньших чис-

ла 4log2 7 ;

С – множество делителей числа 6.

Найти множество (A U B)IC и в качестве ответа указать его наименьший элемент.

z3 −6z2 + 34z − 104 , если известен один из его комплексных корней: z = 1 + 5i .

f −1 (x). Указать номер правильного ответа:

52

53

Раздел 2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Одной из важных задач линейной алгебры является реше ние систем алгебраических уравнений 1 й степени, или, как их обычно называют, систем линейных уравнений. Основными ин струментами при этом являются матрицы и определители. Эти понятия будут использоваться и в последующих разделах.

1. Матрицы и операции над ними

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таб лица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и равны их элементы, стоящие на соответствующих

54

местах.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется

нулевой. Будем обозначать её буквой О.

Если в матрице одинаковое число строк и столбцов, т. е. m = n , то матрицу называют квадратной. Число n – её поря док. У квадратной матрицы (aij )n×n элементы a11 , a22 , ..., ann

образуют главную диагональ, другая диагональ называется

побочной.

Матрица, у которой по одну сторону от главной диагонали все элементы равны нулю, называется треугольной. Напри мер,

Квадратная матрица E называется единичной, если все её элементы на главной диагонали равны единице, а остальные

порядка.

Определим основные операции над матрицами.

1) Умножение матрицы на число. Чтобы умножить мат рицу на число, нужно на это число умножить все её элементы.

Например:

55

2) Сложение матpиц. Складывать можно только матрицы

одинакового размера, при этом складываются их

соответствующие элементы. Например:

3) Умножение матриц. Умножение матриц возможно только при условии, что число столбцов первой матрицы сомножителя равняется числу строк второй матрицы сомножителя. Тогда произведением А B матрицы A = (aij )m×n

на матрицу B = (bij )n×k называется матрица C = (cij )m×k , эле менты cij которой определяются формулой:

cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ...+ ainbnj .

Таким образом, чтобы получить элемент cij , нужно взять i ю

строку первой матрицы и j й столбец второй матрицы. Затем выполнить следующие действия: к произведению первых эле ментов этой строки и этого столбца прибавить произведение их вторых элементов, прибавить произведение третьих элементов и так далее (составить сумму парных произведений):

56

мерами, то получим матрицу, которая называется транспони

Из определений рассмотренных операций следуют их свойства:

2. Определители и их свойства

Определитель – это число, которое по специальным пра вилам вычисляется для каждой квадратной матрицы. Опреде литель матрицы A обозначается обычно так: A . Рассмотрим правила вычисления определителей.

58

зывается число, которое записывается и вычисляется так:

есть число, вычисляемое по определённому правилу, а матрица

– таблица чисел. Однако, в определителе| A | , также как и в со ответствующей матрице А, будем различать его элементы aij ,

строки, столбцы, диагонали.

Пример 2.3. Вычислить определитель матрицы

называется число, которое записывается и вычисляется так:

59

Рассмотрим эту формулу и сделаем такие наблюдения:

1) В формуле каждый элемент 1 й строки умножается на определитель, который получится, если вычеркнуть строку и столбец, где этот элемент расположен. Такой определитель бу дем называть минором соответствующего элемента aij и обо значать Mij .

2) Перед произведением элементаa12 и минора M12 взят знак «–». Чтобы сформулировать и запомнить правило знаков,

вводится понятие алгебраического дополнения. Алгебраиче ским дополнением элемента aij называется число

Aij = (−1)i+ j Mij .

Заметим, что минор и алгебраическое дополнение одного и то го же элемента совпадают, если i + j – чётное число, и отличают ся только знаком, если i + j – нечётное число.

Используя эти понятия, формулу для определителя 3 го порядка можно записать так:

Замечание. Если вычислить входящие сюда определители

2 го порядка, то получится другая формула:

A = a11a22a33 +a12a23a31 +a21a13a32 −a13a22a31 −a11a23a32 −a12a21a33 .

60