matem-up1

мах OXY и О1X1Y1 соответственно. Рассмотрим векторы:

Полученные формулы параллельного переноса позволя ют находить старые координаты (x, y) любой точки по новым координатам (x1, y1) и наоборот.

Пример 3.15. Начало координат перенесено в точку

О1(–1, 2). Найти новые координаты точки M (3, − 2).

Решение. По формулам параллельного переноса опреде ляются новые координаты точки М:

{x1 = x −(−1) = 3 + 1 = 4, y1 = y − 2 = −2 − 2 = −4.

Случай 2. Начало координат оставим неизменным, а базис

рованным и будет порождать новую систему координат ОX1Y1.

119

Пусть точка М имеет в старой системе координаты (x, y), а в

uuur

новой – (x1, y1). Вектор OM можно разложить по старому и но вому базисам:

Поэтому x = x1 cosϕ − y1 sinϕ.

Аналогично, умножим равенство ( ) скалярно на вектор rj : x ir rj + y rj rj = x1ir1 rj + y1 rj rj . Учитывая, что i rj = 0, rj rj = 1, ir1 rj = cos(90o −ϕ)= sinϕ , rj1 rj = cosϕ , имеем

y = x1 sinϕ + y1 cosϕ.

Итак, формулы поворота системы координат

x = x1 cosϕ − y1 sinϕ ,y = x1 sinϕ + y1 cosϕ

позволяют найти старые координаты (x, y) через новые (x1 , y1).

Отсюда легко получить формулы для перехода от коорди нат старых (x, y) к новым (x1 , y1):

x1 = x cosϕ + y sinϕ ,y1 = −x sinϕ + y cosϕ.

120

Решение. Здесь можно рассмотреть три системы коорди нат, представленные на рисунке. Пусть точка М имеет коорди

{x1 = x −(2 =)1 − 2 = −1, y1 = y − −1 = 2 + 1 = 3.

Координаты (x2, y2) вычисляем по формулам:

9.Контрольные вопросы

1.Какие векторы называются коллинеарными, равными,

компланарными?

121

10.Упражнения

1.В треугольнике ABC сторону АВ точками М и N разделили

uuur

на три равные части: AM = MN = NB. Найти вектор CM , если

между этими векторами α = 45o , длина основания AB=8, длина

ли A(−1, 2), B(3, − 2).

4. Радиус вектор точки M(x, y, z) составляет с осью OX угол

uuuur

α = 60o , с осью OZ угол γ = 45o , длина вектора OM = 8 , а его координата y > 0. Найти координаты точки M.

5. Даны векторы ar1 = 2i + 3 rj − kr и ar2 = (1, 0, 2). Опреде

лить:

а) проекции на координатные оси вектора a = 2ar1 − 3ar2 ;

б) координаты вектора b , который коллинеарен вектору ar1

124

и | b | =7 2 ;

в) орт вектора ar2 .

6. Даны векторы ar = (1, 0, 1) и b = (−2, 3, 5). Будут ли век

торы cr1 = ar + 2b и cr2 = 3ar − b коллинеарными?

7. Докажите, что векторы b = (−1, 1) и cr = (1, 2) образуют

лить:

125

и удовлетворяющий условию m n = 22 .

13. Вектор b , перпендикулярный вектору ar = (1, − 2) , об разует острый угол с осью OX. Найти его координаты, если

| b | = 20 .

14. Найти работу А, произведённую силой F = 3i − 5 rj + kr ,

если её точка приложения перемещается прямолинейно из по ложения M(1, 3, 2) в положение N(2, –1, 0). Под каким углом ϕ к перемещению направлена сила?

15. Найти | (2ar +br)×(br − 3ar)| , если | a | = 3 , | b | = 2 ,

(a,br r)= 450 .

16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ar + 3b и 3ar + b , если | ar | = | b | = 1, (ar, br)= 300 .

17. Даны векторы ar = 2i − 4 j − k , b = i − 5 j + k . Найти векторное произведение (2ar − br)×(ar + br).

18. Найти координаты единичного вектора, перпендикуляр

126

23.Определить, левой или правой является тройка векто ров:

ar = i + k , b = j , cr = (2, 1, 3).

24. При каком значении λ векторы ar = (−1, 4, 8),

b= (λ , 2, 3), cr = (2, − 1, − 5) компланарны?

25.Лежат ли точки A(1, 2, –1), B(2, 1, 3), C(1, 2, 1),

127

D(0, 1, 5) в одной плоскости?

26. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на

векторах

ar = 3i + j − k , b = −i + k , cr = 2i + 3 j .

27. Вычислить объём пирамиды, вершины которой находят ся в точках A(4, 3, 1), B(2, –1, 3), C(0, 1, 1), D(–3, 1, 4).

28. Новая система координат на плоскости получена из дан ной системы OXY переносом начала О в точку О1(1, –2) и пово ротом осей на угол 30°. Зная координаты точки М(4, 2) в новой системе, найти координаты её в старой системе.

11. Ответы к упражнениям

5. а) ПрOX a = 1, ПрOY ar = 6 , ПрOZ ar = −8 ; б) b = 7 (±2, ± 3, m 1) ;

128