matem-up1

Последние нулевые строки могут и отсутствовать.

Теорема 2.2. Ранг матрицы трапециевидной формы равен числу её ненулевых строк.

Доказательство. Действительно, минор k го порядка

00 K ckk

авсе миноры большего порядка (если такие в этой матрице найдутся) содержат нулевую строку, поэтому будут равны нулю.

Значит, r (C )= k .

Научимся любую матрицу приводить к трапециевидной

форме, не меняя её ранга. Для этого рассмотрим элементар

ные преобразования:

1)перестановка строк (столбцов);

2)прибавление к элементам строки (столбца) соответст

вующих элементов другой строки (столбца), умноженных на од но и то же число.

Теорема 2.3. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Примем эту теорему без доказательства.

Теорема 2.4. Любую матрицу можно привести к трапецие видной форме, используя элементарные преобразования.

72

Доказательство. Возьмём любую матрицу

Если a11 = 0 , то переставим строки или столбцы так, чтобы

на месте (1, 1) стоял ненулевой элемент. Если же a11 ≠ 0 , то

добьёмся, чтобы остальные элементы 1 го столбца стали рав

ными 0. Для этого ко 2 й строке прибавим 1 ю, умноженную на

И так далее – с помощью 1 й строки изменим все строки, начи ная со второй:

Здесь знак означает, что у этих матриц одинаковый ранг

(по теореме 2.3). Далее поступаем аналогично: добиваемся,

чтобы на месте (2, 2) стоял ненулевой элемент, а все элементы

2 го столбца ниже него были равны 0. Продолжая эти элемен тарные преобразования, приведём матрицу к трапециевидной форме.

Итак, для нахождения ранга матрицы достаточно привести её с помощью элементарных преобразований к трапециевид

ной форме и подсчитать число ненулевых строк. Это число рав

73

5

В матричной записи столбец является решением системы:

3

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. В

примере 2.12 система совместна, а, например, система

существовало, то c1 + c2 равнялось бы одновременно и нулю, и

единице.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения. Например, система x1 − x2 = 0 ,

состоящая из одного уравнения ( m = 1 , n = 2 ), неопределён ная. Решением этой системы является любая пара одинаковых чисел, т. е. система имеет бесконечное множество решений.

Две системы будем называть эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Научимся сначала решать системы линейных уравнений в частном случае: пусть матрица системы А – квадратная (число уравнений m совпадает с числом неизвестных n) и невырож

77

денная (т. е. ∆ = A ≠ 0 ). Такую систему называют крамеров

ской.

Теорема 2.5 (матричный способ). Любая крамеровская сис тема Α X = B совместна и имеет единственное решение, ко торое можно найти по формуле:

X = A−1 B .

Доказательство. Так как A ≠ 0 , то существует обратная

матрица A−1 . Умножаем матричное уравнение Α X = B слева на A−1 : A−1 A X =A−1 B . Так как A−1 A X = E X =X , то тео рема доказана.

Пример 2.13. Решить систему матричным методом:

Решение. Имеем

Вычислим определитель: A = 1 ≠ 0 . Значит, система крамеров

ская. Найдём обратную матрицу А−1 . Для этого вначале вычис

лим алгебраические дополнения элементов матрицы А: 78