matem-up1

Научимся извлекать корень n-й степени, т. е. решать уравнение

Здесь только n различных значений корня, которые получаются, например, при k = 0, 1, ..., n – 1 (в силу периодичности косинуса и синуса).

Пример 1.11. Найти все корни 3-й степени из числа w = 8i

или, что то же, решить уравнение z3 = 8i .

Решение. Запишем число 8i в тригонометрической форме:

8i = 8 cos π2 + i sin π2 .

21

тельных корней нет. Но, используя комплексные числа, мы можем извлекать квадратный корень из отрицательного числа:

D = −4 = 4 (−1) = 4 −1 = 2i .

По формуле для корней квадратного уравнения получим два комплексных корня:

x1,2 = −b ± D = 4 ± 2i = 2 ± i .

2a 2

Замечание. Если коэффициенты квадратного уравнения – действительные числа, а дискриминант отрицателен, то его корни всегда являются сопряжёнными комплексными числами.

1.5. Отображения

Рассмотрим важное в математике понятие отображения. Пусть имеются два множества A и В. Отображением множества A во множество В называется правило f, позволяющее каждому элементу a множества A сопоставить вполне определённый, единственный элемент b множества В:

a A !b B : f (a)= b .

22

Вместо слова «отображение» можно употреблять термин

«функция». Множество A называется областью определения

отображения f. Множество {f (a) a A} называется областью

значений отображения f . Если f (a)= b , то говорят, что b явля-

ется образом a при отображении f (или значением функции f

при значении аргумента a).

Наиболее общая запись f : A → B указывает лишь, что f –

отображение множества A во множество В. Для конкретных отображений необходимо указать правило сопоставления элементов.

Пример 1.13. Пусть X – множество слов русского языка,

Y – множество букв русского алфавита. Можно рассмотреть отображение f : X →Y , сопоставляющее каждому слову, на-

пример, его 1-ю букву.

Рассмотрим кратко свойства, которыми могут обладать отображения.

Отображение f : A → B называется инъективным, если разным элементам множества A соответствуют разные образы в В:

a1 , a2 A (a1 ≠ a2 f (a1 )≠ f (a2 )).

Отображение f : A → B называется сюръективным (или

отображением A на В), если

b B a A : f (a)= b ,

т. е. любой элемент множества В является образом некоторого элемента множества A.

Отображение называется биективным, если оно является инъективным и сюръективным. При биективном отображении каждому b B соответствует единственный a A , поэтому используется двусторонняя стрелка: f : A ↔ B . В этом случае го-

ворят, что между множествами A и В установлено взаимно однозначное соответствие. Мы уже применяли это понятие: были построены взаимно однозначные соответствия между множеством действительных чисел и множеством точек число-

23

вой оси, а также между множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости.

Пример 1.14. Рассмотрим отображение g : → , возводящее каждое действительное число в квадрат: g (x) = x2 . Это отображение не является инъективным, например, 22 = (−2)2 = 4 . Не является g и сюръективным отображением,

так как отрицательные числа не могут быть квадратами действительных чисел.

Пример 1.15. Пусть T – множество всех треугольников на плоскости, S – множество всех окружностей на этой же плоскости. Отображение h :T → S , сопоставляющее каждому треугольнику описанную около него окружность, является сюръективным (в любую окружность можно вписать треугольник), но не является инъективным (в любую окружность можно вписать много разных треугольников).

2n1 − 1 ≠ 2n2 − 1 , поэтому s инъективно. Любое нечётное число

из M является образом некоторого натурального числа, значит, s

– сюръективно и, следовательно, биективно: s : ↔ M . Итак, между множествами , M установлено взаимно однозначное

соответствие.

2. Функции одной действительной переменной

Здесь мы продолжим изучать отображения, однако сосредоточимся на важном для нас случае, когда и область определения, и область значений являются подмножествами множества действительных чисел .

2.1. Способы задания и основные свойства функций

Пусть задано отображение f : D → , где область определения D . В этом случае говорят, что на множестве D опре-

24

Две функции считаются равными только в том случае, когда их области определения совпадают и при равных аргументах

они имеют равные значения. Например, формулы lg x2 и 2 lg x

задают разные функции, так как первая определена для всех x ≠ 0 , а вторая – только для x > 0 . На множестве положитель-

ных чисел (0, + ∞) эти функции совпадают.

