matem-up1

ка пересечения этой прямой с плоскостью, в которой лежат век

4. Координатная запись векторов

Наиболее удобным на плоскости является базис, состоящий из перпендикулярных друг другу векторов, длины которых рав ны 1. Такой базис называется ортонормированным. Базисные

99

векторы будем обозначать i , rj . Таким образом, ir = rj = 1 ,

ir rj .

Прямоугольная декартова система координат на плос кости определяется точкой О (начало координат) и ортонор мированным базисом i , rj . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов называются коор динатными осями (соответственно ОХ – ось абсцисс, OY – ось

OA . Вектор OA называется радиус вектором точки А. Запись

100

A(α1 ,α2 ) означает, что точка А имеет координаты α1 ,α2 .

Можно обозначать координаты вектора и точки, конечно, и по другому, например:

ar = (ax , ay ), A(xA , yA ).

В пространстве ортонормированный базис состоит из 3 х

векторов, обычно они обозначаются i , rj , kr :

ir = rj = kr = 1 ; i rj , ir kr, rj kr .

(в данном случае на 90°) происходит против часовой стрелки,

если смотреть с конца третьего вектора k .

Прямоугольная система координат в пространстве опреде

что точка A имеет координаты α1 ,α2 ,α3 , совпадающие с коор

uuur

динатами вектора OA .

101

Замечание. Если у вектора какая либо координата равна 0,

то вектор перпендикулярен соответствующей оси. Например, ar ={1, 0, − 2} OY или, что то же, параллелен координатной плоскости OXZ. Если у точки в пространстве какая либо коорди ната равна 0, то эта точка расположена на одной из координат ных плоскостей. Например, точка A(1, 2, 0) лежит на плоскости

OXY.

Получим правила действий с векторами в координатной форме.

Пусть ar = (ax , ay ), b = (bx , by ), тогда

ar + br = (ax ir + ay rj )+ (bx ir + by rj )= (ax + bx )ir + (ay + by )rj ,

т. е. ar + br = (ax + bx , ay + by ). Аналогично, λar = (λax , λay ).

Для векторов в пространстве правила такие же.

=(2,− 2, 4)−(0, 2, 1)+ (0, 3, − 3) = (2 −0 + 0, − 2 − 2 + 3, 4 − 1 − 3)=

=(2, − 1, 0)= 2ir − rj .

102

Так как коллинеарные векторы отличаются только число выми множителями, то их соответствующие координаты будут пропорциональными (критерий коллинеарности в коорди натной форме):

Отметим, что если какая либо координата вектора равна 0,

то и у коллинеарного ему вектора соответствующая координата равна 0.

Рассмотрим некоторые важные задачи.

Задача 1. Зная координаты вектора, определить его длину и направление.

103

Z

α3

γ A

Решение. Так как ar – величина диагонали в прямоуголь ном параллелепипеде, то, используя теорему Пифагора, легко получить формулу:

ar = ax2 + a2y + az2 .

Направление вектора a удобно задавать с помощью углов

α , β ,γ , которые образует вектор с осями OX , OY , OZ соответ ственно. Косинусы этих углов называются направляющими ко синусами вектора a . По свойству проекций вектора на ось,

имеем

Заметим, что всегда верно: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .

uur

Задача 2. Определить координаты вектора AB , если из

Z A

B 104

Y

X O

вестны координаты точек A(xA , yA , zA ) и B(xB , yB , zB ) .

uur uuur uuur

Решение. По правилу сложения векторов OA + AB = OB , от

uuur uuur uuur

сюда AB = OB − OA .

В координатной форме

uur

AB = (xB , yB , zB ) −(xA , yA , zA ), значит

uur

AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ).

Итак, чтобы найти координаты вектора, нужно от коор динат его конца отнять соответствующие координаты его нача ла.

B(xB , yB ) на плоскости равно AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 .

Пример 3.5. Даны точки A(1, −1, 2) , B(2, 1, 3) и вектор ar = 2i − λ rj + 2kr . Найти длину и направляющие косинусы век

105

Решение. Определим сначала координаты вектора

где λ – заданное положительное число. Найти координаты точ ки М.

Решение. Рассмотрим векторы

uuuur

AM = (x − xA , y − yA , z − zA ) ,

uuuur

MB = (xB − x, yB − y, zB − z).

Получаем: (x − xA , y − yA , z − zA ) = λ (xB − x, yB − y, zB − z) .

106

Эти формулы называются формулами деления отрезка в за данном отношении.

Решение. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Рас

Таким образом, М (1, 0) .

5. Скалярное произведение

107

Скалярным произведением ar b двух векторов a и b на зывается число, равное произведению длин этих векторов и ко

синуса угла ϕ между ними:

ar br = ar br cosϕ .

Рассмотрим основные свойства скалярного произведения.

1)ar b = br ar . Это следует из определения.

2)ar br = ar br cosϕ = ar Прar br = br Прbr ar . Полученные

соотношения можно записать иначе:

4) ar br ar br = 0 , так как косинус прямого угла равен ну лю. Это свойство можно использовать как критерий перпенди кулярности векторов.

5)ar (br + cr) = ar br + ar cr .

6)ar (λbr) = (λar) br = λ (ar br) .

Последние два свойства можно доказать, используя свойст во 2) и свойства проекций.

7) Механический смысл скалярного произведения.

108