Чаще всего функцию задают аналитическим способом: с помощью одной или нескольких формул устанавливается алгоритм вычисления значений функции для каждого из значений аргумента. Если область определения при этом не указана, то имеется в виду естественная область определения, т. е. множество значений аргумента, для которого данная формула имеет

словой оси. Такой способ задания функции называют кусочно-

аналитическим.

Ещё один важный способ задания функции – графический. Графиком функции f (x) называется множество точек на

координатной плоскости OXY:

25

т. е. множество точек плоскости, для каждой из которых абсцисса является значением аргумента, а ордината – соответствующим значением функции.

Например, график функции y = 1 − x – прямая, а график функ-

В различных приложениях также применяется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, в которой указываются значения аргумента и соответствующие им значения функции. Примерами табличного задания функции являются таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

Напомним основные свойства, которыми может обладать функция f (x), заданная на некотором множестве D.

1) Функция f (x) называется периодической, если

T > 0 : x D x +T D, f (x +T ) = f (x).

Наименьшее из таких чисел T называется периодом функции. Например, функции sin x, cos x периодические с периодом 2π ,

а у функций tg x, ctg x период равен π .

Пример 1.17. Пусть функция y = f (x) имеет период T. Найти период функции g (x) = f (ax + b), где a и b – постоян-

ные и a > 0.

Решение. Так как функция f (x) периодическая с периодом T, то

26

Легко показать, что график чётной функции симметричен относительно оси ОY, а график нечётной функции – относительно начала координат.

Пример 1.18. Определить, обладает ли свойством чётности

Таким образом, данная функция нечётна.

3) Функция f (x) называется возрастающей на множест-

ве D, если

x1 , x2 D (x1 ≤ x2 f (x1 )≤ f (x2 )),

т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если неравенства заменить на строгие, то получим определение строго возрастающей функции:

x1 , x2 D (x1 < x2 f (x1 )< f (x2 )).

Аналогично: f (x) – убывающая на D , если

x1 , x2 D (x1 ≤ x2 f (x1 )≥ f (x2 )),

27

f (x) – строго убывающая, если

x1 , x2 D (x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 )).

Возрастающие и убывающие функции называются моно-

тонными.

Пример 1.19. Определить интервалы монотонности следующих функций: y = x3 , y = x2 .

Решение. Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой, так как из условия x1 < x2 следует x13 < x23 . Значит, y = x3 монотонна на .

Легко показать, что функция y = x2 убывает на интервале

(–∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞), т. е. не является монотонной на любом интервале, содержащем точку x = 0.

ция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Пример 1.20. Выяснить, ограничены или не ограничены

резке [2, +∞). Но эта же функция не ограничена сверху на области определения D = (1, +∞), так как если брать x достаточно

28

числа. Снизу функция ограничена, так как f (x)> 0 .

2.2. Операции на множестве функций

Для функций естественным образом определяются арифметические действия:

Область определения каждой из новых функций – пересечение областей определения f1 и f2 . В случае частного нужно удалить точки, где знаменатель обращается в 0.

Рассмотрим ещё один важный способ образования новых

Сложная функция называется также суперпозицией функций f , g .

29

g (g (x))= log2 (log2 x), D(g (g))= (1, + ∞) , так как должно выполняться условие log2 x > 0 , т. е. x > 1 .

Ясно, что можно рассматривать суперпозицию более чем 2-х функций. Например, функция y = sin2 (5 x) есть суперпози-

ция 3-х функций:

x → 5 x → sin5 x → sin2 5 x .

Обозначая промежуточные переменные, эту функцию можно записать в виде цепи равенств:

y = u2 , u = sinv, v = 5 x .

Рассмотрим ещё понятие обратной функции.

Пусть f : D → E , f биективна. Напомним: это означает, что f инъективна (т. е. разные числа переводит в разные) и сюръективна (т. е. любой y E является образом некоторого

обозначен y, а значение функции – x. Ясно, что важны не используемые буквы, а область определения и правило вычисления значений функции. Если аргумент обозначить, как обычно, через x, а значение функции через y, то взаимно обратные функ-

ции можно записывать в виде y = f (x), y = f −1 (x). Например,

y = x3 + 1 и y = 3 x − 1 взаимно обратные функции.

Обратную функцию можно определить равенством: f −1 ( f (x))= x ( x D) .

30